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2022-2023学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 如图所示，该几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 反比例函数y=kx的图象经过点(−6,1)，则此函数的图象也经过点( )
A. (−3,−3) B. (−4,6) C. (2,3) D. (2,−3)
4. 计算mm−1+11−m的结果是( )
A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
5. 下列性质中，是矩形的性质的是( )
A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等
C. 四边相等 D. 对角线平分一组对角
6. 若关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有实数根，则实数m的取值范围是( )
A. m<9 B. m≤9 C. m>9 D. m≥9
7. 在同一平面直角坐标系中，函数y=kx−k(k≠0)与y=kx(k≠0)的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E=75°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为( )
A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°
9. 如图，点A是反比例函数y=−2x在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数y=4x在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC=BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是( )
A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 3.5
10. 如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且AC=8，BD=8 3，若点P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转得到AE，使得∠PAE=∠BAD，连接PE、EF，则在点P的运动过程中，线段EF的最小值为( )
A. 4 B. 6 C. 6 3 D. 12
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解：m2−9= ．
12. 如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
13. 已知点(2,y1)，(−1,y2)都在反比例函数y=−6x的图象上，则y1 ______ y2(填“>”、“<”或“=”)．
14. 公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(阴影部分)，原空地一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余空地面积为56m2，设正方形空地原来的边长为x m，则可列方程为______ ．
15. 如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N.若DM=5，CM=3，则MN=______．
16. 将等腰直角三角形ABC沿AC折叠，得到△ADC，连接BD并延长于点P，连接PA，过点P作PA⊥PE交BC的延长线于点E，若AB=2，PA= 10，则BE= ______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解方程：x2−4x−5=0．
18. (本小题6.0分)
计算：2aa2−4−1a−2．
19. (本小题6.0分)
如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，BE//DF.求证：AE=CF．
20. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，∠D=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F．
(1)求∠EAF的度数．
(2)若▱ABCD的面积为80 3，AB=10，求CF的长．
21. (本小题8.0分)
在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形(每个小方格的顶点叫格点)，
(1)在图1中，图①经过一次______变换(填“平移”或“旋转”或“轴对称”)可以得到图②；
(2)在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点______(填“A”或“B”或“C”)；
(3)在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④．
22. (本小题8.0分)
一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
(1)若降价a元，则平均每天销售数量为____件(用含a的代数式表示)：
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
23. (本小题10.0分)
槐荫区大力推动“书香校园”建设，为了深入实施中华经典诵读工程，某校开展名著诵读活动，李老师推荐了4种不同的名著A，B，C，D.甲，乙两位同学分别从中任意选一种阅读，假设选任意一种都是等可能的．
(1)甲同学选中名著A的概率是______ ．
(2)求甲、乙两位同学恰好选同一种名著的概率．
24. (本小题10.0分)
如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD//BC，点E在AD边上，连接BE、BD，若EB=BC，BD平分∠EBC．
(1)如图1，求证：四边形EBCD是菱形；
(2)如图2，连接CE交BD于点O，连接AO，若EC=BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度等于 3OC的线段．
25. (本小题12.0分)
如图1，点A(m,6)，B(6,1)在反比例函数y=kx上，作直线AB，交坐标轴于点M、N，连接OA、OB．
(1)求反比例函数的表达式和m的值；
(2)求△AOB的面积；
(3)如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作EF//AD，交反比例函数图象于点F，若EF=13AD，求出点E的坐标．
