2022-2023学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列新能源汽车的标志，是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 若x>y，则下列式子中错误的是(    )
A. x−3>y−3 B. −x>−y C. x−c>y−c D. 2x>2y
3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是(    )
A. (x+1)(x−1)=x2−1 B. x2−2x+1=x(x−2)+1
C. x2−4y2=(x+4y)(x−4y) D. x2−x−6=(x+2)(x−3)
4. 用配方法解方程x2−4x−5=0时，原方程应变形为(    )
A. (x−2)2=5 B. (x−2)2=1 C. (x−4)2=5 D. (x−2)2=9
5. 如图，△ABC绕点A顺时针旋转40°得△AED，点D恰好在BC边上，则∠C的度数是(    )

A. 40° B. 50° C. 70° D. 80°
6. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=7，∠ABC的平分线BE交CD边于点E，则DE的长是(    )


A. 3 B. 7 C. 3.5 D. 5
7. 计算3xx−3+x+63−x的结果为(    )
A. 4x+6x−3 B. 2 C. 2x+6x−3 D. −2
8. 如图所示，在菱形ABCD中，若对角线AC=6，BD=8；过点A作AH⊥BC于H点，则AH的长为(    )
A. 65
B. 125
C. 245
D. 485
9. 已知m，n，5分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程x2−6x+k=0的两个根，则k的值等于(    )
A. 3 B. 5或9 C. 5 D. 9
10. 如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点D为AB边的中点，∠EDF=90°，将∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC、CB所在直线于点E、F，有以下4个结论：

①DE=DF；
②EF2=2DE2；
③∠DEC+∠DFC=180°；
④当点E、F落在AC、CB的延长线上时，S△DEF−S△CEF=12S△ABC，
在旋转的过程中上述结论一定成立的有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：x2+2x=           ．
12. 如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为______ ．


13. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q分别为AO、AD的中点，若PQ=2.5，则AC的长度为          ．


14. 关于x的方程x2−3x−a=0有两个实数根，则a的取值范围是______ ．
15. 若关于x的分式方程2x−4=3−mx−4有增根，则m的值是______ ．
16. 如图1，在矩形ABCD中，E为AB上一点(BE

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
因式分解：
(1)m2−25；
(2)y3+2y2+y．
18. (本小题6.0分)
解不等式组3x−5≥2(x−1)①x−12 19. (本小题6.0分)
如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE=DF.求证：AF=EC．

20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1+3a−2)÷a+1a2−4，其中a=5．
21. (本小题8.0分)
解方程：
(1)x2−4x+7=10；
(2)3xx−1−21−x=1．
22. (本小题8.0分)
如图，已知A，B，C是平面直角坐标系上的三个点．
(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1向右平移8个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
(3)△ABC与△A2B2C2是否也关于某个点成中心对称？如果是，请写出它们对称中心的坐标，如果不是，请说明理由．

23. (本小题10.0分)
为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同
(1)求A、B两类玩具的进价分别是每个多少元？
(2)该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则商店至少购进A类玩具多少个？
24. (本小题10.0分)
如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM．
(1)求证：四边形ADEC是矩形；
(2)若CM=6.5，且AC=12，求四边形ADEB的面积．

25. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(6,0)，与y轴交于点B(0,−3)，与正比例函数y=2x的图象相交于点C．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求出点C的坐标，并直接写出不等式kx+b≥2x的解集；
(3)若点D在直线y=2x上，点E在x轴上，且以B、C、D、E为顶点四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点D的坐标．

26. (本小题12.0分)
【操作发现】如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，∠DCE=30°，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF、EF.请直接写出下列结果：
①∠EAF的度数为______ ；
②DE与EF之间的数量关系为______ ．
【类比探究】如图2，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别与线段BC，CD相交于E，F(点E不与B，C重合，点F不与C，D重合)，且∠EAF=45°．
①试判断线段BE，EF，DF之间的数量关系并说明理由；
②如图3，若E，F是BC，CD上的定点，点P是EF的中点，连接AP，作点E关于直线AB的对称点E′，作点F关于直线AD的对称点F′，连接E′F′，当AP=5，BE+DF=92时，在线段AB，AD上是否分别存在M，N，使四边形MEFN的周长有最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题考查了中心对称图形，熟记定义是解答本题的关键．

2.【答案】B 
【解析】A.不等式两边同时减去一个相同的数，不等号方向不变，故不符合题意；
B.不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变，故符合题意；
C.不等式两边同时减去一个相同的数，不等号方向不变，故不符合题意；
D.不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变，故不符合题意．
故选：B．
根据不等式的性质依次判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟记相关性质是解题关键．

