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2022-2023学年山东省济南市长清区七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省济南市长清区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市长清区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，满分40分．在每小题列出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．30的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．30
2．芝麻作为食品和药物，均被广泛使用，经测算一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，用科学记数法表示一粒芝麻的质量应为（ ）
A．2.01×10﹣3kg B．2.01×10﹣6kg
C．20.1×10﹣6kg D．2.01×10﹣7kg
3．下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（﹣a3）2＝﹣a6
C．a9÷a3＝a6 D．a2+2a3＝3a5
5．如图，如果要把河流中的水引到水池A中，那么在河岸的B处（已知AB⊥CD）挖渠就能使得水渠AB的长度最短，这样做的数学依据是（ ）
A．点到直线的距离 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短
6．x2+mx+36是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．±12 B．±6 C．12 D．﹣6
7．如图，已知平行线a，b，一个直角三角板的直角顶点在直线a上，另一个顶点在直线b上，若∠1＝70°，则∠2的大小为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．已知火车站托运行李的费用C和托运行李的质量P（P为整数）的对应关系如表所示：
P（kg）
1
2
3
4
5
…
C（元）
2
2.5
3
3.5
4
…
则C与P之间的关系式为（ ）
A．C＝0.5P﹣0.5 B．C＝2P﹣0.5 C．C＝2P+0.5 D．C＝0.5P+1.5
9．如下所示的尺规作图题，题中符号代表的内容正确的是（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：
（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心②长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心③长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作④，∠DEF即为所求作的角．
A．①表示点E B．②表示PQ
C．③表示OQ D．④表示射线EF
10．已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下列说法正确的有几个（ ）
①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和10.25s．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本题共6小题，满分24分）
11．计算：（a+2）（a﹣2）＝ ．
12．已知3a＝2，3b＝6，则3a+b＝ ．
13．如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝42°，则∠ACD的度数为 ．
14．若（2x﹣1）（4x+a）的结果中不含x的一次项，则实数a的值为 ．
15．光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处射线BD是光线AB的延长线，∠1＝60°，∠2＝43°，则∠DBC的度数为 ．
16．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是 ．
三、解答题（本题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．计算：
（1）x2•x3﹣（x3）4÷x7；
（2）（x+2）（2x﹣3）．
18．计算：
（1）；
（2）（8x4+4x3﹣x2）÷（﹣2x）2．
19．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：
∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（ ）．
∵∠ABC＝∠ADC（ ），
∴∠ ＝∠ （等量代换）．
∵∠1＝∠3（ ），
∴∠2＝∠ （ ）．
∴AB∥DC（ ）．
20．先化简，再求值：[（2x﹣y）（x+2y）﹣（x+y）2+3y2]÷x，其中x＝1，y＝﹣3．
21．甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由A地到相距80千米的B地，他们行驶的路程y与所用时间x的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）此变化过程中， 是自变量， 是因变量．
（2）甲乙两人 先出发，早出发 小时．
（3）求乙出发多长时间追上甲？
22．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠BOC＝4：5．
（1）求∠BOE的度数；
（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．
23．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温t （℃） 的关系．
海拔高度h（千米）
0
1
2
3
4
5
…
气温t（℃）
20
14
8
2
﹣4
﹣10
…
根据如表，回答以下问题：
（1）当海拔高度为3千米时，气温是 ℃；当气温为﹣22℃时，海拔高度是 千米．
（2）写出气温t与海拔高度h的关系式 ；
（3）当气温是﹣40℃时，求海拔高度是多少？
24．已知x≠1．观察下列等式：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；
…
（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3⋯+xn﹣1）＝ ；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝ ；
②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝ ．
（3）求2100+299+298+…+22+2+1的值是多少？
25．如图①是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②．请你直接写出下列三个式子：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系式为 ；
（2）若m、n均为实数，且m+n＝﹣2，mn＝﹣3，运用（1）所得到的公式求m﹣n的值；
（3）如图③，S1、S2分别表示边长为x、y的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若S1+S2＝20，AB＝x+y＝6，求图中阴影部分的面积．
26．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．
（1）如图1，①若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；
②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是 度．
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是 ．
（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，
①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是 度．
②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，求∠ACE的度数．
