北师大版九年级上册2 用配方法求解一元二次方程练习

这是一份北师大版九年级上册2 用配方法求解一元二次方程练习，共8页。试卷主要包含了一元二次方程x−22=0的根是，方程x2=4的解为，代数式x2−4x+3的最小值为，方程x+62−9=0的两个根是，新定义等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.2用配方法求解一元二次方程》
同步练习
1．一元二次方程x−22=0的根是（　　）
A．x=2 B．x1=x2=2 C．x1=−2，x2=2 D．x1=0，x2=2
2．一元二次方程x−12=25可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x−1=5，则另一个一元一次方程是（　　）
A．x+1=−5 B．x+1=5 C．x−1=−5 D．x−1=5
3．方程x2=4的解为（　　）
A．x1=x2=2 B．x1=x2=−2
C．x1=2，x2=−2 D．x1=4，x2=−4
4．将一元二次方程x2+6x−2=0配方后可化为(   )
A．x+32=11 B．x−32=11 C．x+32=2 D．x−32=2
5．代数式x2−4x+3的最小值为（    ）．
A．−1 B．0 C．3 D．5
6．方程x+62−9=0的两个根是（    ）
A．x1=3，x2=9 B．x1=−3，x2=9
C．x1=3，x2=−9 D．x1=−3，x2=−9
7．新定义：关于x的一元二次方程a1(x−m)2+k=0与a2(x−m)2+k=0称为“同族二次方程”．如2021(x−3)2+4=0与3(x−3)2+4=0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x−1)2+1=0与a+2x2+b−4x+8=0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2028能取的最小值是（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
二、填空题
8．已知一元二次方程(x−2)2=3的两根为a、b，且a>b，则2a+b的值为 __________．
9．把方程x2−2=2x用配方法化为x+m2=n的形式，则mn的值是________．
10．已知一元二次方程a+3x2+4ax+a2−9=0有一个根为0，则a=________．
11．关于x的一元二次方程x2=a的两个根分别是2m−1与m−5，则m=________．
12．将一元二次方程x2−4x+1=0变形为x+ℎ2=k的形式为______
13．已知关于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的根为±3，那么关于y的一元二次方程12022(y2+1)+3=2(y2+1)+b的解y=_____．
14．在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+b分别与x的正半轴、y的负半轴相交于A，B两点，已知△AOB的面积等于16，则b的值为______．
三、解答题
15．用开平方法解下列方程：
(1)13(x+3)2=6；
(2)4(x+1)2=(x−2)2．
16．根据要求解下列方程：
(1)9y2−4=0（直接开平方法）．
(2)2x（x−2）−5（x−2）=0（配方法）．
17．解关于x的方程： 42x−52=93x−12．
18．解方程：x2−4x−3=0．
19．阅读下列材料，解答问题．
材料：求代数式x2−2x+5的最小值．
小明同学是这样解答的：x2−2x+5=x2−2x+1−1+5=x−12+4
我们把这种解决问题的方法叫做“配方法”．
问题：
(1)请按照小明的解题思路，把解答过程补充完整．
(2)请运用“配方法”解决问题：若x2+y2−6x+10y+34=0，求y−x的立方根．
20．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式x2−2x+3进行配方．
解：x2−2x+3=x2−2x+1+2=x2−2x+1+2=x−12+2．
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5=22+12．再如，M=x2+2xy+2y2=x+y2+y2（x，y是整数），所以M也是“完美数”．
(1)【问题解决】请你再写一个小于10的“完美数” ；并判断40是否为“完美数” ；
(2)【问题解决】若二次三项式x2−6x+13（x是整数）是“完美数”，可配方成x−m2+n（m，n为常数），则mn的值为 ；
(3)【问题探究】已知“完美数”x2+y2−2x+4y+5（x，y是整数）的值为0，则x+y的值为 ；
(4)【问题探究】已知S=x2+4y2+8x−12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值．
(5)【问题拓展】已知实数x，y满足−x2+3x+y−5=0，求x+y的最小值．







