3.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解的意义：把一个多项式转化成几个整式的积的形式．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案．
【解答】
解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故B错误；
C、x2−4y2=(x+2y)(x−2y)，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故D正确，
故选：D．  
4.【答案】D 
【解析】解：∵x2−4x−5=0，
∴x2−4x=5，
则x2−4x+4=5+4，即(x−2)2=9，
故选：D．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．

5.【答案】C 
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△AED，
∴AC=AD，∠CAD=40°，
∴∠C=∠ADC=180°−∠CAD2=70°，
故选：C．
由将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△AED，可得AC=AD，∠CAD=40°，继而求得∠C的度数．
此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解题的关键．

6.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∴∠AEB=∠EBC，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴CB=CE，
∴ED=DC−EC=10−7=3．
故选：A．
根据角平分线及平行线的性质可得∠ABE=∠EBC，继而可得BC=E，根据ED=CD−EC即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出∠ABE=∠AEB，判断三角形ABE中，AB=AE，难度一般．

7.【答案】B 
【解析】解：原式=3xx−3−x+6x−3
=3x−x−6x−3
=2x−6x−3
=2(x−3)x−3
=2．
故选：B．
先通分，再把分子相加减即可．
本题考查的是分式的加减法，熟知异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∴BC= BO2+OC2= 32+42=5，
∵菱形ABCD的面积=12BC⋅AH=12BD⋅AC=12×5⋅AH=12×6×8=24，
∴AH=245，
故选：C．
由菱形面积=对角线积的一半可求面积，由勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．

9.【答案】B 
【解析】解：当m=n时，Δ=(−6)2−4k=0，
解得k=9，
∵m+n=6>5，
∴k=9满足条件；
当m=5时，5+n=6，5n=k，
解得n=1，k=5，
当n=m时，同理可得m=1，k=5，
综上所述，k的值为9或5．
故选：B．
讨论：当m=n时，利用判别式的意义得到Δ=(−6)2−4k=0，则k=9；当m=5时，根据根与系数的关系得5+n=6，5n=k，解得n=1，k=5；当n=5时，同理可得m=1，k=5．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了三角形三边的关系和根的判别式．

10.【答案】D 
【解析】解：如图：连接CD，

∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠B=∠A=45°，
∵点D为AB边的中点，
∴∠CDB=90°，∠ACD=12∠ACB=45°，CD=DB=12AB，
∴∠B=∠ACD=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDF=∠CDB=90°，
∴∠EDF−∠CDF=∠CDB−∠CDF，
∴∠EDC=∠FDB，
∴△EDC≌△FDB(ASA)，
∴DE=DF，∠DEC=∠DFB，
∵∠DFB+∠DFC=180°，
∴∠DEC+∠DFC=180°；
在Rt△EDF中，DE=DF，
∴EF2=DE2+DF2=2DE2；
故①②③都正确；
如图：连接CD，

∵∠ABC=∠ACD=45°，
∴∠DCE=180°−∠ACD=135°，∠DBF=180°−∠DBC=135°，
∴∠DCE=∠DBF，
∵∠EDF=∠CDB=90°，
∴∠EDF−∠CDF=∠CDB−∠CDF，
∴∠EDC=∠FDB，
∵DC=DB，
∴△EDC≌△FDB(ASA)，
∴△DBF的面积=△DCE的面积，
∴△DEF的面积=△DCB的面积+△CEF的面积，
∴△DEF的面积−△CEF的面积=△DCB的面积=12△ABC的面积，
故④正确；
所以，以上4个结论，在旋转的过程中上述结论一定成立的有4个，
故选：D．
连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠A=45°，再根据等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形斜边上的中线性质可得∠CDB=90°，∠ACD=12∠ACB=45°，CD=DB=12AB，从而可得∠B=∠ACD=45°，然后根据等式的性质可得∠EDC=∠FDB，从而利用ASA可证△EDC≌△FDB，进而可得DE=DF，∠DEC=∠DFB，最后利用平角定义以及等量代换可得∠DEC+∠DFC=180°，在Rt△EDF中，利用勾股定理可得EF2=2DE2；连接CD，根据平角定义可得∠DCE=∠DBF，再根据等式的性质可得∠EDC=∠FDB，从而利用ASA可证△EDC≌△FDB，然后面积的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