参考答案
一、选择题（本题共10小题，满分40分．在每小题列出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．30的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．30
【分析】根据零指数幂的性质即可得到结论．
解：30的值为1，
故选：B．
【点评】本题考查了零指数幂，熟练掌握任何不为0的数的零指数都等于1是解题的关键．
2．芝麻作为食品和药物，均被广泛使用，经测算一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，用科学记数法表示一粒芝麻的质量应为（ ）
A．2.01×10﹣3kg B．2.01×10﹣6kg
C．20.1×10﹣6kg D．2.01×10﹣7kg
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
解：0.00000201kg＝2.01×10﹣6kg．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
3．下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
解：只有选项A中的∠1和∠2是同位角．
故选：A．
【点评】本题考查同位角，关键是掌握同位角的定义．
4．下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（﹣a3）2＝﹣a6
C．a9÷a3＝a6 D．a2+2a3＝3a5
【分析】逐一算错每一个选项，即可得出正确答案．
【解答】A：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故A选项不符合题意．
B：（﹣a3）2＝a6，故B选项不符合题意．
C：a9÷a3＝a6，故C选项符合题意．
D：a2和2a3不是同类项，不能合并运算，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法．掌握运算法则是解决问题的关键．
5．如图，如果要把河流中的水引到水池A中，那么在河岸的B处（已知AB⊥CD）挖渠就能使得水渠AB的长度最短，这样做的数学依据是（ ）
A．点到直线的距离 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短
【分析】由垂线的性质：垂线段最短，即可判断．
解：在河岸的B处（已知AB⊥CD）挖渠就能使得水渠AB的长度最短，这样做的数学依据是：垂线的性质：垂线段最短．
故选：B．
【点评】本题考查点到直线的距离，掌握垂线的性质是解题的关键．
6．x2+mx+36是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．±12 B．±6 C．12 D．﹣6
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
解：∵x2+mx+36＝x2+2••x+62，是一个完全平方式，
∴＝±6，即m＝±12，
故选：A．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2是解本题的关键．
7．如图，已知平行线a，b，一个直角三角板的直角顶点在直线a上，另一个顶点在直线b上，若∠1＝70°，则∠2的大小为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．
解：∵a∥b，∠1＝70°
∴∠3＝70°，
∵直角三角板的直角顶点在直线a上，
∴∠2＝90°﹣∠3＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及垂线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
8．已知火车站托运行李的费用C和托运行李的质量P（P为整数）的对应关系如表所示：
P（kg）
1
2
3
4
5
…
C（元）
2
2.5
3
3.5
4
…
则C与P之间的关系式为（ ）
A．C＝0.5P﹣0.5 B．C＝2P﹣0.5 C．C＝2P+0.5 D．C＝0.5P+1.5
【分析】读懂题意，通过观察数据的变化，可以判断符合一次函数关系，待定系数法求出函数解析式．
解：根据题意可知符合一次函数关系，
∴解析式为C＝kP+b，
把C＝2，P＝1，C＝2.5，P＝2，分别代入解析式得：，
解得：，
∴C与P之间的关系式为：C＝0.5P+1.5．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的表示法和函数的解析式，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数的解析式．
9．如下所示的尺规作图题，题中符号代表的内容正确的是（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：
（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心②长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心③长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作④，∠DEF即为所求作的角．
A．①表示点E B．②表示PQ
C．③表示OQ D．④表示射线EF
【分析】根据尺规作图作一个角等于已知角的方法即可判断．
解：作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
所以A，B，C选项都错误，D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一个角等于已知角）．
10．已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下列说法正确的有几个（ ）
①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和10.25s．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时△HAF的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．
解：当点H在AB上时，如图所示，
AH＝xt （cm），
S△HAF＝×AF×AH＝4xt（cm2），
此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H在BC上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝AB，
∴S△HAF＝×AF×AB，此时三角形面积不变，
当点H在CD上时，如图所示，HP是△HAF的高，C，D，P三点共线，
S△HAF＝×AF×HP，点H从点C点D运动，HP逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H在DE上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝EF，
S△HAF＝×AF×EF，此时三角形面积不变，
当点H在EF时，如图所示，
S△HAF＝×AF×HF，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
对照图2可得0≤t≤5时，点H在AB上，
S△HAF＝4xt＝4•5x＝40（cm2），
∴x＝2，AB＝2×5＝10（cm），
∴动点H的速度是2cm/s，
故①正确，
5≤t≤8时，点H在BC上，此时三角形面积不变，
∴动点H由点B运动到点C共用时8﹣5＝3（s），
∴BC＝2×3＝6（cm），
故②错误，
8≤t≤12时，当点H在CD上，三角形面积逐渐减小，
∴动点H由点C运动到点D共用时12﹣8＝4（s），
∴CD＝2×4＝8（cm），
∴EF＝AB﹣CD＝10﹣8＝2（cm），
在D点时，△HAF的高与EF相等，即HP＝EF，
∴S△HAF＝×AF×EF＝×8×2＝8（cm2），
故③正确，
12≤t≤b，点H在DE上，DE＝AF﹣BC＝8﹣6＝2（cm），
∴动点H由点D运动到点E共用时2÷2＝1（s），
∴b＝12+1＝13，
故④错误．
当△HAF的面积是30cm2时，点H在AB上或CD上，
点H在AB上时，S△HAF＝4xt＝8t＝30（cm2），
解得t＝3.75（s），
点H在CD上时，
S△HAF＝×AF×HP＝×8×HP＝30（cm2），