26. (本小题12.0分)
已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转(DE
(2)直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB=5，DE=3，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
【解答】
解：从上面看可得到一个正方形，正方形里面有一条斜实线，如图所示：．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】解：∵反比例数解析式为y=kx，图象经过点(−6,1)，代入得：1=k−6，
解得：k=−6，
∴反比例函数解析式为：y=−6x，
A.∵(−3)×(−3)=9≠−6，
∴(−3,−3)不在反比例函数y=−6x上，故该选项不正确，不符合题意；
B.∵−4×6=−24≠−6，
∴(−4,6)不在反比例函数y=−6x上，故该选项不正确，不符合题意；
C.∵2×3=6≠−6，
∴(2,3)不在反比例函数y=−6x上，故该选项不正确，不符合题意；
D.∵2×(−3)=−6，
∴(2,−3)在反比例函数y=−6x上，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
根据题意求得k=−6，然后分别计算各选项即可求解．
本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：原式=mm−1−1m−1=m−1m−1=1，
故选：A．
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A.矩形的对角线相等但不一定垂直，故本选项符合题意；
B.矩形的对角线相等，故本选项符合题意；
C.矩形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意；
D.矩形对角线互相平分但一条对角线不一定平分一组对角，故本选项符合题意；
故选：B．
根据矩形的边的特征，对角线的特征，来判断即可．
本题主要考查了矩形的性质，熟记矩形的性质是解决问题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有实数根，
∴Δ=(−6)2−4×1×m≥0，
∴m≤9．
故选：B．
根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：①当k>0时，y=kx−k过一、三、四象限；函数y=kx(k≠0)的图象过一、三象限；
②当k<0时，y=kx−k过一、二、四象象限；函数y=kx(k≠0)的图象过二、四象限．
观察图形可知，只有C选项符合题意．
故选：C．
分两种情况讨论，当k>0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k<0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k的符号对函数图象的影响是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=75°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=15°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=70°．
故选：B．
由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=75°，由直角三角形的性质可得∠DAC=15°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵AC=CB，
∴OD=OE，
设A(−a,2a)，则B(a,4a)，
故S△AOB=S梯形ADBE−S△AOD−S△BOE=12(2a+4a)×2a−12a×2a−12a×4a=3．
故选：C．
分别过A、B两点作x轴的垂线，构成直角梯形，根据AC=BC，判断OC为直角梯形的中位线，得出OD=OE=a，根据双曲线解析式确定A、B两点的坐标及AD、BE的长，根据S△AOB=S梯形ADBE−S△AOD−S△BOE求解．
本题考查了反比例函数的综合运用，关键是作辅助线构造直角梯形，根据AC=BC，得出OC为直角梯形的中位线，利用面积的和差关系求解．
10.【答案】B
【解析】解：连接DE，
∵四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=8 3，
∴AF=12AC=4，DF=12BD=4 3，
∵AC⊥BD，BA=DA，
∴AD= AF2+DF2= 42+(4 3)2=8，
∴∠ADB=∠ABD=30°，
将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE=∠BAD，
∴AP=AE，∠BAD=∠PAE
∴∠BAP=∠DAE
在△BAP和△DAE中，
BA=DA∠BAP=DAEPA=AE，
∴△BAP≌△DAE(SAS)，
∴∠ADE=∠ABP=30°，
∴∠ABD+∠ADE=60°，
∴当EF⊥DE时EF最小，
此时∠EFD=30°，
∴EF=DF×cos∠EFD=4 3× 32=6．
故选：B．
连接DE，由菱形的性质及AC=8，BD=8 3得出AF=4，DF=4 3，AC⊥DB，AB=AD，由勾股定理得AD=8，进而得出，∠ADB=∠ABD=30°，证明三角形PAB全等于三角形EDA，得出角ADE=30°，得出当EF⊥DE时EF最小．求出EF的长度即可．
本题考查了菱形的性质，旋转的性质，特殊角的三角函数值三角函数的值，找出全等的三角形证明∠ADE=30°是关键．
11.【答案】(m+3)(m−3)
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
【解答】
解：m2−9=m2−32
=(m+3)(m−3)．
故答案为：(m+3)(m−3)．
12.【答案】8
【解析】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°⋅(n−2)=3×360°
解得n=8．
故答案为：8．
根据多边形的内角和公式及外角和计算．
本题主要考查了多边形内角和公式及外角的和．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
13.【答案】<
【解析】解：∵反比例函数y=−6x的图象分布在二四象限，点(2,y1)在四象限，在x轴下方；点(−1,y2)在二象限，在x轴上方，
∴y1
根据反比例函数的性质，k<0，图象分布在二四象限，根据点所在象限即可判断出y1、y2的大小．
本题考查了反比例函数的性质，数形结合是这类题目的突破口．
14.【答案】(x−3)(x−2)=56
【解析】解：由图可得，
(x−3)(x−2)=56，