11.【答案】x(x+2) 
【解析】
【分析】
首先找出公因式，进而提取公因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【解答】
解：x2+2x=x(x+2)．
故答案为：x(x+2)．  
12.【答案】140° 
【解析】解：代入正多边形的内角公式得：
正九边形的一个内角度数=180°×(9−2)9=140°，
故答案为：140°．
【点睛】
根据正多边形的内角公式：一个内角的度数=180°(n−2)n，代入即可得出答案．
本题考查了求正多边形内角度数，掌握正多边形内角公式是本题的关键．

13.【答案】10 
【解析】解：∵P、Q分别为AO、AD的中点，PQ=2.5，
∴OD=2PQ=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，BD=2OD=10，
∴AC=10，
故答案为：10．
由三角形中位线定理可得OD=2PQ=5，由矩形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，掌握矩形的性质是解题的关键．

14.【答案】a≥−94 
【解析】解：∵x2−3x−a=0有两个实数根，
∴△≥0，即(−3)2−4⋅(−a)≥0，
解得a≥−94，
故答案为：a≥−94．
有两个实数根，首先二次项系数需不为0，其次△≥0，列出不等式求解即可．
本题考查一元二次方程有实数根的条件，容易忽视二次项系数不为0．

15.【答案】−2 
【解析】解：方程两边都乘x−4，
得2=3(x−4)−m
∵原方程有增根，
∴最简公分母x−4=0，
解得x=4，
当x=4时，m=−2，
故答案为：−2．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x−4=0，得到x=4，然后代入整式方程，算出a的值．
本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

16.【答案】25 
【解析】解：当t=0时，点P在B点处，PE+PC=y=BC+BE，
∴结合图象有：BC+BE=23，即BE=23−BC，
当点P在点E处时，PE+PC=y=EC，
如图，连接EC，

∴P1E+P1C≥EC，P2E+P2C≥EC，
∴可知当点P运动到E点时，y取最小值，
∴结合图象有：PE+PC=y=EC=17，
在Rt△BCE中，EC2=EB2+BC2，
∴172=(23−BC)2+BC2，
解得：BC=15或者BC=8，
∴BE=8或者BE=15，
∵BE ∴BC=15，BE=8，
当t=a时点P运动到点D，过E点作EN⊥DC于点N，如图，

在矩形ABCD中，EN⊥DC，
∴四边形EBCN是矩形，
∴EN=BC=15，NC=BE=8，
∵结合图象有：PE+PC=y=CD+DE=33，
∴DN=33−DE−NC=25−DE，
在Rt△DNE中，DE2=DN2+NE2，
∴DE2=(25−DE)2+152，
解得：DE=17，
∴DE+BE=17+8=25，
∵点P沿折线BED以每秒1个单位长度的速度从点B匀速运动到点D，
∴当t=251=25=a时，点P运动到点D．
故答案为：25．
当t=0时，点P在B点处，可得BC+BE=23，当点P在点E处时，可知此时y取最小值，结合图象有：PE+PC=y=EC=17，在Rt△BCE中，EC2=EB2+BC2，即可求出BC=15，BE=8，当t=a时点P运动到点D，过E点作EN⊥DC于点N，结合图象有：PE+PC=y=CD+DE=33，在Rt△DNE中，DE2=DN2+NE2，据此即可作答．
本题考查了函数图象的信息的获取，点的运动，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，充分理解函数图象所涵盖的信息，是解答本题的关键．

17.【答案】解：(1)原式=(m+5)(m−5)；
(2)原式=y(y2+2y+1)
=y(y+1)2． 
【解析】(1)利用平方差公式即可进行因式分解；
(2)先提公因式y，再利用完全平方公式即可．
本题考查提公因式法和公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．

18.【答案】解：3x−5≥2(x−1)①x−12 解不等式①得，x≥3，
解不等式②得，x<5，
∴不等式组的解集为3≤x<5，
∴不等式组的整数解为3，4． 
【解析】分别求解不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后求整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组的整数解．解题关键是掌握不等式组的解题步骤．

19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB//CD
∵BE=DF
∴AE=CF
∵AB//CD
∴四边形CEAF是平行四边形
∴AF=EC． 
【解析】根据ABCD是平行四边形，得出AB=CD，AB//CD，由BE=DF，从而可得到AE=CF，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出CFAF是平行四边形，从而不难得到结论．
此题主要考查学生对平行四边形的性质及判定的理解及运用，关键是根据平行四边形的性质和判定解答．

20.【答案】解：(1+3a−2)÷a+1a2−4
=a−2+3a−2×(a+2)(a−2)a+1
=a+1a−2×(a+2)(a−2)a+1
=a+2，
将a=5代入，
原式=5+2
=7． 
【解析】本题利用分式的计算法则来化简分式，化简后代值求出结果．
本题考查同学们对分式的运算法则，分式化简的应用．