解得HP＝7.5（cm），
∴CH＝AB﹣HP＝10﹣7.5＝2.5（cm），
∴从点C运动到点H共用时2.5÷2＝1.25（s），
由点A到点C共用时8s，
∴此时共用时8+1.25＝9.25（s），
故⑤错误．
故选：A．
【点评】本题是动点函数的图象问题．考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键．
二、填空题（本题共6小题，满分24分）
11．计算：（a+2）（a﹣2）＝ a2﹣4 ．
【分析】利用平方差公式直接求解即可求得答案．
解：（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4．
故答案为：a2﹣4．
【点评】本题考查了平方差公式．注意运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
12．已知3a＝2，3b＝6，则3a+b＝ 12 ．
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
解：当3a＝2，3b＝6时，
3a+b
＝3a×3b
＝2×6
＝12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
13．如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝42°，则∠ACD的度数为 132° ．
【分析】直接利用平行线的性质结合垂直定义得出∠BAC度数以及∠ACD的度数．
解：∵AB⊥AE，∠CAE＝42°，
∴∠BAC＝90°﹣42°＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝132°．
故答案为：132°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠BAC度数是解题关键．
14．若（2x﹣1）（4x+a）的结果中不含x的一次项，则实数a的值为 2 ．
【分析】根据多项式乘以多项式进行计算，根据题意令x的一次项系数为0即可求解．
解：（2x﹣1）（4x+a）＝8x2+2ax﹣4x﹣a＝8x2+（2a﹣4）x﹣a，
∵结果不含x的一次项，
∴2a﹣4＝0，
解得：a＝2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
15．光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处射线BD是光线AB的延长线，∠1＝60°，∠2＝43°，则∠DBC的度数为 17° ．
【分析】先根据平行线的性质求出∠CBN的度数，再根据邻补角的定义即可求解．
解：由题意可知：
∵MN∥EF，
∴∠1+∠CBN＝180°，
∵∠1＝60°，
∴∠CBN＝180°﹣60°＝120°，
∵∠2＝43°，
∴∠CBA＝∠CBN+∠2＝120°+43°＝163°，
∵∠DBC+∠CBA＝180°，
∴∠DBC＝180°﹣163°＝17°，
故答案为：17°．
【点评】本题主要考查了平行线和邻补角，掌握平行线的性质和邻补角的定义是解题的关键．
16．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是 20 ．
【分析】分析图形可得阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，据此计算可得关系式；代入a+b＝10，ab＝20，计算可得答案．
解：根据题意可得，阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，
即（a2+b2）﹣﹣＝（a2+b2﹣ab）＝（a2+b2+2ab﹣3ab）＝[（a+b）2﹣3ab]；
代入a+b＝10，ab＝20可得
阴影面积为（10×10﹣20×3）÷2＝20；
故答案为20．
【点评】本题的关键是利用面积的和差关系求出阴影部分的面积，但在计算时要把未知的代数式转化成已知，代入求值．
三、解答题（本题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．计算：
（1）x2•x3﹣（x3）4÷x7；
（2）（x+2）（2x﹣3）．
【分析】（1）先算同底数幂的乘法、幂的乘方的运算，再算同底数幂的除法，最后合并同类项；
（2）根据多项式与多项式相乘的法则计算．
解：（1）x2•x3﹣（x3）4÷x7
＝x5﹣x12÷x7
＝x5﹣x5
＝0；
（2）（x+2）（2x﹣3）
＝2x2﹣3x+4x﹣6
＝2x2+x﹣6．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项，掌握运算法则是解题关键．
18．计算：
（1）；
（2）（8x4+4x3﹣x2）÷（﹣2x）2．
【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．
解：（1）原式＝5+1﹣2
＝4；
（2）原式＝（8x4+4x3﹣x2）÷（4x2）
＝．
【点评】此题主要考查了实数的运算以及整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：
∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（ 角平分线的定义 ）．
∵∠ABC＝∠ADC（ 已知 ），
∴∠ 1 ＝∠ 2 （等量代换）．
∵∠1＝∠3（ 已知 ），
∴∠2＝∠ 3 （ 等量代换 ）．
∴AB∥DC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据题目中的证明过程，可以写出相应的推理依据，本题得以解决．
【解答】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（角平分线的定义），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．先化简，再求值：[（2x﹣y）（x+2y）﹣（x+y）2+3y2]÷x，其中x＝1，y＝﹣3．
【分析】根据多项式乘多项式、完全平方公式、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
解：原式＝[2x2+4xy﹣xy﹣2y2﹣（x2+2xy+y2）+3y2]÷x
＝（2x2+4xy﹣xy﹣2y2﹣x2﹣2xy﹣y2+3y2）÷x
＝（x2+xy）÷x
＝x+y，
当x＝1，y＝﹣3时，原式＝1+（﹣3）＝﹣2．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
21．甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由A地到相距80千米的B地，他们行驶的路程y与所用时间x的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）此变化过程中， 时间 是自变量， 路程 是因变量．
（2）甲乙两人 甲 先出发，早出发 3 小时．
（3）求乙出发多长时间追上甲？
【分析】（1）根据自变量和因变量的定义即可求解；
（2）根据函数图象即可解答；
（3）先根据函数图象分别求出甲、乙两人的骑行速度，再设乙出发a小时追上甲，以此列出方程，解方程即可．
解：（1）此变化过程中，时间是自变量，路程是因变量；
故答案为：时间，路程；
（2）由图象可知，甲先出发，早出发3小时；
故答案为：甲，3；
（3）甲的骑行速度为＝10（千米/时），
乙的骑行速度为＝40（千米/时），
设乙出发a小时追上甲，
根据题意得：10（x+3）＝40x，
解得：x＝1，
∴乙出发1小时追上甲．
【点评】本题主要考查函数的图象、一元一次方程的应用，解题关键是由图象得出正确的信息，属于中考常考题型．
22．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠BOC＝4：5．
（1）求∠BOE的度数；
（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．
【分析】（1）依据∠AOC：∠BOC＝4：5，∠AOC+∠BOC＝180°，设∠AOC＝4x°，∠BOC＝5x°，列方程求得∠BOD＝∠AOC＝80°，再根据角平分线的定义即可得出结论；
（2）依据OF⊥OE，可得∠EOF＝90°，进而得到∠AOF＝90°﹣∠BOE＝50°，再根据∠COF＝∠AOC+∠AOF进行计算即可．
解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝4：5，