故答案为：(x−3)(x−2)=56．
根据题目中的数据和图形，可以得到方程(x−3)(x−2)=56，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
15.【答案】2 5
【解析】解：如图，连接BM．
由作图可知MN垂直平分线段BD，
∴BM=DM=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，CD//AB，
∴BC= BM2−CM2= 52−32=4，
∴BD= CB2+CD2= 42+82=4 5，
∴OB=OD=2 5，
∵∠MOD=90°，
∴OM= DM2−OD2= 52−(2 5)2= 5，
∵CD//AB，
∴∠MDO=∠NBO，
在△MDO和△NBO中，
∠MDO=∠NBOOD=OB∠MOD=∠NOB,
∴△MDO≌△NBO(ASA)，
∴OM=ON= 5，
∴MN=2 5．
故答案为：2 5．
如图，连接BM.利用勾股定理求出BC，BD，OM，再证明OM=ON，可得结论．
本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
16.【答案】4
【解析】解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
由折叠得∠DAC=∠BAC=45°，∠DCA=∠BCA=45°，
∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
设AC交BD于点F，
∵AD=AB=2，
∴AC=BD= AB2+AD2= 22+22=2 2，
∴AF=CF=12AC= 2，BF=DF=12BD= 2，
∵∠AFP=90°，AP= 10，
∴PF= AP2−AF2= ( 10)2−( 2)2=2 2，
∴BP=BF+PF= 2+2 2=3 2，
作PG⊥BA交BA的延长线于点G，PH⊥BE于点H，则∠G=∠PHB=90°，
∴四边形PGBH是矩形，∠PHE=∠G=90°，
∵PG=PH，
∴四边形PGBH是正方形，
∴∠GPH=90°，
∵PA⊥PE，
∴∠APE=90°，
∴∠EPH=∠APG=90°−∠APH，
在△EPH和△APG中，
∠PHE=∠GPH=PG∠EPH=∠APG，
∴△EPH≌△APG(ASA)，
∵G=90°，GP=GB，
∴GP2+GB2=2GB2=BP2，
∴2GB2=(3 2)2，
解得GB=3或GB=−3(不符合题意，舍去)，
∴HB=GB=3，EH=AG=3−2=1，
∴BE=HB+EH=3+1=4，
故答案为：4．
先证明四边形ABCD是正方形，得AC=BD，AC⊥BD，则∠ABD=∠CBD=45°，设AC交BD于点F，由AD=AB=2，得AC=BD= AB2+AD2=2 2，则AF=CF=BF=DF= 2，由勾股定理得PF= AP2−AF2=2 2，则BP=3 2，作PG⊥BA交BA的延长线于点G，PH⊥BE于点H，可证明四边形PGBH是正方形，则∠GPH=90°，而∠APE=90°，所以∠EPH=∠APG=90°−∠APH，可证明△EPH≌△APG，由2GB2=(3 2)2，求得GB=3，则HB=GB=3，EH=AG=1，所以BE=HB+EH=4，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(x+1)(x−5)=0，
则x+1=0或x−5=0，
∴x1=−1，x2=5．
【解析】根据本题方程的特点，利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
18.【答案】解：原式=2a(a+2)(a−2)−1a−2
=2a(a+2)(a−2)−a+2(a+2)(a−2)
=2a−(a+2)(a+2)(a−2)
=a−2(a+2)(a−2)
=1a+2．
【解析】先通分变成同分母的分式，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．
本题考查了分式的加减法，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键，注意：结果化成最简分式或整式．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，AB//CD，
∠BAE=∠DCF，
∵BE//DF，
∴∠BEC=∠DFA，
∴∠AEB=∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF．
【解析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形性质和判定，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
先证∠AEB=∠CFD，再根据AAS证△ABE≌△CDF，从而得出AE=CF．
20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠B=∠D=60°，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=60°，
∴∠C=120°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
在四边形AECF中，∠EAF+∠AEC+∠C+∠AFC=360°，
∴∠EAF=60°；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=10，
∵▱ABCD的面积为80 3，
∴10×AF=80 3，
∴AF=8 3，
∵∠D=60°，
∴tan60°=AFDF= 3，
∴DF=8，
∴CF=CD−DF=10−8=2，
∴CF=2．
【解析】(1)利用平行四边形的邻角互补的知识先求出∠C的度数，然后利用四边形的内角和定理即可求出∠EAF的度数．
(2)根据平行四边形的性质得出CD的长，根据面积求出AF的长，进而利用三角函数得出DF的长，最后根据线段的和差关系解答即可．
此题考查了平行四边形及三角函数的知识，要求我们掌握平行四边形的邻角互补及锐角三角函数．
21.【答案】(1)平移；
(2) A；
(3)如图．
【解析】解：(1)图①经过一次平移变换可以得到图②；
故答案为：平移；
(2)图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A；
故答案为：A；
(3)见答案．
(1)根据平移的定义可知图①向右、向上平移可以得到图②；
(2)将图形②绕着点A旋转后能与图形③重合，可知旋转中心；
(3)以A为旋转中心，顺时针旋转90°得到关键顶点的对应点连接即可．
本题难度中等，考查网格中平移、旋转及旋转作图，作图时，抓住网格的特点，根据旋转的性质，借助于直角三角板中的直角，就能顺利作出图形，解题时要注意是顺时针还是逆时针方向．
平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
