2022-2023学年山东省济南市章丘区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济南市章丘区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省济南市章丘区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列绿色能源图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是(    )
A. 2a+2b=2(a+b) B. (a+1)(a−1)=a2−1
C. 2x+1=x(2+1x) D. a+2b=(a+b)+b
3. 不等式x−1<0的解集在数轴上表示正确的是(    )
A. B.
C. D.
4. 计算x−1x2−1+xx+1的结果为(    )
A. −1 B. 1 C. 1x+1 D. 1x−1
5. 要使分式1x−1有意义，则x的取值范围是(    )
A. x>1 B. x≠0 C. x=1 D. x≠1
6. 如图，若平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点)，点B′恰好落在BC边上，则∠C的度数等于(    )
A. 120°
B. 115°
C. 105°
D. 100°
7. 如图，△ABC中，AB=9cm，AC=5cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为(    )
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm
8. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(    )
A. AB//DC，AD//BC B. AD//BC，AB=DC
C. AB//DC，∠DAB=∠DCB D. AO=CO，BO=DO
9. 若关于x的分式方程x−3x−5−m5−x=0有增根，则m的值为(    )
A. −2 B. 2 C. 3 D. 5
10. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=12BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②OD=AB；③S▱ABCD=AC⋅CD；④S四边形OECD=32S△AOD，其中成立的个数为(    )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 若分式x+1x−1的值为0，则x的值是______．
12. 一个n边形的内角和是它外角和的3倍，则边数n=______．
13. 关于x的分式方程2mx+1=−1的解是负数，则m的取值范围是______ ．
14. 如图，直线l1的解析式为y=kx+b，直线l2的解析式为y=−x+5，则不等式kx+b≤−x+5的解集是______ ．

15. 如图，点A的坐标为(1,3)，点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为15，则点C的坐标为______．

16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为______ ．


三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
17. 解不等式组2x+3>3xx+33−x−16≥12，并把解集在数轴上表示出来．
18. 因式分解：
(1)2m2−18；
(2)y3+2y2+y．
四、解答题（本大题共8小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
先化简，再求值：2x+2x2−4÷(1−xx+2)，其中x=1．
20. (本小题8.0分)
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
(1)图中△ABC的面积为______ ；
(2)将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(3)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2BC2，并直接写出点A2，C2的坐标．

21. (本小题8.0分)
下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点．
求证：DE//BC，且DE=12BC．

方法一：
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF．

方法二：
证明：如图，取BC中点G，连接GE并延长到点F，使EF=GE，连接AF．



22. (本小题8.0分)
阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式(x2+4x+1)(x2+4x+7)+9进行因式分解的过程．
解：设x2+4x=y，则
原式=(y+1)(y+7)+9 (第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2+4x+4)2(第四步)
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______
A.提取公因式法
B.平方差公式法
C.完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______ ．
请你用换元法对多项式(9x2−6x+3)(9x2−6x−1)+4进行因式分解．
23. (本小题10.0分)
如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线恰好经过边CD的中点F，且与边BC的延长线交于点E．

(1)若AB=6，求BE的长；
(2)如图2，连接BF，过点D作DG⊥AE，交AE于点H，交AB于点G.求证：四边形BFDG是平行四边形．
24. (本小题10.0分)
某文具店准备构甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表：已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元；
(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的3倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．

甲水笔
乙水笔
每支进价(元)
a
a+5
每支利润(元)
2
3

25. (本小题12.0分)
操作发现：
(1)如图1，△ABC为等边三角形，点E是边AB上任意一点(BE<12AB)，将△CBE绕点C顺时针旋转60°，得到△CAF，将三角板的30°角按如图所示方式放置，与边AB交于点D，E.连接FD．

请直接写出结果：
①∠FAD= ______ °；
②DF与DE的数量关系是______ ；
类比探究：
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB，点E是边AB上的任意一点(BE<12AB)，将△CBE绕点C顺时针旋转90°，得到△CAF.将一个含45°角的三角板按如图所示方式放置，与边AB交于点D，E．
①求∠FAD的度数；
②若AD= 3，BE=1，试求DE的长．
26. (本小题12.0分)
如图1，以平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，以OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，OA=6 2，OC=14，∠AOC=45°，D是对角线AC的中点，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB方向运动到点B，同时点Q从点O出发，以每秒3个单位的速度沿x轴正方向运动，当点P到达点B时，两个点同时停止运动．
(1)求点A的坐标；
(2)连结PQ，AQ，CP，当PQ经过点D时，求四边形APCQ的面积．
(3)当以C、D、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，点Q的坐标为______ (直接写出答案即可)．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

2.【答案】A 
【解析】解：A.2a+2b=2(a+b)，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B.(a+1)(a−1)=a2−1，从左到右的变形是整式乘法，不属于因式分解，故选项不符合题意；
C.该等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.该等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：A．
因式分解就是将一个多项式化成几个整式积的形式，据此进行判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