∴设∠AOC＝4x°，∠BOC＝5x°．
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴4x+5x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠AOC＝4x＝80°，
∴∠BOD＝∠AOC＝80°．
∵OE平分∠BOD，
∴；
（2）∵OF⊥OE，∠BOE＝40°，
∴∠AOF＝90°﹣∠BOE＝50°．
∵∠AOC＝80°，
∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝130°．
【点评】本题考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和角平分线的定义，掌握邻补角互补、对顶角相等和垂直的定义是解题的关键．
23．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温t （℃） 的关系．
海拔高度h（千米）
0
1
2
3
4
5
…
气温t（℃）
20
14
8
2
﹣4
﹣10
…
根据如表，回答以下问题：
（1）当海拔高度为3千米时，气温是 2 ℃；当气温为﹣22℃时，海拔高度是 7 千米．
（2）写出气温t与海拔高度h的关系式 t＝20﹣6h ；
（3）当气温是﹣40℃时，求海拔高度是多少？
【分析】（1）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律，即可解答；
（2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律：h每增加1千米，气温就下降6℃，即可解答；
（3）把t＝﹣40代入t＝20﹣6h中，进行计算即可解答．
【解答】（1）当海拔高度为3千米时，气温是2℃；当气温为﹣22℃时，海拔高度是7千米；
故答案为：2；7；
（2）气温t与海拔高度h的关系式：t＝20﹣6h，
故答案为：t＝20﹣6h；
（3）当t＝﹣40时，即20﹣6h＝﹣40，
解得：h＝10，
答：海拔高度是10千米．
【点评】本题考查了函数关系式，根据表格找出两个变量的变化规律是解题的关键．
24．已知x≠1．观察下列等式：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；
…
（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3⋯+xn﹣1）＝ 1﹣xn ；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝ ﹣63 ；
②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝ 22023﹣1 ．
（3）求2100+299+298+…+22+2+1的值是多少？
【分析】（1）根据所列等式所呈现的规律得出答案；
（2）①由规律得出结果为1﹣27即可；
②将原式变为﹣（1﹣x）（1+x+x2+…+x2020+x2021+x2022）的形式；然后利用平方差公式作答；
（3）由（2）②可得2101﹣1．
解：（1）由所列等式的呈现规律可得，（1﹣x）（1+x+x2+x3+⋯+xn﹣1）＝1﹣xn，
故答案为：1﹣xn；
（2）①由等式所呈现的规律可得，
（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝1﹣26＝﹣63，
故答案为：﹣63；
②原式＝﹣（1﹣x）（1+x+x2+…+x2020+x2021+x2022）
＝﹣（1﹣x2023）
＝22023﹣1，
故答案为：22023﹣1；
（3）由（2）②可得，
原式＝2101﹣1．
【点评】本题考查平方差公式，数字的变化类以及多项式乘多项式，发现所列等式所呈现的规律是正确解答的关键．
25．如图①是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②．请你直接写出下列三个式子：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系式为 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；
（2）若m、n均为实数，且m+n＝﹣2，mn＝﹣3，运用（1）所得到的公式求m﹣n的值；
（3）如图③，S1、S2分别表示边长为x、y的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若S1+S2＝20，AB＝x+y＝6，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由图象中小正方形面积＝大正方形面积﹣长方形面积求解．
（2）根据（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn求解．
（3）由x+x＝20，x+y＝6，S阴影＝S△ACF+S△BCD求解．
解：（1）由图象可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
（2）∵（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，
∵m+n＝﹣2，mn＝﹣3，
∴（m﹣n）2＝（﹣2）2﹣4×（﹣3）＝16．
∴m﹣n＝±4．
（3）∵S1+S2＝20，
∴x+x＝20，
∴S阴影＝S△ACF+S△BCD＝x1•x2+x1•x2＝x1•x2＝[（x1+x2）2﹣（x+x）]＝（62﹣20）＝8．
【点评】本题考查完全平方式的应用，解题关键是熟练掌握完全平放式．
26．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．
（1）如图1，①若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；
②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是 30 度．
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是 ∠ACB+∠DCE＝180° ．
（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，
①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是 45或135 度．
②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，求∠ACE的度数．
【分析】（1）根据三角板中的特殊角，以及互余的意义可求答案；
（2）利用直角的意义以及角的和差关系得出结论；
（3）①由平行线的性质，得出两直线平行，内错角相等可得答案；
②利用平行线的性质和三角板的特殊角以及角的和差关系得出答案．
解：（1）
①∵∠DCE＝40°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝50°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝50°+90°＝140°；
②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝150°﹣90°＝60°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30；
（2）∵∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，
故答案为：∠ACB+∠DCE＝180°；
（3）①当BE在AC上方时，
∵BE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝45°，
当BE在AC下方时，
∵BE∥AC，
∴∠ACE＝180°﹣∠E＝135°，
故答案为：45°或135°；
②如图4﹣1，
∵BC∥DA，
∴∠A+∠ACB＝180°，
又∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝120°﹣90°＝30°．
如图4﹣2，
∵BC∥DA，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
又∵∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝∠ACB+∠ACD＝60°+90°＝150°．
答：∠ACE＝30°或∠ACE＝150°．
