数学九年级上册21.2.3 因式分解法教案设计

21.2.3 因式分解法

一、教学目标

1.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.

2.会用分解因式法(提取公因式法,公式法)解某些简单系数的一元二次方程.

二、教学设想

   重点讨论用因式分解的方法解一元二次方程。教学中，应注意引导学生掌握用因式分解的方法解数字系数的一元二次方程的做法，并且理解因式分解的方法是为了让计算更简便。可以让学生对比各种解法，得出结论，有些一元二次方程用因式分解的方法来解更简便。

三、教材分析

本课时的教材是在前面学习了用配方法以及用公式法解一元二次方程的基础上，进一步学习一元二次方程的另一种方法----因式分解法。本节课是对一元二次方程的所有解法的一个总结，也对比了关于一元二次方程的各种解法，为学生以后解一元二次方程的方法的选取打好坚实的基础。   

四、重点难点

重点：掌握配方法，用因式分解的方法解一元二次方程.

难点：根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.

五、教学方法

引导学习法

六、教具准备

多媒体课件

七、教学过程

【引入】

1．对于方程3(x-2)2=2-x,张明的解法如下:

解:方程整理得:3(x-2)2=-(x-2)

      方程两边同时除以(x-2)得:3(x-2)=-1

      去括号得:3x-6=-1

      移项并合并同类项得,3x=5   ∴

你认为张明解方程的过程有错误吗?如果有,请指出错在哪一步?并说明错误的原因.你能解这个方程吗?并与同伴交流自己的心得.

分 析：张明在解方程的过程中,在方程两边同时除以一个含有未知数的代数式(x-2),这样得到的方程与原方程不一定是同解方程.因为含有未知数的代数式的值可能是0,这时变形的过程就是在方程左右两边同时除以0了,正确的解法应是:3(x-2)2+(x-2)=0,∴(x-2)[3(x-2)+1]=0 ∴(x-2)(3x-5)=0 ∴x-2=0或3x-5=0 ∴x1=2,x2=.

2．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为，你能根据上述规律求出物体经过多少秒落会地面吗（精确到0.01s）？

分 析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即

                                   ①

【互动1】

 思考：除配方法或公式法以外，能否找到更加简单的方法解方程①？

分析：左边可以因式分解得

    于是得  或者

    ，

【互动2】

讨论：以上解方程①的方法是如何使一元二次方程降为一元一次方程的？

【互动3】

因式分解法解一元二次方程的根据:

如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,反过来,如果两个因式中有一个因式为0那么它们之积为0.

例如:(2x-1)(3-x)=0,则2x-1=0或3-x=0

    (2-7x)(5x-3)=0,则        或      

(2-7x=0    5x-3=0)

【互动4】

归纳：因式分解法解一元二次方程的方法及步骤

解方程或方程组的思想方法是:消元和降次,解一元二次方程不存在消元的问题,而是需要降次,将二次转化为一次,因式分解法能帮助我们实现这一目标.用因式分解法解一元二次方程,一定要把方程化为右边为0,而左边为两个关于未知数的一次因式之积的形式.

例如:一元二次方程(2x-1)(3x-)=0可转化为                ,                   两个一元一次方程.如方程(2x-1)(3x-)=2化为2x-1=1或是错误的.

分解因式法解一元二次方程的步骤为:

(1)将方程的右边化为0;

(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积;

(3)令每个因式为0,得到两个一元一次方程;

(4)解这两个一元一次方程得原方程的解.

(2x-1=0,3x-=0)

【互动5】

选择适当的方法解一元二次方程.

根据方程的不同特点,选择合适的方法解方程,可以使计算简便,效率提高.

选择解法的思路是:先特殊后一般.选择解法的顺序是:直接开平方法—因式分解法—公式法或配方法.

配方法是普遍适用的方法,但不够简便,一般不常用.不过对于二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要简单些.

例1.用因式分解法解下列方程:

(1) ；(2) ； (3) .

分析：(1)经过变形可以用提取公因式法;

(2)经过变形可以用平方差公式分解法因式;

(3)方程为一般形式,尝试用十字相乘法.

解：(1)原方程变形为：

 ∴x-2=0或x+1=0      

 ∴x1=2；x2=-1

(2)原方程移项，合并同类项，得：

即    

∴ ；

(3)原方程化为（x-7）(x+1)=0 

 ∴x1=7   x2=-1

思路分析：用因式分解法解一元二次方程,关键是把方程化为左边为关于未知数的一次因式之积,右边为0的形式.

例2:用适当的方法解一元二次方程

(1)(2x-3)2=9(2x+3)2         (2)x2-8x+6=0

(3)(x+2)(x-1)=10           (4)2x2-5x-2=0

分析：(1)方程两边为完全平方式,可以移项使方程一边为0,另一边用平方差公式分解因式,因而可用因式分解法来解,但运用直接开平方法解更简便.(2)方程是一般形式,且不易用因式分解法解,可以考虑用公式法解,但此题的二次项系数为1,一次项系数为偶数,用配方法解更简便.(3)不经过变形,无”法”可解,先将其化为一般形式,再观察其特征选择解法.(4)不宜用直接开平方法,因式分解法,就用公式法求解.

解(1)方程两边开平方,得:2x-3=±3(2x+3)    2x-3=3(2x+3)或2x-3=-3(2x+3)

解这两个一元一次方程得,x1=-3,x2=。

(2)移项得:x2-8x=-6  配方得:x2-8x+16=-6+16  (x-4)2=10  x-4=±

x-4=± 或x-4=  ∴x1=  x2= －

(3)将原方程化为一般形式,得x2+x－12=0，  (x-3)(x+4)=0，  x-3+0或x+4=0，

∴x1=3或x2=-4。

(4)将方程化为一般形式,得:2x2-5x-2=0  ∴b2-4ac=(-5)2-4×2×(-2)=41。

x=   ∴   。

思路分析：在解一元二次方程时，若方程不是一般形式，不要首先把它化为一般形式，而要观察其是否能直接开平方或因式分解法解答，若不能直接采用某种方法，就将其化为一般形式，尝试用因式分解法求解，若不易分解的考虑用公式法求解，配方法最麻烦，除系数非常特殊外，一般不采用此法。

【练习】

完成课本第45页练习第1，2题.

1．  选择简便的方法解下列方程.

（1） ；   （2）；   （3）；

（4）； （5）；（6）.

2．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。

【小结】

在解一元二次方程时，若方程不是一般形式，不要首先把它化为一般形式，而要观察其是否能直接开平方或因式分解法解答，若不能直接采用某种方法，就将其化为一般形式，尝试用因式分解法求解，若不易分解的考虑用公式法求解，配方法最麻烦，除系数非常特殊外，一般不采用此法。