参考答案
1．解：x−22=0，
解得：x1=x2=2．
故选：B．
2．解：∵x−12=25，
∴x−1=5或x−1=−5，
故选C
3．解：直接开平方得：x=±2，
∴方程的解为：x1=2，x2=−2，
故选：C．
4．解：x2+6x−2=0
把一元二次方程变形x2+6x=2，
两边都加9，x2+6x+9=2+9，
x+32=11．
故选：A．
5．解:代数式x2−4x+3=x2−4x+4−1=x−22−1
∵x−22≥0，
∴x−22−1≥−1即代数式|x2−4x+3≥−1，
故选：A．
6．解：x+62−9=0，
x+62=9，
∴x+6=±3，
∴x1=−3,x2=−9，
故选：D．
7．解：∵2(x−1)2+1=0与(a+2)x2+(b−4)x+8=0为同族二次方程．
∴(a+2)x2+(b−4)x+8=(a+2)(x−1)2+1，
∴(a+2)x2+(b−4)x+8=(a+2)x2−2(a+2)x+a+3，
∴b−4=−2(a+2)8=a+3，
解得：a=5b=−10．
∴ax2+bx+2028=5x2−10x+2028=5x−12+2023
∴当x=1时，ax2+bx+2021取最小值为2023．
故选：D．
8．解：(x−2)2=3，
x−2=±3，
解得x1=2+3．x2=2−3，
∵方程(x−2)2=3的两根为a、b，且a>b，
∴a=2+3，b=2−3，
∴2a+b=2(2+3)+2−3=6+3．
故答案为：6+3．
9．解：∵ x2−2=2x，
∴ x2−2x=2，
∴ x2−2x+1=3，
∴ x−12=3．
∴m=−1，n=3．
∴ mn=−3．
故答案为：−3．
10．解：∵一元二次方程a+3x2+4ax+a2−9=0有一个根为0，
∴把x=0代入方程得：a2−9=0，
解得：a=3或a=−3，
∵a+3≠0，即a≠−3，
∴a=3，
故答案为：3．
11．解：根据题意得2m−1+m−5=0，
解得m=2，
故答案为：2．
12．解：x2−4x+1=0
移项得 x2−4x=−1，
配方得x2−4x+422=−1+422，即 x−22=3．
故答案为：x−22=3．
13．解：∵关于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的两个根为±3，
∴关于y的一元二次方程12022(y2+1)+3=2(y2+1)+b可得y2+1=x2=9，
解得y= −22和22．
故答案为：−22和22．
14．解:当y=0时，0=2x+b
∴x=−12b，
∴A−12b,0，
当x=0时，y=b
∴B0,b，
∵直线y=2x+b分别与x的正半轴、y的负半轴相交于A，B两点，
∴OA=−12b，OB=−b
∵△AOB的面积等于16，
∴12×−12b×−b=16，
解得：b=−8，b=8（不合题意，舍去）．
故答案为：−8．
15．（1）解：13(x+3)2=6
(x+3)2=18
x+3=±32
x+3=32或x+3=−32，
x1=32−3 ，x2=−32−3；
（2）解：4(x+1)2=(x−2)2
2(x+1)2=(x−2)2
2x+1=±x−2
2x+1=x−2或2x+1=−x−2
x1=−4 ，x2=0．
16．（1）解：9y2−4=0
9y2=4
y2=49
∴y1=23，y2=−23
（2）解：2x（x−2）−5（x−2）=0
2x2−4x−5x+10=0
2x2−9x+10=0
x2−92x+5=0
x2−92x+8116−8116+5=0
(x−94)2=116
∴x−94=−14或x−94=14
∴x1=2， x2=52
17．解:整理得：22x−52=33x−12，
∴22x+5=±33x−1，
∴22x+5=33x−1或22x+5=−33x−1，
∴x1=135，x2=−713．
18．解：∵x2−4x−3=0，
∴x2−4x=3，
∴x2−4x+4=7，
∴x−22=7，
∴x−2=±7，
解得x1=2+7，x2=2−7．
19．（1）解：无论x为何值，x−12≥0，
∴x−12+4≥4，
即当x=1时，式子x−12+4有最小值，故代数式x2−2x+5的最小值是；
（2）解：∵ x2+y2−6x+10y+34=0，
∴x2−6x+9+y2+10y+25=0，
即x−32+y+52=0，
∵x−32≥0，y+52≥0，
∴x−3=0，y+5=0，
∴x=3，y=−5，
∴y−x=−5−3=−8，
∴y−x的立方根是3−8=−2．
20．解:（1）4是“完美数”，理由：因为4＝22+02；
40是“完美数”，理由：因为40=62+22．
故答案为：4（答案不唯一），是；
（2）∵x2−6x+13=x2−6x+9+4=x−32+4
∴m=3，n=4，
∴mn=12
故答案为：12；
（3）∵x2+y2−2x+4y+5=x−12+y+22=0
∴x=1，y=−2，
∴x+y=−1
故答案为：−1；
（4）S=x2+4y2+8x−12y+k=x+42+2y−32+k−25
由题意得：k−25=0，
∴k=25；
（5）∵−x2+3x+y−5=0
∴x+y=x2−2x+5=x−12+4≥4；
∴当x=1时，x+y的最小值为4．