21.【答案】解：(1)x2−4x+7=10，
x2−4x−3=0，
这里a=1，b=−4，c=−3，
∴Δ=(−4)2−4×1×(−3)=16+12=28>0，
∴x=4± 282×1=2± 7，
∴x1=2+ 7，x2=2− 7．
(2)3xx−1−21−x=1，
方程两边同乘(x−1)得：
3x+2=x−1
解得：x=−32，
检验：把x=−32代入得：x−1≠0，
∴原方程的解为x=−32． 
【解析】(1)化成一般式，用公式法解一元二次方程即可；
(2)先去分母，将分式方程变为整式方程，然后解整式方程求出x的值，最后对方程的解进行检验即可．
本题主要考查了解一元二次方程和分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算，注意解分式方程最后要进行检验．

22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)△ABC与△A2B2C2关于点D成中心对称，对称中心D的坐标为(4,0)． 
【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
(2)利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
(3)根据中心对称的定义进行判断．
本题考查了作图−旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质．

23.【答案】解：(1)设B类玩具的进价为x元，则A类玩具的进价是(x+3)元
由题意得900x+3=750x，
解得x=15，
经检验x=15是原方程的解．
所以15+3=18(元)
答：A类玩具的进价是18元，B类玩具的进价是15元；
(2)设购进A类玩具a个，则购进B类玩具(100−a)个，
由题意得：2a+10(100−a)≥1080，
解得a≥40．
答：至少购进A类玩具40个． 
【解析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系．准确的解分式方程或不等式是需要掌握的基本计算能力．
(1)设B的进价为x元，则a的进价是(x+3)元；根据用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可；
(2)设购进A类玩具a个，则购进B类玩具(100−a)个，结合“玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元”列出不等式并解答．

24.【答案】(1)证明：平行四边形ABCD中，AD//BC，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE=∠ACB=90°
∴∠DAC=∠ACE=90°，
∵DE//AC，
∴∠ACE=∠E=90°，
∴∠DAC=∠ACE=∠E=90°，
∴四边形ADEC是矩形；
(2)解：∵AC⊥BC，点M为AB的中点，CM=6.5，
∴AB=2CM=13，
在Rt△ACB中，BC= AB2−AC2=5，
平行四边形ABCD中，AD=BC=5，
在矩形ADEC中，AD=CE=5，
∴四边形ADEB的面积=S矩形ADEC+S△ACB
=AC⋅CE+12AC⋅BC
=AC⋅CE+12AC⋅BC
=12×5+12×12×5
=90． 
【解析】(1)利用平行线的性质分析可得∠DAC=∠ACE=∠E=90°，从而求证四边形ADEC是矩形；
(2)根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和勾股定理求得BC的长度，从而利用矩形和三角形的面积公式计算求解．
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，理解直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握平行四边形的性质及矩形的判定方法是解题关键．

25.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象经过点A(6,0)，与y轴交于点B(0,−3)，
∴6k+b=0b=−3，解得k=12b=−3，
∴一次函数的解析式为y=12x−3；
(2)解y=12x−3y=2x得x=−2y=−4，
∴C(−2,−4)，
由图象得：不等式kx+b≥2x的解集为x≤−2；
(3)设D(m,2m)，E(n,0)，
①BC为边时，如图1，

∴m+0=−2+n−3+2m=−4+0或−2+m=n+0−4+2m=0−3，
解得m=−12n=32或m=12n=−32，
∴点D的坐标为(−12,−1)或(12,1)；
②BC为对角线时，如图，

∴−2+0=m+n−4−3=2m+0，解得m=−72n=32，
∴点D的坐标为(−72,−7)；
综上，点D的坐标为(−12,−1)或(12,1)或(−72,−7)． 
【解析】(1)根据待定系数法即可求得；
(2)解析式联立，解方程组求得C的坐标，然后根据图象即可求解；
(3)设D(m,2m)，E(n,0)，分两种情况：①BC为边时，②BC为对角线时，根据平行四边形的性质即可求解．
本次是一次函数的综合题，考查一次函数的性质、利用图象求不等式组的解集，平行四边形的性质等，熟练掌握一次函数的性质，平行四边形的性质等是解题的关键．其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．

