高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算同步练习题

1.1.1  空间向量及其线性运算（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2020·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（    ）

A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C．只有零向量的模等于0

D．共线的单位向量都相等

【答案】D

【解析】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.

B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.

C.零向量：模长为0的向量.真命题.

D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D.

2．（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：

①若向量共线，则所在的直线平行；

②若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面；

③若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面；

④已知三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.

其中正确命题的个数为（     ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：若三个向量两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，所以选A

3.（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：

①若、共线，则、所在的直线平行；

②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；

③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；

④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.

其中正确命题的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】①若、共线，则、所在的直线平行或重合；所以①错；

②因为向量是可以自由移动的量，因此即使、所在的直线是异面直线，、也可以共面；所以②错；

③若、、三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此、、三向量不一定共面；所以③错；

④若三向量、、共面，若向量不在该平面内，则向量不能表示为，所以④错.

故选：A.

4．（2020·南昌市八一中学）如图，空间四边形中，，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，又因为，

所以.故选：C

5．（2020·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据空间向量的线性运算可知

因为,，则即，

故选：D.

6.（2020·全国高二）在下列条件中，使与，，一定共面的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于A选项，由于，所以不能得出共面.

对于B选项，由于，所以不能得出共面.

对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面.

对于D选项，由得，而，所以不能得出共面.故选：C

二、填空题

7．（2020·全国高二）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．

【答案】

【解析】P，A，B，C四点共面，且，，解得.故答案为:

8．（2020·全国高二）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则x＝________.

【答案】

【解析】已知且M，A，B，C四点共面，

则 ，解得x=

三、解答题

9．（2020·全国高二课时练习）已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．，．求证：四点E，F，G，H共面

【解析】

∵；∴；

EF//AB，且EF＝|k|AB；

同理HG//DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；

∴EF//HG，且EF＝HG；

∴四边形EFGH为平行四边形；

∴四点E，F，G，H共面.

【能力提升】

一、多选题

1．（2021·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列等式正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABCD

【分析】利用向量加法的三角形法则，平行四边形法则即可求答案.

【详解】，故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，故D正确；

故选：ABCD.

2．（2021·全国·高二课时练习）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】方法一：根据向量共面定理可得存在唯一一组数，使得，可得，根据选项依次列方程组求解可判断.

方法二：根据共面定理的推论可得.

【详解】方法一：若，，，四点共面，则存在唯一一组数，使得，

则，

整理可得，

对A，若，则，方程组无解，不能得到，，，四点共面，故A错误；

对B，若，则，解得，符合，可以得到，，，四点共面，故B正确；

对C，若，则，解得，符合，可以得到，，，四点共面，故C正确；

对D，若，则，方程组无解，不能得到，，，四点共面，故D错误.

故选：BC.

方法二：根据共面定理的推论可得，若，，，四点共面，

则对于空间中任意一点，有，且满足，

则由选项可得只有BC满足.

故选：BC.

3．（2021·重庆十八中高二阶段练习）给出下列命题，其中为假命题的是（       ）

A．若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底

B．已知平面，为直线l的一个方向向量，若、则直线l∥面

C．若向量垂直于向量和，向量且，

D．已知空间的三个不共面向量，若，则D、A、B、C四点共面

【答案】BCD

【分析】A项，结合定义可判断正确；B项，直线也可能在平面内；C项，；D项，结合四点共线公式可判断错误

【详解】对A，若向量是空间一组基底，则由构成的向量均不共面，故也是空间的一组基底，A正确；

对B,当直线时，也满足题设条件，则B错误；

对C，若向量垂直于向量和，向量且，则一定在由向量组成的平面内，则，故C错误；

对D，因为空间的三个不共面向量，若满足，则，，故D、A、B、C四点不共面，D错误，

故选：BCD

4．（2021·全国·高二课时练习）有下列命题，其中真命题的有（       ）

A．若，则A，B，C，D四点共线

B．若，则A，B，C三点共线

C．若为不共线的非零向量， ，则//

D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式k1＋k2＋k3＝，则k1＝k2＝k3＝0

【答案】BCD

【分析】由向量平行，结合各点的位置关系判断A、B的正误；利用平面向量共线的判定可判断C的正误；应用反证法，假设等量关系中系数不都为0，结合题设等量关系及向量共线的判定即可知D的正误.