22.【答案】(1)2a+20；
(2)设每件商品降价x元，
根据题意得：(40−x)(20+2x)=1200，
解得：x1=10，x2=20，
40−10=30>25(符合题意)，
40−20=20<25(舍去)，
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
(1)根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，若降价a元”，列出平均每天销售的数量即可；
(2)设每件商品降价x元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于x的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于25元的答案即可．
【解答】
解：(1)根据题意得：
若降价a元，则多售出2a件，
平均每天销售数量为：2a+20，
故答案为：2a+20；
(2)见答案．
23.【答案】14
【解析】解：(1)共有A，B，C，D4种不同的名著，从中任意选一种，选任意一种都是等可能的．
所以选中名著A的概率是14，
故答案为：14；
(2)甲、乙两位同学从A，B，C，D4种不同的名著中任意选一种，所有等可能出现的结果如下：
共有16种等可能出现的结果，其中甲、乙两位同学恰好选同一种名著的有4种，
所以甲、乙两位同学恰好选同一种名著的概率为416=14．
(1)根据概率的定义进行解答即可；
(2)用树状图表示所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
24.【答案】(1)证明：∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，
∵EB=BC，
∴ED=BC，
∵ED//BC，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∵EB=BC，
∴平行四边形EBCD是菱形；
(2)解：如图2，∵平行四边形EBCD是菱形，
∴BE=BC=ED，BD⊥CE，BO=DO，∠CBO=∠EBO，
∵EC=BC，
∴EC=BC=BE，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BCE=∠CBE=60°，
∴tan∠BCO=OCOB= 3，
∴OB=OD= 3OC；
∵∠BAD=90°，
∴OA=OB=OD= 3OC；
∵∠CBO=∠EBO=12∠CBE=30°，
∵EB=ED，
∴∠EBO=∠EDO=30°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠EDO=30°，
∴∠AOB=∠OAD=∠EDO=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=OB= 3OC；
∴图2中长度等于 3OC的线段的线段是OA、OB、OD、AB．
【解析】(1)根据平行线性质得到∠ADB=∠DBC，根据角平分线的定义得到∠EBD=∠DBC，得到EB=ED，根据菱形的判定定理即可得到结论；
(2)根据菱形的性质得到BE=BC=ED，BD⊥CE，BO=DO，∠CBO=∠EBO，根据等边三角形的性质得到∠BCE=∠CBE=60°，根据三角函数的定义得到OB=OD= 3OC；根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设反比例函数的解析式为y=kx，
将B(6,1)的坐标代入y=kx，得k=6．
∴反比例函数的解析式为y=6x．
将A(m,6)的坐标代入y=6x，得m=1．
(2)如图1，设直线AB的解析式为y=ax+b，
把A(1,6)和B(6,1)代入上式，得：
a+b=66a+b=1，
解得：a=−1b=7，
故直线AB的解析式为：y=−x+7，
∴M(0,7)，N(7,0)，
∴S△AOB=S△MON−S△AOM−S△BON=12OM×ON−12OM×|xA|−12ON×|yB|
=12×7×7−12×7×1−12×7×1
=352．
(3)设E点的坐标为(m,−m+7)，则F(m,6m)，
∴EF=−m+7−6m．
∵EF=13AD，
∴−m+7−6m=13×6．
解得m1=2，m2=3，
经检验，m1=2，m2=3是分式方程的根，
∴E的坐标为(2,5)或(3,4)．
【解析】(1)设反比例函数的解析式为y=kx，根据题意B点坐标得出k的值以及m的值；
(2)设直线AB的解析式为y=ax+b，求出直线AB的解析式，再利用S△AOB=S△MON−S△AOM−S△BON，求出答案即可；
(3)设E点的横坐标为m，则E(m,−m+7)，F(m,6m)，求出EF=−m+7−6m，得出关于m的方程，求出m即可．
本题考查了用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式，正确得出直线AB的解析式是解题关键．
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∵DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠ADC=∠EDF，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)；
(2)①证明：如图，设AG与CD相交于点P．
∠ADP=90°，
∠DAP+∠DPA=90°，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠DAE=∠DCF．
∵∠DPA=∠GPC，
∴∠DAE+∠DPA=∠GPC+∠GCP=90°．
∠PGN=90°，
∵BM⊥AG，BN⊥GN，
∴四边形BMGN是矩形，
∴∠MBN=90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠MBN=90°．
∴∠ABM=∠CBN．
又∵∠AMB=∠BNC=90°
∴△AMB≌△CNB(ASA)．
∴MB=NB．
∴矩形BMGN是正方形；
②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，
此时△AMB≌△AHD．
∴BM=AH，
AH2=AD2−DH2，AD=5，
∴DH最大时，AH最小，DH=DE=3，
∴BM=AH=4，
由(2)①可知，△BGM是等腰直角三角形，
∴BG最小= 2BM=4 2．
【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可；
(2)①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