【点评】本题考查平行线的性质，三角板的特殊内角，掌握平行线的性质和三角板的内角度数是解决问题的关键．
2022-2023学年山东省济南市长清区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，满分40分．在每小题列出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．30的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．30
2．芝麻作为食品和药物，均被广泛使用，经测算一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，用科学记数法表示一粒芝麻的质量应为（ ）
A．2.01×10﹣3kg B．2.01×10﹣6kg
C．20.1×10﹣6kg D．2.01×10﹣7kg
3．下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（﹣a3）2＝﹣a6
C．a9÷a3＝a6 D．a2+2a3＝3a5
5．如图，如果要把河流中的水引到水池A中，那么在河岸的B处（已知AB⊥CD）挖渠就能使得水渠AB的长度最短，这样做的数学依据是（ ）
A．点到直线的距离 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短
6．x2+mx+36是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．±12 B．±6 C．12 D．﹣6
7．如图，已知平行线a，b，一个直角三角板的直角顶点在直线a上，另一个顶点在直线b上，若∠1＝70°，则∠2的大小为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．已知火车站托运行李的费用C和托运行李的质量P（P为整数）的对应关系如表所示：
P（kg）
1
2
3
4
5
…
C（元）
2
2.5
3
3.5
4
…
则C与P之间的关系式为（ ）
A．C＝0.5P﹣0.5 B．C＝2P﹣0.5 C．C＝2P+0.5 D．C＝0.5P+1.5
9．如下所示的尺规作图题，题中符号代表的内容正确的是（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：
（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心②长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心③长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作④，∠DEF即为所求作的角．
A．①表示点E B．②表示PQ
C．③表示OQ D．④表示射线EF
10．已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下列说法正确的有几个（ ）
①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和10.25s．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本题共6小题，满分24分）
11．计算：（a+2）（a﹣2）＝ ．
12．已知3a＝2，3b＝6，则3a+b＝ ．
13．如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝42°，则∠ACD的度数为 ．
14．若（2x﹣1）（4x+a）的结果中不含x的一次项，则实数a的值为 ．
15．光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处射线BD是光线AB的延长线，∠1＝60°，∠2＝43°，则∠DBC的度数为 ．
16．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是 ．
三、解答题（本题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．计算：
（1）x2•x3﹣（x3）4÷x7；
（2）（x+2）（2x﹣3）．
18．计算：
（1）；
（2）（8x4+4x3﹣x2）÷（﹣2x）2．
19．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：
∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（ ）．
∵∠ABC＝∠ADC（ ），
∴∠ ＝∠ （等量代换）．
∵∠1＝∠3（ ），
∴∠2＝∠ （ ）．
∴AB∥DC（ ）．
20．先化简，再求值：[（2x﹣y）（x+2y）﹣（x+y）2+3y2]÷x，其中x＝1，y＝﹣3．
21．甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由A地到相距80千米的B地，他们行驶的路程y与所用时间x的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）此变化过程中， 是自变量， 是因变量．
（2）甲乙两人 先出发，早出发 小时．
（3）求乙出发多长时间追上甲？
22．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠BOC＝4：5．
（1）求∠BOE的度数；
（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．
23．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温t （℃） 的关系．
海拔高度h（千米）
0
1
2
3
4
5
…
气温t（℃）
20
14
8
2
﹣4
﹣10
…
根据如表，回答以下问题：
（1）当海拔高度为3千米时，气温是 ℃；当气温为﹣22℃时，海拔高度是 千米．
（2）写出气温t与海拔高度h的关系式 ；
（3）当气温是﹣40℃时，求海拔高度是多少？
24．已知x≠1．观察下列等式：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；
…
（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3⋯+xn﹣1）＝ ；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝ ；
②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝ ．
（3）求2100+299+298+…+22+2+1的值是多少？
25．如图①是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②．请你直接写出下列三个式子：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系式为 ；
（2）若m、n均为实数，且m+n＝﹣2，mn＝﹣3，运用（1）所得到的公式求m﹣n的值；
（3）如图③，S1、S2分别表示边长为x、y的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若S1+S2＝20，AB＝x+y＝6，求图中阴影部分的面积．
26．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．
（1）如图1，①若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；
②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是 度．
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是 ．
（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，
①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是 度．
②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，求∠ACE的度数．
参考答案
一、选择题（本题共10小题，满分40分．在每小题列出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．30的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．30
