初中数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法获奖第1课时教学设计及反思

这是一份初中数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法获奖第1课时教学设计及反思，共8页。教案主要包含了即学即练，题后总结等内容，欢迎下载使用。

第2章　一元二次方程
2.2　一元二次方程的解法
2.2.3　因式分解法(第1课时)
教学目标
1.会用因式分解法求解一元二次方程.
2.进一步体会一元二次方程解法中的转化思想与降次思想.
教学重难点
重点：用因式分解法求解一元二次方程.
难点：对一元二次方程中的含未知数的多项式进行因式分解.
教学过程
复习巩固
1.因式分解的概念
把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.
2.因式分解有哪些方法？
(1)提公因式法：.
(2)公式法：
平方差公式：.
完全平方公式：.
3.说出方程的解.
答案:
师生活动：学生独立思考，并进行口答，教师点拨总结.
探究新知
【探究1】因式分解法解一元二次方程.
已知方程，小亮是这么解的：
把方程两边同除以，得x-3＝0，所以.
怎么少了一个根？小亮的解法对吗？为什么？不对的话怎样解？
(师生活动)学生先独立思考，尝试解决，小组内进行交流，学生存在困难时，教师可提出问题.
教师追问1：等式的基本性质2怎么规定的？
(师生活动)学生根据教师提出的问题进一步思考，并回答，小亮把方程两边同除以，而有可能等于零，所以小亮的解法不对.
教师追问2：能不能用我们学过的方法解这个一元二次方程？
(师生活动)学生独立完成，并在练习本上书写解答过程，学生代表口答，教师进行评价，师生共同归纳总结.
【总结】不能随意在方程的两边同时除以含未知数的整式，因为含未知数的整式有可能为0.
教师追问3：除了用公式法、配方法，还有没有更简单的方法？
教师追问4：我们学习因式分解的方法有哪几种？
(师生活动)学生根据教师引导，先尝试解决，小组合作探究,不难看出等号的左边可通过提公因式法进行因式分解，得,所以，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,通过解一元一次方程得到一元二次方程的根.这种解方程的方法叫因式分解法.教师板书课题.
【总结】利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
教师追问5：根据例题总结归纳，利用因式分解法解方程的步骤.
(师生活动)学生小组内相互交流总结，请一位学生发言，教师进一步概括归纳，方便记忆，把步骤口诀化.
【总结】
因式分解法的基本步骤:
1.移项：将方程的右边化为0(右化零).
2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积(左分解).
3.转化：方程转化为两个一元一次方程(两因式).
4.求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解(各求解).
新知应用
例1　用因式分解法解下列方程：
(1).
(2)
(3)
【解】(1)原方程可化为x2-8x＝0.
因式分解，得x(x-8)＝0.
由此得x＝0或x-8＝0,
解得x1＝0，x2＝8.
(2)原方程可化为
把方程左边因式分解，得(5x-1)(2x-3)＝0.
由此得5x-1＝0或2x-3＝0,
解得x1＝，x2＝.
(3)原方程可化为
把方程左边因式分解，得(35-2x+30)(35-2x-30)＝0.
由此得65-2x＝0或5-2x＝0，
解得x1＝32.5，x2＝2.5.
【即学即练】(师生活动)学生先独立思考，请三位同学进行板演，学生之间相互评价，教师点拨，
用因式分解法解下列方程：
(1)3x2-6x+3＝0.
(2)4x2-121＝0.
(3)3(x-2)–(x-2)2＝0.
【解】(1)化为一般式x2-2x+1＝0，
因式分解，得(x-1)(x-1)＝0，
所以x1＝x2＝1.
(2)把方程左边因式分解，得(2x+11)(2x-11)＝0，
有2x+11＝0或2x-11＝0，
解得
(3)把方程的左边进行因式分解，得
从而或
解得，
设计意图：根据例题结合因式分解的方法，总结归纳常见的用因式分解法解一元二次方程的几种表现形式.同时让学生意识到并不是所有的方程都能用因式分解法，只是对于具备某些特点的方程适用.
【总结】几种常见的用因式分解法求解的方程:
(1)形如的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为，则或，即.
(2)形如的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为,则或，即.
(3)形如的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为，则①，即；②,即.
(4)形如的一元二次方程，将其左边因式分解， 则方程化为，所以或，即.
【探究2】形如x2 +(a+b)x+ab＝0的一元二次方程的解法.
例2　解方程：x2-10x+24＝0.
【分析】引导学生先用配方法解此方程，从中发现并总结规律.
【解】配方，得
把方程左边因式分解，得(x-5+1)(x-5-1)＝0.(x-4)(x-6)＝0.
于是得x -4＝0或x-6＝0,
解得x1＝4，x2＝6.
【题后总结】
由上面的例题可以看出，把方程x2+bx+c＝0的左边因式分解后，写成x2+bx+c＝(x–d)(x-h)＝0,则d，h就是x2+bx+c＝0的根.
反过来，如果d，h是x2+bx+c＝0的根.则方程x2+bx+c＝0的左边就可以分解成x2+bx+c＝(x-ｄ)(x-ｈ).
【总结】形如x2 +(a+b)x+ab ＝0的一元二次方程，将其左边因式分解，则方程化为(x+a)(x+b)＝0，所以x+a ＝0或x+b＝0，即x1＝-a，x2＝-b.
【即学即练】(师生活动)学生先独立思考，请三位同学进行板演，学生之间相互评价，教师点拨.用因式分解法解下列方程:
(1)x2-x-12＝0；(2)x2+3x-10＝0.
【解】(1)把方程左边因式分解，得(x+3)(x-4)＝0.
得x +3＝0或x-4＝0,解得x1＝-3，x2＝4.
(2)把方程左边因式分解，得(x-2)(x+5)＝0.
于是得x -2＝0或x+5＝0,解得x1＝2，x2＝-5.
课堂练习
1.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是( )
A． B．
C． D．
2.一元二次方程的根是( )
A．1 B．3 C．1和3 D．1和2
3．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是( )
A．5 B.7 C.5或7 D.10
4.用因式分解法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3).
5.已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x-7)-10(x-7)＝0的一个根，求这个三角形的周长．

参考答案
1.B
2.C
3.B
4解:



5.解:解方程,得.
∵ ＝10不合题意，舍去，∴ .
∴ 这个三角形的周长为3+7+7＝17.

课堂小结
学生先独立总结，发表意见，教师引导，点拨，形成知识框架.

布置作业
教材第39页练习第1,2题，第41页习题2.2第5,6题.

板书设计
2.2.3　因式分解法(第1课时)
1.利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
2.步骤：因式分解法的基本步骤:
(1)移项：将方程的右边化为0(右化零).
(2)化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积(左分解).
(3)转化：方程转化为两个一元一次方程(两因式).
(4)求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解(各求解).
3.几种常见的用因式分解法求解的方程.
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