②作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，证明△BMG是等腰直角三角形，求出BM的最小值，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 如图所示，该几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 反比例函数y=kx的图象经过点(−6,1)，则此函数的图象也经过点( )
A. (−3,−3) B. (−4,6) C. (2,3) D. (2,−3)
4. 计算mm−1+11−m的结果是( )
A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
5. 下列性质中，是矩形的性质的是( )
A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等
C. 四边相等 D. 对角线平分一组对角
6. 若关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有实数根，则实数m的取值范围是( )
A. m<9 B. m≤9 C. m>9 D. m≥9
7. 在同一平面直角坐标系中，函数y=kx−k(k≠0)与y=kx(k≠0)的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E=75°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为( )
A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°
9. 如图，点A是反比例函数y=−2x在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数y=4x在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC=BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是( )
A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 3.5
10. 如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且AC=8，BD=8 3，若点P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转得到AE，使得∠PAE=∠BAD，连接PE、EF，则在点P的运动过程中，线段EF的最小值为( )
A. 4 B. 6 C. 6 3 D. 12
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解：m2−9= ．
12. 如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
13. 已知点(2,y1)，(−1,y2)都在反比例函数y=−6x的图象上，则y1 ______ y2(填“>”、“<”或“=”)．
14. 公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(阴影部分)，原空地一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余空地面积为56m2，设正方形空地原来的边长为x m，则可列方程为______ ．
15. 如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N.若DM=5，CM=3，则MN=______．
16. 将等腰直角三角形ABC沿AC折叠，得到△ADC，连接BD并延长于点P，连接PA，过点P作PA⊥PE交BC的延长线于点E，若AB=2，PA= 10，则BE= ______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解方程：x2−4x−5=0．
18. (本小题6.0分)
计算：2aa2−4−1a−2．
19. (本小题6.0分)
如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，BE//DF.求证：AE=CF．
20. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，∠D=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F．
(1)求∠EAF的度数．
(2)若▱ABCD的面积为80 3，AB=10，求CF的长．
21. (本小题8.0分)
在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形(每个小方格的顶点叫格点)，
(1)在图1中，图①经过一次______变换(填“平移”或“旋转”或“轴对称”)可以得到图②；
(2)在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点______(填“A”或“B”或“C”)；
(3)在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④．
22. (本小题8.0分)
一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
(1)若降价a元，则平均每天销售数量为____件(用含a的代数式表示)：
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
23. (本小题10.0分)
槐荫区大力推动“书香校园”建设，为了深入实施中华经典诵读工程，某校开展名著诵读活动，李老师推荐了4种不同的名著A，B，C，D.甲，乙两位同学分别从中任意选一种阅读，假设选任意一种都是等可能的．
(1)甲同学选中名著A的概率是______ ．
(2)求甲、乙两位同学恰好选同一种名著的概率．
24. (本小题10.0分)
如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD//BC，点E在AD边上，连接BE、BD，若EB=BC，BD平分∠EBC．
(1)如图1，求证：四边形EBCD是菱形；
(2)如图2，连接CE交BD于点O，连接AO，若EC=BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度等于 3OC的线段．
25. (本小题12.0分)
如图1，点A(m,6)，B(6,1)在反比例函数y=kx上，作直线AB，交坐标轴于点M、N，连接OA、OB．
(1)求反比例函数的表达式和m的值；
(2)求△AOB的面积；
(3)如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作EF//AD，交反比例函数图象于点F，若EF=13AD，求出点E的坐标．
26. (本小题12.0分)
已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转(DE
