2021学年9 弧长及扇形的面积达标测试

这是一份2021学年9 弧长及扇形的面积达标测试，共23页。

1．如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则劣弧的长是（ ）
A．πB．C．D．
2．若将直尺的0cm刻度线与半径为5cm的量角器的0°线对齐，并让量角器沿直尺的边缘无滑动地滚动（如图），则直尺上的10cm刻度线对应量角器上的度数约为（ ）
A．90°B．115°C．125°D．180°
3. 如图，已知□ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（ ）
A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（ ）
A．2πB．4πC．D．π
5.如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π-2 B．π-4 C．4π-2 D．4π-4
6.如图，等边三角形ABC中，将边AC逐渐变成以BA为半径的，其他两边的长度不变，则∠ABC的度数大小由60变为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在边长为2的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2 B． C． D．1
8．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与AE交于H，则弧AH的弧长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
9．如图，△OAC按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上，OA边在x轴上，OA＝8，AC＝4，把△OAC绕点A按顺时针方向转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（4，4）则在这次旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．8πB．πC．2πD．48π
10．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O，π≈3.14，≈1.41，≈1.73，那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）
A．3.2B．3.6C．3.8D．4.2
11．如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA＝OB＝OC＝2，则这朵三叶花的面积为（ ）
A．3π﹣3B．3π﹣6C．6π﹣3D．6π﹣6
12．如图，在圆O上依次有A．B，C三点，BO的延长线交圆O于E，＝，点C作CD∥AB交BE的延长线于D，AD交圆O于点F，连接OA，OF，若∠AOF＝3∠FOE，且AF＝2，劣弧CF的长是（ ）
A．πB．πC．πD．π
二．填空题
13．若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是 ．
14.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为
15．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE，OF和上，且点A是线段OB的中点，若的长为π，则OD长为 ．
17.如图，⊙O的半径为4，PC切⊙O于点C，交直径AB延长线于点P，若CP长为4，则阴影部分的面积为
18．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交BC边于点E，若E恰为BC的中点，则图中阴影部分的面积为 ．
三.解答题
19．如图，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．
（1）求点P经过的弧长；（结果保留π）
（2）写出点Q的坐标是 ．
20.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=
，求图中阴影部分的面积．
21．如图，长方形ABCD的周长为28，且AB：BC＝3：4，求：
（1）弧BE的长度；
（2）图中阴影部分的面积．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝BC，直线DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AC＝2，∠E＝30°，求阴影部分（弓形）面积．
23．如图，点A，B，C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°，求图中阴影部分的面积．（结果中保留π）
24．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：△ABC≌△EDB；
（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．
北师大版九年级数学下册第三章 3.9 弧长及扇形的面积 同步测试(解析版)