3.【答案】D 
【解析】解：x−1<0，
x<1，
故选：D．
原不等式移项可得x<1，据此可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．

4.【答案】B 
【解析】解：原式=x−1(x+1)(x−1)+xx+1
=1x+1+xx+1
=x+1x+1
=1．
故选：B．
原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可．
此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出最简公分母．

5.【答案】D 
【解析】解：由题意可知：x−1≠0，
∴x≠1，
故选：D．
根据分母不为零即可求出答案．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．

6.【答案】C 
【解析】解：由旋转得：∠BAB′=30°，AB=AB′，
∴∠B=∠AB′B=12(180°−∠BAB′)=75°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠C=180°−∠B=105°，
故选：C．
根据旋转的性质可得：∠BAB′=30°，AB=AB′，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠B=∠AB′B=75°，再利用平行四边形的性质可得AB//CD，从而利用平行线的性质进行计算，即可解答．
本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，熟练掌握旋转的性质，以及平行四边形的性质是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：如图，延长CD交AB于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠FAD，
∵AD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
在△ADF和△ADC中，
∠DAF=∠DACAD=AD∠ADF=∠ADC，
∴△ADF≌△ADC(ASA)，
∴AF=AC=5cm，CD=FD，
∴BF=AB−AE=9−5=4cm，
∵CD=FD，点E为BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=12BF=2cm，
故选：B．
延长CD交AB于F，证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形对应边相等可得AF=AC，CD=FD，再求出BF并判断出DE是△BCF的中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半解答．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：A、∵AB//DC，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AD//BC，AB=DC，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AB//DC，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵∠DAB=∠DCB，
∴∠ABC+∠DAB=180°，则AD//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

9.【答案】A 
【解析】解：方程两边都乘(x−5)，得
x−3+m=0，
∵由最简公分母x−5=0，可知增根是x=5，
把x=5代入整式方程，
5−3+m=0，
∴m=−2．
故选：A．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x−5=0，所以增根是x=5，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
本题考查了分式方程中的增根问题，通常可按如下步骤进行：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

10.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD//BC，∠ABC=∠ADC=60°，OB=OD，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAD=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=60°，
且∠ABE=60°=∠AEB，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB=BE=AE，
∵AB=12BC，
∴EC=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO>AB，
∴OD>AB，故②错误；
∴S▱ABCD=AB⋅AC=AC⋅CD，故③正确；
∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD=3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD=1：4，
∴S四边形OECD=32S△AOD，故④正确．
故选：C．
结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由AB=12BC可判定①，证明∠BAC=90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④．
本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键．

11.【答案】−1 
【解析】
【分析】
本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子为0；②分母不为0，这两个条件缺一不可．
根据分式的值为零的条件可以解答本题．
【解答】
解：由分式x+1x−1的值为0，得
x+1=0且x−1≠0，
解得x=−1．
故答案为：−1．  
12.【答案】8 
【解析】
【分析】
本题主要考查了多边形的内角和的计算公式以及多边形的外角和定理，比较简单．
利用多边形的外角和是360°，一个n边形的内角和等于它外角和的3倍，则内角和是3×360°，而n边形的内角和是(n−2)×180°，则可得到方程，解之即可．
【解答】
解：设多边形的边数为n，
根据题意列方程，得：
(n−2)×180°=3×360°，
解得：n=8，
故答案为8．  
13.【答案】m>−0.5且m≠0 
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是正确得出分母不为零．首先求出关于x的分式方程2mx+1=−1的解，然后根据解为负数，求出m的取值范围即可．
【解答】
解：∵2mx+1=−1，
∴x=−2m−1，
∵关于x的分式方程2mx+1=−1的解是负数，
∴−2m−1<0，
解得：m>−0.5，
当x=−2m−1=−1时，方程无解，
∴m≠0，
∴m的取值范围是：m>−0.5且m≠0．
故答案为：m>−0.5且m≠0．  
14.【答案】x≤2 
【解析】解：将y=3代入y=−x+5，得：3=−x+5，
解得x=2，
则直线l1的直线l2的交点为(2,3)，
∴不等式kx+b≤−x+5的解集是x≤2，
故答案为：x≤2．
将y=3代入y=−x+5，求出相应的x的值，即可得到两条直线的交点坐标，再观察图象，即可写出不等式kx+b≤−x+5的解集．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，求出交点坐标．

15.【答案】(6,3) 
【解析】解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，A和C的纵坐标相同，
∵四边形ABDC的面积为15，点A的坐标为(1,3)，
∴3AC=15，
∴AC=5，
∴C(6,3)，
故答案为(6,3)．
根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标．
本题考查了坐标与图形的变换−平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．