(2)直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB=5，DE=3，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
【解答】
解：从上面看可得到一个正方形，正方形里面有一条斜实线，如图所示：．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】解：∵反比例数解析式为y=kx，图象经过点(−6,1)，代入得：1=k−6，
解得：k=−6，
∴反比例函数解析式为：y=−6x，
A.∵(−3)×(−3)=9≠−6，
∴(−3,−3)不在反比例函数y=−6x上，故该选项不正确，不符合题意；
B.∵−4×6=−24≠−6，
∴(−4,6)不在反比例函数y=−6x上，故该选项不正确，不符合题意；
C.∵2×3=6≠−6，
∴(2,3)不在反比例函数y=−6x上，故该选项不正确，不符合题意；
D.∵2×(−3)=−6，
∴(2,−3)在反比例函数y=−6x上，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
根据题意求得k=−6，然后分别计算各选项即可求解．
本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：原式=mm−1−1m−1=m−1m−1=1，
故选：A．
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A.矩形的对角线相等但不一定垂直，故本选项符合题意；
B.矩形的对角线相等，故本选项符合题意；
C.矩形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意；
D.矩形对角线互相平分但一条对角线不一定平分一组对角，故本选项符合题意；
故选：B．
根据矩形的边的特征，对角线的特征，来判断即可．
本题主要考查了矩形的性质，熟记矩形的性质是解决问题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有实数根，
∴Δ=(−6)2−4×1×m≥0，
∴m≤9．
故选：B．
根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：①当k>0时，y=kx−k过一、三、四象限；函数y=kx(k≠0)的图象过一、三象限；
②当k<0时，y=kx−k过一、二、四象象限；函数y=kx(k≠0)的图象过二、四象限．
观察图形可知，只有C选项符合题意．
故选：C．
分两种情况讨论，当k>0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k<0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k的符号对函数图象的影响是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=75°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=15°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=70°．
故选：B．
由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=75°，由直角三角形的性质可得∠DAC=15°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵AC=CB，
∴OD=OE，
设A(−a,2a)，则B(a,4a)，
故S△AOB=S梯形ADBE−S△AOD−S△BOE=12(2a+4a)×2a−12a×2a−12a×4a=3．
故选：C．
分别过A、B两点作x轴的垂线，构成直角梯形，根据AC=BC，判断OC为直角梯形的中位线，得出OD=OE=a，根据双曲线解析式确定A、B两点的坐标及AD、BE的长，根据S△AOB=S梯形ADBE−S△AOD−S△BOE求解．
本题考查了反比例函数的综合运用，关键是作辅助线构造直角梯形，根据AC=BC，得出OC为直角梯形的中位线，利用面积的和差关系求解．
10.【答案】B
【解析】解：连接DE，
∵四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=8 3，
∴AF=12AC=4，DF=12BD=4 3，
∵AC⊥BD，BA=DA，
∴AD= AF2+DF2= 42+(4 3)2=8，
∴∠ADB=∠ABD=30°，
将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE=∠BAD，
∴AP=AE，∠BAD=∠PAE
∴∠BAP=∠DAE
在△BAP和△DAE中，
BA=DA∠BAP=DAEPA=AE，
∴△BAP≌△DAE(SAS)，
∴∠ADE=∠ABP=30°，
∴∠ABD+∠ADE=60°，
∴当EF⊥DE时EF最小，
此时∠EFD=30°，
∴EF=DF×cos∠EFD=4 3× 32=6．
故选：B．
连接DE，由菱形的性质及AC=8，BD=8 3得出AF=4，DF=4 3，AC⊥DB，AB=AD，由勾股定理得AD=8，进而得出，∠ADB=∠ABD=30°，证明三角形PAB全等于三角形EDA，得出角ADE=30°，得出当EF⊥DE时EF最小．求出EF的长度即可．
本题考查了菱形的性质，旋转的性质，特殊角的三角函数值三角函数的值，找出全等的三角形证明∠ADE=30°是关键．
11.【答案】(m+3)(m−3)
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
【解答】
解：m2−9=m2−32
=(m+3)(m−3)．
故答案为：(m+3)(m−3)．
12.【答案】8
【解析】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°⋅(n−2)=3×360°
解得n=8．
故答案为：8．
根据多边形的内角和公式及外角和计算．
本题主要考查了多边形内角和公式及外角的和．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
13.【答案】<
【解析】解：∵反比例函数y=−6x的图象分布在二四象限，点(2,y1)在四象限，在x轴下方；点(−1,y2)在二象限，在x轴上方，
∴y1
根据反比例函数的性质，k<0，图象分布在二四象限，根据点所在象限即可判断出y1、y2的大小．
本题考查了反比例函数的性质，数形结合是这类题目的突破口．
14.【答案】(x−3)(x−2)=56
【解析】解：由图可得，
(x−3)(x−2)=56，
故答案为：(x−3)(x−2)=56．
根据题目中的数据和图形，可以得到方程(x−3)(x−2)=56，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