26.【答案】120°  DE=EF 
【解析】解：【操作发现】①∠EAF的度数为120°，理由如下：
∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，
∴CD=CF，∠FCD=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠FCD=60°，BC=AC，
∴∠ACB−∠ACD=∠FCD−∠ACD，即∠DCB=∠FCA．
在△DCB与△FCA中，
CD=CF∠DCB=∠FCABC=AC，
∴△DCB≌△FCA(SAS)，
∴∠CAF=∠B=60°．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=60°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAB=120°．
故答案为：120°；
②结论：DE=EF，理由如下：
∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，
∴∠FCD=60°，CD=CF，
∵∠DCE=30°，
∴∠FCE=∠DCF−∠DCE=30°．
在△FCE与△DCE中，
CF=CD∠FCE=∠ECDCE=CE，
∴△FCE≌△DCE(SAS)，
∴EF=ED．
故答案为：DE=EF；
【类比探究】①线段BE，EF，DF的数量关系是：DF+BE=EF，理由如下：
如图2所示，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，
∴△ABK≌△ADF，
∴AK=AF，BK=DF，∠BAK=∠DAF，
∴∠EAK=∠EAB+∠BAK=∠EAB+∠DAF=90°−∠EAF=45°，
∴∠EAK=∠EAF，
∴△EAK≌△EAF(SAS)，
∴EF=EK=BK+BE=DF+BE，
∴DF+BE=EF；
②四边形MEFN的周长存在最小值为292，理由如下：
如图3−1，延长AP至T，使得PT=AP，连接AE′，AF′，ET，
由题可得，点E关于直线AB的对称点为E′，点F关于直线AD的对称点为F′，
∴B为EE′的中点，D为FF′的中点，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE=∠ADF=90°，
∴AB为EE′的中垂线，AD为FF′的中垂线，
∴AE=AE′，AF=AF′，
∵点P是EF的中点，
∴PE=PF，
又∵∠EPT=∠FPA，AP=TP，
∴△PET≌△PFA(SAS)，
∴ET=AF，∠PET=∠PFA，
∴ET=AF′，且∠AET=∠AEP+∠PET=∠AEP+∠AFP=180°−∠EAF，
∵AE′=AE，AB=AB，∠ABE′=∠ABE=90°，
∴Rt△ABE≌Rt△ABE′(HL)，
∴∠BAE′=∠BAE，
同理可得∠FAD=∠F′AD，
∴∠E′AF′=∠BAE′+∠DAF′+∠BAD=∠BAE+∠DAF+∠BAD=(∠BAD−∠EAF)+∠BAD=180°−∠EAF，
∴∠AET=∠E′AF′，
又∵AE′=AE，AF′=ET，
∴△E′AF′≌△AET(SAS)，
∴E′F′=AT=2AP，
如图3−2，作点E关于AB的对称点E′，作点F关于AD的对称点F′，连接E′F′，交AB于M，交AD于N，连接ME，NF，
∵点E关于直线AB的对称点为E′，点F关于直线AD的对称点为F′，
∴B为EE′的中点，D为FF′的中点，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE=∠ADF=90°，
∴AB为EE′的中垂线，AD为FF′的中垂线，
∴ME=ME′，NF=NF′，
∴四边形MEFN的周长=EM+MN+FN+EF=ME′+MN+NF′+EF=E′F′+EF，
∵E′F′=2AP，由(1)知：EF=BE+DF，
且AP=5，BE+DF=92，
∴E′F′+EF=2AP+BE+DF=10+92=292，
∴当E′，M，N，F′在同一直线上时，四边形MEFN的周长有最小值，最小值为292．
【操作发现】①根据旋转及等边三角形的性质，证明△DCB≌△FCA，再求得∠EAF的度数为120°；
②根据旋转及等边三角形的性质，证明△FCE≌△DCE，再求得EF=ED；
【类比探究】①延长CB至K，使得BK=DF，连接AK，则△ABK≌△ADF，依据△EAK≌△EAF(SAS)，即可得出EF=EK=BK+BE=DF+BE；
②延长AP至T，使得PT=AP，连接AE′，AF′，ET，依据∠AET=∠E′AF′，AE′=AE，AF′=ET，即可得出△E′AF′≌△AET(SAS)，得到E′F′=AT=2AP；作点E关于AB的对称点E′，作点F关于AD的对称点F′，连接E′F′，交AB于M，交AD于N，连接ME，NF，根据ME=ME′，NF=NF′，即可得到四边形MEFN的周长=E′F′+EF，再根据E′F′=2AP，EF=BE+DF，且AP=m，BE+DF=n，即可得到E′F′+EF=2AP+BE+DF，进而得出四边形MEFN的周长有最小值．
本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，旋转的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．