一．选择题
1．如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则劣弧的长是（ ）
A．πB．C．D．
解：连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝1，
∴劣弧的长＝＝，
故选：B．
2．若将直尺的0cm刻度线与半径为5cm的量角器的0°线对齐，并让量角器沿直尺的边缘无滑动地滚动（如图），则直尺上的10cm刻度线对应量角器上的度数约为（ ）
A．90°B．115°C．125°D．180°
解：本题中弧长应该是10cm，
根据半径为5cm，那么5×π×n÷180＝10，
那么圆心角n≈115°．
故选：B．
3. 如图，已知□ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（ ）
A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm
解： 将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，点D所转过的路径为以BD为直径的半圆，
∴其长度为=2πcm．
故选：C．
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（ ）
A．2πB．4πC．D．π
解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，∠AOD+∠DOB＝180°，
∴∠AOD＝×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，
∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，
∵OD＝OC，CD＝4，
∴2OD2＝42，
∴OD＝2，
∴的长是＝＝，
故选：D．
5.如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π-2 B．π-4 C．4π-2 D．4π-4
解： S阴影部分=S扇形OAB-S△OAB
=×2×2
=π-2
故选：A．
6.如图，等边三角形ABC中，将边AC逐渐变成以BA为半径的，其他两边的长度不变，则∠ABC的度数大小由60变为（ ）
A. B. C. D.
解： 设∠ABC的度数大小由60变为n，
则AC=,由AC=AB，
解得，n= ，
故选：A．
7.如图，在边长为2的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2 B． C． D．1
解： 如图所示，
S阴影=S△AOB=S正方形=×2×2=1．
故选D．
8．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与AE交于H，则弧AH的弧长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
解：连接EB，BH，AB，
∵BE＝AB＝＝，AE＝＝，
∴BE2+AB2＝AE2，
∴∠ABE＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是圆的直径，
∴∠AHB＝90°，
∴BH⊥AH，
∴∠ABH＝∠BAH＝45°，
∴弧AH所对的圆心角为90°，
∴的长＝＝．
故选：B．
9．如图，△OAC按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上，OA边在x轴上，OA＝8，AC＝4，把△OAC绕点A按顺时针方向转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（4，4）则在这次旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．8πB．πC．2πD．48π
解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA＝90°，
∵点O′的坐标是（4，4），
∴O′M＝4，OM＝4，
∵AO＝8，
∴AM＝8﹣4＝4，
∴tan∠O′AM＝＝，
∴∠O′AM＝60°，
即旋转角为60°，
∴∠CAC′＝∠OAO′＝60°，
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，
∴S△OAC＝S△O′AC′，
∴阴影部分的面积S＝S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′＝S扇形OAO′﹣S扇形CAC′＝﹣＝8π，
故选：A．
10．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O，π≈3.14，≈1.41，≈1.73，那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）
A．3.2B．3.6C．3.8D．4.2
解：作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E．连接OB，BC．
由折叠的性质可知，EF＝OE＝OF，
∴OE＝OA，
在Rt△AOE中，OE＝OA，
∴∠CAB＝30°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵AB＝4，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积＝•AC•BC+S扇形OBC﹣S△OBC＝××2+﹣×22＝+π≈3.8，
故选：C．
11．如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA＝OB＝OC＝2，则这朵三叶花的面积为（ ）
A．3π﹣3B．3π﹣6C．6π﹣3D．6π﹣6
解：如图所示：弧OA是⊙M上满足条件的一段弧，连接AM、MO，
由题意知：∠AMO＝90°，AM＝OM
∵AO＝2，∴AM＝．
∵S扇形AMO＝×π×MA2＝．
S△AMO＝AM•MO＝1，
∴S弓形AO＝﹣1，
∴S三叶花＝6×（﹣1）
＝3π﹣6．
故选：B．
12．如图，在圆O上依次有A．B，C三点，BO的延长线交圆O于E，＝，点C作CD∥AB交BE的延长线于D，AD交圆O于点F，连接OA，OF，若∠AOF＝3∠FOE，且AF＝2，劣弧CF的长是（ ）
A．πB．πC．πD．π
解：∵＝，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵CD∥AB，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∵BE是⊙O的直径，
∴＝，
∴AB＝BC＝CD，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∵∠AOF＝3∠FOE，
设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，
∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝（180﹣3x）°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝2x，
∴∠ABC＝4x，
∵BC∥AD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴4x+2x+（180﹣3x）＝180，
解得：x＝20°，
∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，
∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OF＝AF＝2，
∴的长＝＝π，
故选：C．
二．填空题
13．若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是 2π ．
解：∵扇形的半径为3，圆心角为120°，
∴此扇形的弧长＝＝2π．
故答案为：2π
14.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为
解：∵l= ，
∴R= QUOTE 180×2π120π =3．
15．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE，OF和上，且点A是线段OB的中点，若的长为π，则OD长为 4 ．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴点A是线段OB的中点，
∴OA＝AB，
∴OA＝AD，
∵∠OAD＝∠DAB＝90°，
∴∠EOF＝45°，
∵的长为π，
∴＝π，
∴OF＝4，
连接OC，
∴OC＝OF＝4，
设OA＝BC＝x，
∴OB＝2x，
∴OC＝x＝4，
∴x＝4，
∴OA＝AD＝4，
∴OD＝4，
故答案为：4．
16．圆心角为120°，半径为6的弧的弧长是 4π ．
解：∵圆心角为120°，半径为6的弧，
∴弧长是：＝4π．
故答案为：4π．
17.如图，⊙O的半径为4，PC切⊙O于点C，交直径AB延长线于点P，若CP长为4，则阴影部分的面积为
解： 连接CO，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∵⊙O的半径为4，CP长为4，
∴CO=CP，
∴∠COP=∠CPO=45°，
∴阴影部分的面积为：S△COP-S扇形COB=×4×4- QUOTE 45π×42360 =8-2π．
故答案为：8-2π．
18．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交BC边于点E，若E恰为BC的中点，则图中阴影部分的面积为 ．
解：连接AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠DAB＝90°，AD＝BC＝AB＝2＝AE，
∵E恰为BC的中点，
∴BE＝1，
∴∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB＝＝，
∴阴影部分的面积S＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD
＝﹣﹣
＝﹣π，
故答案为：﹣π．
三.解答题
19．如图，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．
（1）求点P经过的弧长；（结果保留π）
（2）写出点Q的坐标是 （﹣3，1） ．
解：（1）如图，过P作PA⊥x轴于A，
∵P（1，3），
∴，
∴点P经过的弧长为；
（2）把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q，过点P作x轴的垂线，垂足是B，
∴OQ＝PO，∠POQ＝90°，
∴∠POA+∠QOB＝90°，∠QOB＝∠OPA，△QOB≌△OPA（AAS），
∴OB＝PA＝3，BQ＝AO＝1，
则点Q的坐标是（﹣3，1）．
故答案是：（﹣3，1）．
20.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=
，求图中阴影部分的面积．
解： ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE= DE ．
∵∠CDB=30°，
∴∠COE=60°，
在Rt△OEC中，OC= QUOTE OEsin60° =2，
∵CE=DE，
∠COE=∠DBE=60°
∴Rt△COE≌Rt△DBE，
∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=
21．如图，长方形ABCD的周长为28，且AB：BC＝3：4，求：
（1）弧BE的长度；
（2）图中阴影部分的面积．
解：（1）由题意AB＝28÷2×＝6，BC＝28÷2×＝8，
∴＝＝3π．
（2）由（1）知，AB＝6，BC＝8，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝2，
S＝S扇形BCF﹣S△EDF﹣（S长方形ABCD﹣S扇形ABE）
＝S扇形BCF+S扇形ABE﹣S△EDF﹣S长方形ABCD
＝+﹣﹣6×8
＝25π﹣50．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝BC，直线DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AC＝2，∠E＝30°，求阴影部分（弓形）面积．
（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DC＝BC，
∴AD＝AB，
∴∠D＝∠ABC，
∵∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠D，
∴CD＝CE．
（2）解：由（1）可知：∠ABC＝∠E＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得到BC＝2，
连接OC，则∠COB＝120°，
∴S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝﹣×××2＝﹣．
23．如图，点A，B，C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°，求图中阴影部分的面积．（结果中保留π）
解：连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵OB＝OC，OD⊥BC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BD＝DC，
∴BD＝OD，
∵OB＝＝1，
∴OD＝BD＝CD＝OB×sin45°＝，
即BC＝BD+CD＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形BOC﹣S△BOC＝﹣＝π﹣．
24．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：△ABC≌△EDB；
（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．
解：（1）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵AC∥BD，
∴∠A＝∠ABD＝∠DEB＝90°，
∵∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠CBD+∠BDE＝90°，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵BC＝BD，
∴△ABC≌△EDB（AAS）．
（2）∵CD＝BD＝BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠CBD＝60°，∠ABC＝90°﹣∠CBD＝30°，
∵AC＝3，
∴BC＝2AC＝6，
∴线段BC扫过的面积＝6π．