15.【答案】2 5
【解析】解：如图，连接BM．
由作图可知MN垂直平分线段BD，
∴BM=DM=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，CD//AB，
∴BC= BM2−CM2= 52−32=4，
∴BD= CB2+CD2= 42+82=4 5，
∴OB=OD=2 5，
∵∠MOD=90°，
∴OM= DM2−OD2= 52−(2 5)2= 5，
∵CD//AB，
∴∠MDO=∠NBO，
在△MDO和△NBO中，
∠MDO=∠NBOOD=OB∠MOD=∠NOB,
∴△MDO≌△NBO(ASA)，
∴OM=ON= 5，
∴MN=2 5．
故答案为：2 5．
如图，连接BM.利用勾股定理求出BC，BD，OM，再证明OM=ON，可得结论．
本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
16.【答案】4
【解析】解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
由折叠得∠DAC=∠BAC=45°，∠DCA=∠BCA=45°，
∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
设AC交BD于点F，
∵AD=AB=2，
∴AC=BD= AB2+AD2= 22+22=2 2，
∴AF=CF=12AC= 2，BF=DF=12BD= 2，
∵∠AFP=90°，AP= 10，
∴PF= AP2−AF2= ( 10)2−( 2)2=2 2，
∴BP=BF+PF= 2+2 2=3 2，
作PG⊥BA交BA的延长线于点G，PH⊥BE于点H，则∠G=∠PHB=90°，
∴四边形PGBH是矩形，∠PHE=∠G=90°，
∵PG=PH，
∴四边形PGBH是正方形，
∴∠GPH=90°，
∵PA⊥PE，
∴∠APE=90°，
∴∠EPH=∠APG=90°−∠APH，
在△EPH和△APG中，
∠PHE=∠GPH=PG∠EPH=∠APG，
∴△EPH≌△APG(ASA)，
∵G=90°，GP=GB，
∴GP2+GB2=2GB2=BP2，
∴2GB2=(3 2)2，
解得GB=3或GB=−3(不符合题意，舍去)，
∴HB=GB=3，EH=AG=3−2=1，
∴BE=HB+EH=3+1=4，
故答案为：4．
先证明四边形ABCD是正方形，得AC=BD，AC⊥BD，则∠ABD=∠CBD=45°，设AC交BD于点F，由AD=AB=2，得AC=BD= AB2+AD2=2 2，则AF=CF=BF=DF= 2，由勾股定理得PF= AP2−AF2=2 2，则BP=3 2，作PG⊥BA交BA的延长线于点G，PH⊥BE于点H，可证明四边形PGBH是正方形，则∠GPH=90°，而∠APE=90°，所以∠EPH=∠APG=90°−∠APH，可证明△EPH≌△APG，由2GB2=(3 2)2，求得GB=3，则HB=GB=3，EH=AG=1，所以BE=HB+EH=4，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(x+1)(x−5)=0，
则x+1=0或x−5=0，
∴x1=−1，x2=5．
【解析】根据本题方程的特点，利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
18.【答案】解：原式=2a(a+2)(a−2)−1a−2
=2a(a+2)(a−2)−a+2(a+2)(a−2)
=2a−(a+2)(a+2)(a−2)
=a−2(a+2)(a−2)
=1a+2．
【解析】先通分变成同分母的分式，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．
本题考查了分式的加减法，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键，注意：结果化成最简分式或整式．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，AB//CD，
∠BAE=∠DCF，
∵BE//DF，
∴∠BEC=∠DFA，
∴∠AEB=∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF．
【解析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形性质和判定，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
先证∠AEB=∠CFD，再根据AAS证△ABE≌△CDF，从而得出AE=CF．
20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠B=∠D=60°，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=60°，
∴∠C=120°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
在四边形AECF中，∠EAF+∠AEC+∠C+∠AFC=360°，
∴∠EAF=60°；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=10，
∵▱ABCD的面积为80 3，
∴10×AF=80 3，
∴AF=8 3，
∵∠D=60°，
∴tan60°=AFDF= 3，
∴DF=8，
∴CF=CD−DF=10−8=2，
∴CF=2．
【解析】(1)利用平行四边形的邻角互补的知识先求出∠C的度数，然后利用四边形的内角和定理即可求出∠EAF的度数．
(2)根据平行四边形的性质得出CD的长，根据面积求出AF的长，进而利用三角函数得出DF的长，最后根据线段的和差关系解答即可．
此题考查了平行四边形及三角函数的知识，要求我们掌握平行四边形的邻角互补及锐角三角函数．
21.【答案】(1)平移；
(2) A；
(3)如图．
【解析】解：(1)图①经过一次平移变换可以得到图②；
故答案为：平移；
(2)图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A；
故答案为：A；
(3)见答案．
(1)根据平移的定义可知图①向右、向上平移可以得到图②；
(2)将图形②绕着点A旋转后能与图形③重合，可知旋转中心；
(3)以A为旋转中心，顺时针旋转90°得到关键顶点的对应点连接即可．
本题难度中等，考查网格中平移、旋转及旋转作图，作图时，抓住网格的特点，根据旋转的性质，借助于直角三角板中的直角，就能顺利作出图形，解题时要注意是顺时针还是逆时针方向．
平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
22.【答案】(1)2a+20；
(2)设每件商品降价x元，
根据题意得：(40−x)(20+2x)=1200，
解得：x1=10，x2=20，
