人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀第2课时学案

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
第2课时 等差数列的判定与实际应用
学习目标 1.体会等差数列与一元一次函数的关系.2.掌握等差数列的判断与证明方法.3.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用．
导语
当数列是等差数列时，可以根据公式进行一些计算，但对数列来说，如何判断是否为等差数列呢？
一、等差数列的通项公式与函数的关系
问题1 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
知识梳理
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d_；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
例1 已知数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n(n∈N*)，则实数a＝________.
跟踪训练1 等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
二、等差数列的判定与证明
问题2 如果一个数列的前有限项是等差数列，那么这个数列是等差数列吗？
提示 不一定，证明一个数列是等差数列，一定要体现出任意性．
知识梳理
证明等差数列的方法
(1)定义法：an－an－1＝d(n≥2)．
(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
(3)通项公式法：an＝a1＋(n－1)d.
例2 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2).
(1)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
延伸探究 将本例中的条件“a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)”换为“a1＝4，an＝4－eq \f(4,an－1)(n>1)，记bn＝eq \f(1,an－2)”．
(1)试证明数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
跟踪训练2 已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝eq \f(1,an－1).
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
三、等差数列的实际应用
例3 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
跟踪训练3 《九章算术》是我国古代数学名著，其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)，则中间两节各多少容量？在这个问题中，中间一节的容量为______升．
1．知识清单：
(1)等差数列的通项公式与一次函数的关系．
(2)证明等差数列的方法．
(3)等差数列的简单应用．
2．方法归纳：定义法、公式法．
3．常见误区：实际问题中项数的确定．
1．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．数列6,4,2,0是公差为2的等差数列
B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)
D．数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列
2．下列各数列中首项为零的等差数列是( )
A．an＝2n B．an＝2(n－1)
C．an＝2n D．an＝2n－1
3．下列命题中，与命题“{an}为等差数列”不等价的是( )
A．an＋1＝an＋d(d为常数)
B．数列{－an}是等差数列
C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列
D．an＋1是an与an＋2的等差中项
4．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，则需要支付车费________元．
课时对点练
1．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则a101的值为( )
A．52 B．50 C．51 D．49
2．已知等差数列{an}的前三项为a－1，a＋1,2a＋1，则此数列的通项公式为( )
A．2n－5 B．2n－3
C．2n－1 D．2n＋1
3．已知数列{an}为等差数列，则下列不一定成立的是( )
A．若a2>a1，则a3>a1
B．若a2>a1，则a3>a2
C．若a3>a1，则a2>a1
D．若a2>a1，则a1＋a2>a1
4．《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是( )
A.eq \f(7,3)斤 B.eq \f(7,2)斤
C.eq \f(5,2)斤 D．3斤
5．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对∀n∈N*都有2aeq \\al(3,n＋1)＝aeq \\al(3,n＋2)＋aeq \\al(3,n)，则a10等于( )
A．10 B.eq \r(3,10) C．64 D．4
6．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则lg2a，lg2b，lg2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
7．已知数列{an}的通项公式为an＝4n－102，那么数列从第________项开始值大于零．
8．已知在数列{an}中，a1＝1且eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,3)(n∈N*)，则a10＝________.
9．画出数列an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,an－1＋1，110．已知数列{an}满足an＋1＝eq \f(6an－4,an＋2)，且a1＝3(n∈N*)．
(1)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an－2)))是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
11．设{an}是等差数列，则“a1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 021这2 021个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a10等于( )
A．190 B．211 C．232 D．253
13．已知在数列{an}中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,an＝f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an－1))，n≥2，n∈N*.))
f(x)＝eq \f(3x,x＋3)，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是( )
A．首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(2,3)的等差数列
B．首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(1,3)的等差数列
C．首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(1,2)的等差数列
D．首项为eq \f(1,3)，公差为eq \f(1,2)的等差数列
14．已知数列{an}满足a1＝1，若点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)，\f(an＋1,n＋1)))在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.
15．设F是椭圆eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,6)＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i＝1,2,3，…)使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成递增的等差数列，则公差d的取值范围为________．
16．某商场用如下方法促销某品牌的上衣：原销售价为每件280元，改为买一件的单价为265元，买两件的单价为250元，依此类推，每多买一件，则所买各件的单价均再减少15元，但每件的价格不低于160元．设an为购买n件这类上衣所花费的金额(元)，求an.