【分析】根据零指数幂的性质即可得到结论．
解：30的值为1，
故选：B．
【点评】本题考查了零指数幂，熟练掌握任何不为0的数的零指数都等于1是解题的关键．
2．芝麻作为食品和药物，均被广泛使用，经测算一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，用科学记数法表示一粒芝麻的质量应为（ ）
A．2.01×10﹣3kg B．2.01×10﹣6kg
C．20.1×10﹣6kg D．2.01×10﹣7kg
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
解：0.00000201kg＝2.01×10﹣6kg．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
3．下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
解：只有选项A中的∠1和∠2是同位角．
故选：A．
【点评】本题考查同位角，关键是掌握同位角的定义．
4．下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（﹣a3）2＝﹣a6
C．a9÷a3＝a6 D．a2+2a3＝3a5
【分析】逐一算错每一个选项，即可得出正确答案．
【解答】A：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故A选项不符合题意．
B：（﹣a3）2＝a6，故B选项不符合题意．
C：a9÷a3＝a6，故C选项符合题意．
D：a2和2a3不是同类项，不能合并运算，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法．掌握运算法则是解决问题的关键．
5．如图，如果要把河流中的水引到水池A中，那么在河岸的B处（已知AB⊥CD）挖渠就能使得水渠AB的长度最短，这样做的数学依据是（ ）
A．点到直线的距离 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短
【分析】由垂线的性质：垂线段最短，即可判断．
解：在河岸的B处（已知AB⊥CD）挖渠就能使得水渠AB的长度最短，这样做的数学依据是：垂线的性质：垂线段最短．
故选：B．
【点评】本题考查点到直线的距离，掌握垂线的性质是解题的关键．
6．x2+mx+36是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．±12 B．±6 C．12 D．﹣6
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
解：∵x2+mx+36＝x2+2••x+62，是一个完全平方式，
∴＝±6，即m＝±12，
故选：A．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2是解本题的关键．
7．如图，已知平行线a，b，一个直角三角板的直角顶点在直线a上，另一个顶点在直线b上，若∠1＝70°，则∠2的大小为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．
解：∵a∥b，∠1＝70°
∴∠3＝70°，
∵直角三角板的直角顶点在直线a上，
∴∠2＝90°﹣∠3＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及垂线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
8．已知火车站托运行李的费用C和托运行李的质量P（P为整数）的对应关系如表所示：
P（kg）
1
2
3
4
5
…
C（元）
2
2.5
3
3.5
4
…
则C与P之间的关系式为（ ）
A．C＝0.5P﹣0.5 B．C＝2P﹣0.5 C．C＝2P+0.5 D．C＝0.5P+1.5
【分析】读懂题意，通过观察数据的变化，可以判断符合一次函数关系，待定系数法求出函数解析式．
解：根据题意可知符合一次函数关系，
∴解析式为C＝kP+b，
把C＝2，P＝1，C＝2.5，P＝2，分别代入解析式得：，
解得：，
∴C与P之间的关系式为：C＝0.5P+1.5．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的表示法和函数的解析式，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数的解析式．
9．如下所示的尺规作图题，题中符号代表的内容正确的是（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：
（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心②长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心③长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作④，∠DEF即为所求作的角．
A．①表示点E B．②表示PQ
C．③表示OQ D．④表示射线EF
【分析】根据尺规作图作一个角等于已知角的方法即可判断．
解：作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
所以A，B，C选项都错误，D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一个角等于已知角）．
10．已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下列说法正确的有几个（ ）
①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和10.25s．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时△HAF的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．
解：当点H在AB上时，如图所示，
AH＝xt （cm），
S△HAF＝×AF×AH＝4xt（cm2），
此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H在BC上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝AB，
∴S△HAF＝×AF×AB，此时三角形面积不变，
当点H在CD上时，如图所示，HP是△HAF的高，C，D，P三点共线，
S△HAF＝×AF×HP，点H从点C点D运动，HP逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H在DE上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝EF，
S△HAF＝×AF×EF，此时三角形面积不变，
当点H在EF时，如图所示，
S△HAF＝×AF×HF，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
对照图2可得0≤t≤5时，点H在AB上，
S△HAF＝4xt＝4•5x＝40（cm2），
∴x＝2，AB＝2×5＝10（cm），
∴动点H的速度是2cm/s，
故①正确，
5≤t≤8时，点H在BC上，此时三角形面积不变，
∴动点H由点B运动到点C共用时8﹣5＝3（s），
∴BC＝2×3＝6（cm），
故②错误，
8≤t≤12时，当点H在CD上，三角形面积逐渐减小，
∴动点H由点C运动到点D共用时12﹣8＝4（s），
∴CD＝2×4＝8（cm），
∴EF＝AB﹣CD＝10﹣8＝2（cm），
在D点时，△HAF的高与EF相等，即HP＝EF，
∴S△HAF＝×AF×EF＝×8×2＝8（cm2），
故③正确，
12≤t≤b，点H在DE上，DE＝AF﹣BC＝8﹣6＝2（cm），
∴动点H由点D运动到点E共用时2÷2＝1（s），
∴b＝12+1＝13，
故④错误．
当△HAF的面积是30cm2时，点H在AB上或CD上，
点H在AB上时，S△HAF＝4xt＝8t＝30（cm2），
解得t＝3.75（s），
点H在CD上时，
S△HAF＝×AF×HP＝×8×HP＝30（cm2），
解得HP＝7.5（cm），
∴CH＝AB﹣HP＝10﹣7.5＝2.5（cm），
∴从点C运动到点H共用时2.5÷2＝1.25（s），
由点A到点C共用时8s，
∴此时共用时8+1.25＝9.25（s），
故⑤错误．