40−10=30>25(符合题意)，
40−20=20<25(舍去)，
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
(1)根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，若降价a元”，列出平均每天销售的数量即可；
(2)设每件商品降价x元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于x的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于25元的答案即可．
【解答】
解：(1)根据题意得：
若降价a元，则多售出2a件，
平均每天销售数量为：2a+20，
故答案为：2a+20；
(2)见答案．
23.【答案】14
【解析】解：(1)共有A，B，C，D4种不同的名著，从中任意选一种，选任意一种都是等可能的．
所以选中名著A的概率是14，
故答案为：14；
(2)甲、乙两位同学从A，B，C，D4种不同的名著中任意选一种，所有等可能出现的结果如下：
共有16种等可能出现的结果，其中甲、乙两位同学恰好选同一种名著的有4种，
所以甲、乙两位同学恰好选同一种名著的概率为416=14．
(1)根据概率的定义进行解答即可；
(2)用树状图表示所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
24.【答案】(1)证明：∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，
∵EB=BC，
∴ED=BC，
∵ED//BC，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∵EB=BC，
∴平行四边形EBCD是菱形；
(2)解：如图2，∵平行四边形EBCD是菱形，
∴BE=BC=ED，BD⊥CE，BO=DO，∠CBO=∠EBO，
∵EC=BC，
∴EC=BC=BE，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BCE=∠CBE=60°，
∴tan∠BCO=OCOB= 3，
∴OB=OD= 3OC；
∵∠BAD=90°，
∴OA=OB=OD= 3OC；
∵∠CBO=∠EBO=12∠CBE=30°，
∵EB=ED，
∴∠EBO=∠EDO=30°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠EDO=30°，
∴∠AOB=∠OAD=∠EDO=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=OB= 3OC；
∴图2中长度等于 3OC的线段的线段是OA、OB、OD、AB．
【解析】(1)根据平行线性质得到∠ADB=∠DBC，根据角平分线的定义得到∠EBD=∠DBC，得到EB=ED，根据菱形的判定定理即可得到结论；
(2)根据菱形的性质得到BE=BC=ED，BD⊥CE，BO=DO，∠CBO=∠EBO，根据等边三角形的性质得到∠BCE=∠CBE=60°，根据三角函数的定义得到OB=OD= 3OC；根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设反比例函数的解析式为y=kx，
将B(6,1)的坐标代入y=kx，得k=6．
∴反比例函数的解析式为y=6x．
将A(m,6)的坐标代入y=6x，得m=1．
(2)如图1，设直线AB的解析式为y=ax+b，
把A(1,6)和B(6,1)代入上式，得：
a+b=66a+b=1，
解得：a=−1b=7，
故直线AB的解析式为：y=−x+7，
∴M(0,7)，N(7,0)，
∴S△AOB=S△MON−S△AOM−S△BON=12OM×ON−12OM×|xA|−12ON×|yB|
=12×7×7−12×7×1−12×7×1
=352．
(3)设E点的坐标为(m,−m+7)，则F(m,6m)，
∴EF=−m+7−6m．
∵EF=13AD，
∴−m+7−6m=13×6．
解得m1=2，m2=3，
经检验，m1=2，m2=3是分式方程的根，
∴E的坐标为(2,5)或(3,4)．
【解析】(1)设反比例函数的解析式为y=kx，根据题意B点坐标得出k的值以及m的值；
(2)设直线AB的解析式为y=ax+b，求出直线AB的解析式，再利用S△AOB=S△MON−S△AOM−S△BON，求出答案即可；
(3)设E点的横坐标为m，则E(m,−m+7)，F(m,6m)，求出EF=−m+7−6m，得出关于m的方程，求出m即可．
本题考查了用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式，正确得出直线AB的解析式是解题关键．
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∵DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠ADC=∠EDF，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)；
(2)①证明：如图，设AG与CD相交于点P．
∠ADP=90°，
∠DAP+∠DPA=90°，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠DAE=∠DCF．
∵∠DPA=∠GPC，
∴∠DAE+∠DPA=∠GPC+∠GCP=90°．
∠PGN=90°，
∵BM⊥AG，BN⊥GN，
∴四边形BMGN是矩形，
∴∠MBN=90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠MBN=90°．
∴∠ABM=∠CBN．
又∵∠AMB=∠BNC=90°
∴△AMB≌△CNB(ASA)．
∴MB=NB．
∴矩形BMGN是正方形；
②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，
此时△AMB≌△AHD．
∴BM=AH，
AH2=AD2−DH2，AD=5，
∴DH最大时，AH最小，DH=DE=3，
∴BM=AH=4，
由(2)①可知，△BGM是等腰直角三角形，
∴BG最小= 2BM=4 2．
【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可；
(2)①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
②作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，证明△BMG是等腰直角三角形，求出BM的最小值，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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