人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算习题，共5页。试卷主要包含了下列计算正确的是，计算等内容，欢迎下载使用。
第七章　7.2　7.2.1

A级——基础过关练
1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)
A．－2　　 B．4
C．3　　 D．－4
【答案】B
【解析】z＝1－(3－4i)＝－2＋4i．故选B．
2．(多选)下列计算正确的是(　　)
A．(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i
B．(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝－3＋7i
C．4－(5＋12i)－i＝－1－13i
D．－2＋6i＋(－3＋5i)＝－5＋11i
【答案】ACD
【解析】(3＋i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(1－3)i＝4－2i，A正确；(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i＝3＋7i，B错误；4－(5＋12i)－i＝(4－5)＋(－12－1)i＝－1－13i，C正确；－2＋6i＋(－3＋5i)＝(－2－3)＋(6＋5)i＝－5＋11i，D正确．
3．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的(　　)
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】z是纯虚数⇔⇔x＝1．故选A．
4．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【答案】A
【解析】由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．
5．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　)
A．　　 B．5
C．2　　 D．10
【答案】B
【解析】依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5．
6．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi(a，b∈R)，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值为(　　)
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
【答案】A
【解析】因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，所以4＋b＝0，b＝－4．因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，所以a＝－3且b≠4．故a＝－3，b＝－4．
7．平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是(　　)
A．2－3i　　 B．4＋8i
C．4－8i　　 D．1＋4i
【答案】C
【解析】对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i．设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z．由四边形ABCD为平行四边形知＝，∴－1＋3i＝(3－5i)－z．∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i．故选C．
8．(2022年南昌期末)已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________．
【答案】3
【解析】由条件知z1＋z2＝a2－3－2a＋(a2－1)i，又因为z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝3．
9．已知复数z1＝2＋ai，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是________．
【答案】(2，＋∞)
【解析】因为复数z1－z2＝2＋ai－a－i＝(2－a)＋(a－1)i在复平面内对应的点位于第二象限，所以解得a＞2．
10．计算：
(1)(2＋i)－[(6＋5i)－(4＋3i)]＋(－1＋i)；
(2)(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 020＋2 021i)＋(2 021－2 022i)．
解：(1)(方法一)原式＝(2＋i)－[(6－4)＋(5－3)i]＋(－1＋i)＝(2＋i)－(2＋2i)＋(－1＋i)＝－i＋(－1＋i)＝－1．
(方法二)原式＝(2＋i)－(6＋5i)＋(4＋3i)＋(－1＋i)＝(2－6＋4－1)＋(1－5＋3＋1)i＝－1．
(2)原式＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 019－2 020)＋2 021]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 020＋2 021)－2 022]i＝(－1 010＋2 021)＋(1 010－2 022)i＝1 011－1 012i．
B级——能力提升练
11．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是(　　)
A．3　　 B．4
C．5　　 D．6
【答案】D
【解析】由题意，得复数z对应的点在以(3,4)为圆心，1为半径的圆上．故|z|的最大值为圆心(3,4)到原点(0,0)的距离加上圆的半径，即|z|max＝＋1＝6．故选D．
12．(多选)已知i为虚数单位，下列说法中正确的是(　　)
A．若复数z满足|z－i|＝，则复数z对应的点在以(1,0)为圆心，为半径的圆上
B．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝15＋8i
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则⊥
【答案】CD
【解析】满足|z－i|＝的复数z对应的点在以(0,1)为圆心，为半径的圆上，A错误；在B中，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝．由z＋|z|＝2＋8i，得a＋bi＋＝2＋8i，∴解得∴z＝－15＋8i，B错误；由复数的模的定义知C正确；由|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确．故选CD．
13．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b为________．
【答案】－4
【解析】因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以解得故a－b＝－4．
14．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，则D点对应的复数z4＝________；AD的长＝________．
【答案】7＋3i　2
【解析】如图，对应复数z3－z1，对应复数z2－z1，对应复数z4－z1．∵四边形ABDC为平行四边形，∴＝＋，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i．∴AD的长为||＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2．

15．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．
解：设z＝x＋yi，则由|z|＝2知z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，∴|z＋1＋i|表示圆上的点到点(－1，－)的距离．又∵点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，∴圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0．