故选：A．
【点评】本题是动点函数的图象问题．考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键．
二、填空题（本题共6小题，满分24分）
11．计算：（a+2）（a﹣2）＝ a2﹣4 ．
【分析】利用平方差公式直接求解即可求得答案．
解：（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4．
故答案为：a2﹣4．
【点评】本题考查了平方差公式．注意运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
12．已知3a＝2，3b＝6，则3a+b＝ 12 ．
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
解：当3a＝2，3b＝6时，
3a+b
＝3a×3b
＝2×6
＝12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
13．如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝42°，则∠ACD的度数为 132° ．
【分析】直接利用平行线的性质结合垂直定义得出∠BAC度数以及∠ACD的度数．
解：∵AB⊥AE，∠CAE＝42°，
∴∠BAC＝90°﹣42°＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝132°．
故答案为：132°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠BAC度数是解题关键．
14．若（2x﹣1）（4x+a）的结果中不含x的一次项，则实数a的值为 2 ．
【分析】根据多项式乘以多项式进行计算，根据题意令x的一次项系数为0即可求解．
解：（2x﹣1）（4x+a）＝8x2+2ax﹣4x﹣a＝8x2+（2a﹣4）x﹣a，
∵结果不含x的一次项，
∴2a﹣4＝0，
解得：a＝2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
15．光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处射线BD是光线AB的延长线，∠1＝60°，∠2＝43°，则∠DBC的度数为 17° ．
【分析】先根据平行线的性质求出∠CBN的度数，再根据邻补角的定义即可求解．
解：由题意可知：
∵MN∥EF，
∴∠1+∠CBN＝180°，
∵∠1＝60°，
∴∠CBN＝180°﹣60°＝120°，
∵∠2＝43°，
∴∠CBA＝∠CBN+∠2＝120°+43°＝163°，
∵∠DBC+∠CBA＝180°，
∴∠DBC＝180°﹣163°＝17°，
故答案为：17°．
【点评】本题主要考查了平行线和邻补角，掌握平行线的性质和邻补角的定义是解题的关键．
16．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是 20 ．
【分析】分析图形可得阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，据此计算可得关系式；代入a+b＝10，ab＝20，计算可得答案．
解：根据题意可得，阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，
即（a2+b2）﹣﹣＝（a2+b2﹣ab）＝（a2+b2+2ab﹣3ab）＝[（a+b）2﹣3ab]；
代入a+b＝10，ab＝20可得
阴影面积为（10×10﹣20×3）÷2＝20；
故答案为20．
【点评】本题的关键是利用面积的和差关系求出阴影部分的面积，但在计算时要把未知的代数式转化成已知，代入求值．
三、解答题（本题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．计算：
（1）x2•x3﹣（x3）4÷x7；
（2）（x+2）（2x﹣3）．
【分析】（1）先算同底数幂的乘法、幂的乘方的运算，再算同底数幂的除法，最后合并同类项；
（2）根据多项式与多项式相乘的法则计算．
解：（1）x2•x3﹣（x3）4÷x7
＝x5﹣x12÷x7
＝x5﹣x5
＝0；
（2）（x+2）（2x﹣3）
＝2x2﹣3x+4x﹣6
＝2x2+x﹣6．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项，掌握运算法则是解题关键．
18．计算：
（1）；
（2）（8x4+4x3﹣x2）÷（﹣2x）2．
【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．
解：（1）原式＝5+1﹣2
＝4；
（2）原式＝（8x4+4x3﹣x2）÷（4x2）
＝．
【点评】此题主要考查了实数的运算以及整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：
∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（ 角平分线的定义 ）．
∵∠ABC＝∠ADC（ 已知 ），
∴∠ 1 ＝∠ 2 （等量代换）．
∵∠1＝∠3（ 已知 ），
∴∠2＝∠ 3 （ 等量代换 ）．
∴AB∥DC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据题目中的证明过程，可以写出相应的推理依据，本题得以解决．
【解答】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（角平分线的定义），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．先化简，再求值：[（2x﹣y）（x+2y）﹣（x+y）2+3y2]÷x，其中x＝1，y＝﹣3．
【分析】根据多项式乘多项式、完全平方公式、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
解：原式＝[2x2+4xy﹣xy﹣2y2﹣（x2+2xy+y2）+3y2]÷x
＝（2x2+4xy﹣xy﹣2y2﹣x2﹣2xy﹣y2+3y2）÷x
＝（x2+xy）÷x
＝x+y，
当x＝1，y＝﹣3时，原式＝1+（﹣3）＝﹣2．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
21．甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由A地到相距80千米的B地，他们行驶的路程y与所用时间x的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）此变化过程中， 时间 是自变量， 路程 是因变量．
（2）甲乙两人 甲 先出发，早出发 3 小时．
（3）求乙出发多长时间追上甲？
【分析】（1）根据自变量和因变量的定义即可求解；
（2）根据函数图象即可解答；
（3）先根据函数图象分别求出甲、乙两人的骑行速度，再设乙出发a小时追上甲，以此列出方程，解方程即可．
解：（1）此变化过程中，时间是自变量，路程是因变量；
故答案为：时间，路程；
（2）由图象可知，甲先出发，早出发3小时；
故答案为：甲，3；
（3）甲的骑行速度为＝10（千米/时），
乙的骑行速度为＝40（千米/时），
设乙出发a小时追上甲，
根据题意得：10（x+3）＝40x，
解得：x＝1，
∴乙出发1小时追上甲．
【点评】本题主要考查函数的图象、一元一次方程的应用，解题关键是由图象得出正确的信息，属于中考常考题型．
22．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠BOC＝4：5．
（1）求∠BOE的度数；
（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．
【分析】（1）依据∠AOC：∠BOC＝4：5，∠AOC+∠BOC＝180°，设∠AOC＝4x°，∠BOC＝5x°，列方程求得∠BOD＝∠AOC＝80°，再根据角平分线的定义即可得出结论；
（2）依据OF⊥OE，可得∠EOF＝90°，进而得到∠AOF＝90°﹣∠BOE＝50°，再根据∠COF＝∠AOC+∠AOF进行计算即可．
解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝4：5，
∴设∠AOC＝4x°，∠BOC＝5x°．
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴4x+5x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠AOC＝4x＝80°，