16.【答案】 3 
【解析】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，
∴∠BCA=30°，
∵AB=2，
∴BC=2AB=4，
∴AC= BC2−AB2= 42−22=2 3，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，CO=AO，
∴CO= 3，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB=∠P′CO，∠CP′O=∠CAB=90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴COBC=OP′AB，
即 34=OP′2，
∴OP′= 32
∴则PQ的最小值为2OP′= 3．
故答案为： 3．
以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作出高线构造出相似三角形．

17.【答案】解：2x+3>3x①x+33−x−16≥12②，
解①得x<3，
解②得x≥−4，
所以不等式组的解集为−4≤x<3，
在数轴上表示为：
 
【解析】分别解两个不等式得到x<3和x≥−4，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后用数轴表示出解集．
本题考查了解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

18.【答案】解：(1)2m2−18
=2(m2−9)
=2(m+3)(m−3)；
(2)y3+2y2+y
=y(y2+2y+1)
=y(y+1)2． 
【解析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
(1)先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．

19.【答案】解：原式=2(x+1)(x+2)(x−2)÷(x+2x+2−xx+2)
=2(x+1)(x+2)(x−2)÷2x+2
=2(x+1)(x+2)(x−2)⋅x+22
=x+1x−2，
当x=1时，原式=1+11−2=−2． 
【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．

20.【答案】3.5 
【解析】解：(1)如图，△ABC的面积=3×4−12×1×3−12×1×4−12×2×3=3.5；
(2)如图，△A1B1C1为所作；
(3)如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标为(0,0)，点C2的坐标为(3,2)．

(1)利用割补法计算△ABC的面积；
(2)利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(3)利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A2、C2即可．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

21.【答案】解：选择方法一，
证明如下：在△AED和△CEF中，
AE=EC∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴CF=AD，∠DAE=∠FCE，
∴CF//AB，
∵AD=DB，
∴CF=DB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF=BC，DF//BC，
∵DE=12DF，
∴DE=12BC，DE//BC；
方法二，证明△AEF≌△CEG，
得到四边形ABGF为平行四边形，仿照方法一证明． 
【解析】证明△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得到CF=AD，∠DAE=∠FCE，再证明四边形DBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．

22.【答案】C  (x−2)4 
【解析】解：(1)原式=(y+1)(y+7)+9 (第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2+4x+4)2(第四步)，
由题意可知，选项C符合题意；
故答案为：C．
(2)(x2−4x+1)(x2−4x+7)+9，
设x2−4x=y，
原式=(y+1)(y+7)+9，
=y2+8y+16，
=(y+4)2，
=(x2−4x+4)2，
=(x−2)4；
故答案为：(x−2)4；
设9x2−6x=y，
原式=(y+3)(y−1)+4，
=y2+2y+1，
=(y+1)2，
=(9x2−6x+1)2，
=(3x−1)4．
(1)根据完全平方公式进行分解因式；
(2)最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；根据材料，用换元法进行分解因式．
本题考查了因式分解−换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．

23.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAF=∠E，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF=∠BAE，
∴∠BAE=∠E，
∴BE=AB=6，即BE的长为6；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠DAF=∠E，
∵F是CD的中点，
∴DF=CF，
在△ADF和△ECF中，
∠DAF=∠E∠AFD=∠EFCDF=CF，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴AF=EF，
由(1)可知，BE=AB，
∴BF⊥AE，
∵DG⊥AE，
∴DG//BF，
又∵DF//BG，
∴四边形BFDG是平行四边形． 
【解析】(1)由平行四边形的性质得AD//BC，则∠DAF=∠E，再由角平分线定义得∠DAF=∠BAE，则∠BAE=∠E，然后由等腰三角形的判定即可得出结论；
(2)证△ADF≌△ECF(AAS)，得AF=EF，再由等腰三角形的性质得BF⊥AE，则DG//BF，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

24.【答案】解：(1)由题意可得：400a=800a+5
解得a=5，
经检验，a=5是原分式方程的解，
∴a+5=10，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元；
(2)设利润为w元，甲种水笔购进x支，
w=2x+3×2000−5x10=0.5x+600，
∵k=0.5>0，
∴w随x的增大而增大，
∵购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的3倍，
∴x≤2000−5x10×3，
解得，x≤240，
∴当x=240时，w取得最大值，最大值720，
此时，2000−5x10=80，
答：该文具店购进甲种水笔240支，乙种水笔80支时，能使利润最大，最大利润是720元． 
【解析】(1)根据花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等，可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元；
(2)根据题意，可以得到利润与购进甲种水笔数量的函数关系，然后根据要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的3倍，可以得到购进甲种水笔数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