【详解】根据共线向量的定义，若，则AB//CD或A，B，C，D四点共线，故A错；

由且、有公共点A，故B正确；

由，所以//，故C正确，

若条件等量关系中系数不都为0，则k1＋k2与k3不可能共线，显然与题设矛盾，故D正确．

故选：BCD

5．（2022·江苏·高二课时练习）已知向量，，，则下列等式错误的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】以正方体为载体，结合向量的加法与减法运算，逐一验证即可求解

【详解】在正方体中，不妨令，

对于A：，，故A正确 ；

对于B：，

，故B正确；

对于C：，

，

，故C错误；

对于D：，

，，故D错误；

故选：CD

二、填空题

6．（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则___________________.（用，，表示）

【答案】

【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用向量的加法几何意义表示出、，从而得出.

【详解】如图所示，平行六面体中，

M为AC与BD的交点，，，，

∴，

；

∴.

故答案为：.

7．（2021·山东师范大学附中高二期中）正方体的棱长为1，P点满足，则P到的距离为______

【答案】

【分析】根据题设向量的线性关系，结合正方体的性质易知为底面中心，进而求P到的距离即可.

【详解】若分别是上下底面中心，如下图示，

∴，即与为同一点，

∴P到的距离.

故答案为：

8．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高二阶段练习）已知点在平面内，为空间内任意一点，若，则________．

【答案】

【分析】根据向量的运算法则得到，根据共面得到，得到答案.

【详解】由，得，

即．

因为点在平面内，所以，得．

故答案为：.

9．（2021·广东·广州市禺山高级中学高二阶段练习）已知平面单位向量，满足，且，，，若使成立的正数有且只有一个，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】由向量的模的计算公式得，再根据一元二次方程的根的判别式可求得答案.

【详解】解：，，，

则，所以，

所以，故.

由于使成立的正数有且只有一个，

故关于以为未知数的一元二次方程有且只有一个正实数根，故，

解得，当时，故舍去，则.

故的范围是唯一一个实数，

故答案为：.

10．（2021·全国·高二单元测试）如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，

（1）；

（2）；

（3）；

（4）存在实数，，使得．

则其中正确的结论是_______．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）．

【答案】（1）（3）

【分析】（1）由于是线段的中点，可得；

（2）取的中点，连接，．而，即可判断出；

（3）利用，，及（1）即可得出；

（4）由于、分别是线段、的中点，，可得与平面不平行，得出不存在实数，，使得．

【详解】解：（1）是线段的中点，，正确；

（2）取的中点，连接，．则，因此不正确；

（3），因此正确；

（4）、分别是线段、的中点，，

与平面不平行，

不存在实数，，使得．

综上可得：只有（1）（3）正确．

故答案为：（1）（3）．

11．（2021·江西·横峰中学高二期中（理））如图，已知正方体的棱长为1，E，F，G分别是棱的中点，设M是该正方体表面上的一点，若，则点M的轨迹所形成的长度是________．

【答案】

【分析】首先确定点的轨迹，再求长度.

【详解】，在平面上，

取，，的中点，则点的轨迹是正六边形，轨迹长度是正六边形的周长，.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定在平面上，并能作出平面与正方体的交线.

三、解答题

12．（2022·全国·高二）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；

(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．

【分析】（1）通过证明来证得四点共面.

（2）利用空间向量运算证得结论成立.

(1).

,

所以，所以四点共面.

(2).

13．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知，，，，，，，，为空间的个点，且，，，，，，．

(1)求证：，，，四点共面，，，，四点共面；

(2)求证：平面平面；

(3)求证：．

【分析】（1）利用空间向量共面定理即可求证；

（2）由空间向量线性运算可得，由空间向量共线定理可证明，再由线面平行的判定定理可得平面，同理可证明平面，由面面平行的判定定理即可求证；

（3）由（2）知，再利用空间向量的线性运算即可求证.

(1)因为，，

所以，，共面，即，，，四点共面．

因为，，

所以，，共面，即，，，四点共面．

(2)连接，，

，所以，

又因为平面，平面，所以平面．

因为，所以，

又平面，平面，所以平面，

因为与相交，所以平面平面．

(3)由（2）知，所以．

14．（2022·全国·高二）如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式：

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)，(2)，(3)

【分析】（1）根据向量共线，加法与减法运算求解即可；

（2）根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则求解即可；

（3）根据化简求值即可.

(1)解：因为为的重心，为边的中点，

所以

，

所以

(2)解：因为分别为边和的中点，

所以

(3)解：