∴∠BOD＝∠AOC＝80°．
∵OE平分∠BOD，
∴；
（2）∵OF⊥OE，∠BOE＝40°，
∴∠AOF＝90°﹣∠BOE＝50°．
∵∠AOC＝80°，
∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝130°．
【点评】本题考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和角平分线的定义，掌握邻补角互补、对顶角相等和垂直的定义是解题的关键．
23．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温t （℃） 的关系．
海拔高度h（千米）
0
1
2
3
4
5
…
气温t（℃）
20
14
8
2
﹣4
﹣10
…
根据如表，回答以下问题：
（1）当海拔高度为3千米时，气温是 2 ℃；当气温为﹣22℃时，海拔高度是 7 千米．
（2）写出气温t与海拔高度h的关系式 t＝20﹣6h ；
（3）当气温是﹣40℃时，求海拔高度是多少？
【分析】（1）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律，即可解答；
（2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律：h每增加1千米，气温就下降6℃，即可解答；
（3）把t＝﹣40代入t＝20﹣6h中，进行计算即可解答．
【解答】（1）当海拔高度为3千米时，气温是2℃；当气温为﹣22℃时，海拔高度是7千米；
故答案为：2；7；
（2）气温t与海拔高度h的关系式：t＝20﹣6h，
故答案为：t＝20﹣6h；
（3）当t＝﹣40时，即20﹣6h＝﹣40，
解得：h＝10，
答：海拔高度是10千米．
【点评】本题考查了函数关系式，根据表格找出两个变量的变化规律是解题的关键．
24．已知x≠1．观察下列等式：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；
…
（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3⋯+xn﹣1）＝ 1﹣xn ；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝ ﹣63 ；
②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝ 22023﹣1 ．
（3）求2100+299+298+…+22+2+1的值是多少？
【分析】（1）根据所列等式所呈现的规律得出答案；
（2）①由规律得出结果为1﹣27即可；
②将原式变为﹣（1﹣x）（1+x+x2+…+x2020+x2021+x2022）的形式；然后利用平方差公式作答；
（3）由（2）②可得2101﹣1．
解：（1）由所列等式的呈现规律可得，（1﹣x）（1+x+x2+x3+⋯+xn﹣1）＝1﹣xn，
故答案为：1﹣xn；
（2）①由等式所呈现的规律可得，
（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝1﹣26＝﹣63，
故答案为：﹣63；
②原式＝﹣（1﹣x）（1+x+x2+…+x2020+x2021+x2022）
＝﹣（1﹣x2023）
＝22023﹣1，
故答案为：22023﹣1；
（3）由（2）②可得，
原式＝2101﹣1．
【点评】本题考查平方差公式，数字的变化类以及多项式乘多项式，发现所列等式所呈现的规律是正确解答的关键．
25．如图①是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②．请你直接写出下列三个式子：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系式为 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；
（2）若m、n均为实数，且m+n＝﹣2，mn＝﹣3，运用（1）所得到的公式求m﹣n的值；
（3）如图③，S1、S2分别表示边长为x、y的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若S1+S2＝20，AB＝x+y＝6，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由图象中小正方形面积＝大正方形面积﹣长方形面积求解．
（2）根据（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn求解．
（3）由x+x＝20，x+y＝6，S阴影＝S△ACF+S△BCD求解．
解：（1）由图象可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
（2）∵（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，
∵m+n＝﹣2，mn＝﹣3，
∴（m﹣n）2＝（﹣2）2﹣4×（﹣3）＝16．
∴m﹣n＝±4．
（3）∵S1+S2＝20，
∴x+x＝20，
∴S阴影＝S△ACF+S△BCD＝x1•x2+x1•x2＝x1•x2＝[（x1+x2）2﹣（x+x）]＝（62﹣20）＝8．
【点评】本题考查完全平方式的应用，解题关键是熟练掌握完全平放式．
26．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．
（1）如图1，①若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；
②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是 30 度．
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是 ∠ACB+∠DCE＝180° ．
（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，
①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是 45或135 度．
②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，求∠ACE的度数．
【分析】（1）根据三角板中的特殊角，以及互余的意义可求答案；
（2）利用直角的意义以及角的和差关系得出结论；
（3）①由平行线的性质，得出两直线平行，内错角相等可得答案；
②利用平行线的性质和三角板的特殊角以及角的和差关系得出答案．
解：（1）
①∵∠DCE＝40°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝50°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝50°+90°＝140°；
②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝150°﹣90°＝60°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30；
（2）∵∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，
故答案为：∠ACB+∠DCE＝180°；
（3）①当BE在AC上方时，
∵BE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝45°，
当BE在AC下方时，
∵BE∥AC，
∴∠ACE＝180°﹣∠E＝135°，
故答案为：45°或135°；
②如图4﹣1，
∵BC∥DA，
∴∠A+∠ACB＝180°，
又∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝120°﹣90°＝30°．
如图4﹣2，
∵BC∥DA，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
又∵∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝∠ACB+∠ACD＝60°+90°＝150°．
答：∠ACE＝30°或∠ACE＝150°．
【点评】本题考查平行线的性质，三角板的特殊内角，掌握平行线的性质和三角板的内角度数是解决问题的关键．
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