25.【答案】120  DF=DE 
【解析】解：(1)①∠FAD的度数为120°，理由如下：
∵将△CBE绕点C顺时针旋转60°，得到△CAF，
∴△CEB≌△CFA，
∴∠CAF=∠B=60°．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=60°，
∴∠FAD=∠FAC+∠CAB=120°．
故答案为：120°；
②结论：DF=DE，理由如下：
∵将△CBE绕点C顺时针旋转60°，得到△CAF，
∴△CEB≌△CFA，
∴∠FCD=60°，CD=CF，
∵∠DCE=30°，
∴∠FCD=∠FCE−∠DCE=30°．
在△FDC与△DEC中，
CF=CE∠FCD=∠DCECD=CD，
∴△FDC≌△DEC(SAS)，
∴DF=DE．
故答案为：DF=DE；
(2)①∵∠BCA=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45°，
由旋转可知，∴△CBE≌△CAF，
∴∠FAC=∠B=45°，
∴∠FAD=∠FAC+∠CAB=90°；
②连接FD．

∵∠FCE=90°，∠DCE=45°，
∴∠FCD=45°=∠DCE，
在△ECD和△FCD中，
CE=CF∠FCD=∠DCECD=CD，
∴△FCD≌△ECD(SAS)，
∴DF=DE，
在Rt△FAD中，FA2+AD2=DF2，
∵DE=DF，AF=BE，
∴EB2+AD2=DE2，
∵AD= 3，BE=1，
∴DE2=3+1=4，
∴DE=2．
(1)①根据旋转及等边三角形的性质，证明△CEB≌△CFA，再求得∠FAD的度数为120°；②根据旋转及等边三角形的性质，证明△FDC≌△DEC，再求得DF=DE；
(2)①根据旋转及全等三角形的判定和性质，再求得∠FAD的度数为90°；②根据旋转及勾股定理，再求得DE即可．
本题三角形综合题，考查了图形旋转的性质，三角形全等的证明及性质应用，以及等边三角形、等腰三角形等特殊三角形的性质，综合运用以上知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．

26.【答案】(9,0)或(19,0)或(878,0)或(6,0) 
【解析】解：(1)过点A作AH⊥x轴于H，如图2所示：
∵∠AOH=45°，
∴△AHO是等腰直角三角形，
∴AH=OH= 22OA= 22×6 2=6，
∴点A的坐标为：(6,6)；
(2)∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB//OC，
∴∠PAD=∠QCD，
∵D是对角线AC的中点，
∴AD=CD，
当PQ经过点D时，∠ADP=∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，
∠PAD=∠QCDAD=CD∠ADP=∠CDQ，
∴△ADP≌△CDQ(ASA)，
∴AP=CQ=t，
∵OQ=3t，
∴OC=OQ+CQ=4t=14，
∴t=72，
∴AP=CQ=72，
∴四边形APCQ是平行四边形，
∴S四边形APCQ=CQ⋅AH=72×6=21，
∴当PQ经过点D时，四边形APCQ的面积为21；
(3)过点A作AH⊥x轴于H，过点D作DE⊥OC于E，如图3所示：
∵D是对角线AC的中点，
∴DE是△AHC的中位线，
∴DE=12AH=3，CE=HE=12(OC−OH)=12×(14−6)=4，
∴OE=6+4=10，
∴点D的坐标为：(10,3)，
∴CD= (14−10)2+(0−3)2=5，
①当CD=CQ=5时，
设点Q的坐标为：(n,0)，
∴(n−14)2=25，
解得：n1=9，n2=19(不合题意舍去)，
∴点Q的坐标为(9,0)；
②当QD=QC时，
设点Q的坐标为：(m,0)，
∴(m−10)2+32=(14−m)2，
解得：m=878，
∴点Q的坐标为(878,0)；
③当DQ=DC时，OQ=OC−2CE=14−2×4=6，
∴点Q的坐标为(6,0)；
综上所述，当以C、D、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，点Q的坐标为(9,0)或(878,0)或(6,0)，
故答案为：(9,0)或(878,0)或(6,0)．
(1)过点A作AH⊥x轴于H，证△AHO是等腰直角三角形，得AH=OH= 22OA=6，即可求解；
(2)证△ADP≌△CDQ(ASA)，得AP=CQ=t，则OC=OQ+CQ=4t=14，得t=72，再证四边形APCQ是平行四边形，即可求解；
(3)过点A作AH⊥x轴于H，过点D作DE⊥OC于E，证DE是△AHC的中位线，得DE=12AH=3，CE=HE=12(OC−OH)=4，则点D的坐标为：(10,3)，求出CD=5，①当CD=CQ=5时，设点Q的坐标为(n,0)，则(n−14)2=25，解得n1=9，n2=19，即可求解；
②当QD=QC时，设点Q的坐标为(m,0)，则(m−10)2+32=(m−14)2，解得m=878，即可求解；
③当DQ=DC时，OQ=OC−2CE=6，则点Q的坐标为(6,0)．
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ADP≌△CDQ是解题的关键，属于中考常考题型．