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2022-2023学年山东省济南市商河县八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省济南市商河县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市商河县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列卡通图标分别是“星球”、“宇航员”、“星系”和“黑洞”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 已知实数a和b，若a
A. x2+2x+4=(x+2)2 B. x2−4=(x+4)(x−4)
C. x2−4x+4=(x−2)2 D. x2+4=(x+2)2
4. 如果代数式x−1x的值为0，那么实数x满足( )
A. x=1 B. x≥1 C. x≠0 D. x≥0
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线DE交BC于点E，BE=3 2，则AC等于( )
A. 3 2 B. 6 2 C. 3 D. 6
6. 已知x+1x=6，则x2+1x2=( )
A. 38 B. 36 C. 34 D. 32
7. 现有一四边形ABCD，借助此四边形作平行四边形EFGH，两位同学提供了如下方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是( )
方案Ⅰ
作边AB，BC，CD，AD的垂直平分线l1，l2，l3，l4，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H，顺次连接这四点围成的四边形EFGH即为所求．
方案Ⅱ
连接AC，BD，过四边形ABCD各顶点分别作AC，BD的平行线EF，GH，EH，FG，这四条平行线围成的四边形EFGH即为所求．
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行
8. 如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数为( )
A. 20° B. 30° C. 40° D. 70°
9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC= 2，将△ABC绕点A逆时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，则图中阴影部分的面积是( )
A. 2
B. 3
C. 3 2
D. 2 3
10. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，∠ACB=30°，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，与AC交于点O，则PQ的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 若xy=3，x+y=5，则x2y+xy2= ______ ．
12. 若ab=12，则分式3a+bb= ______ ．
13. 边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO的度数为______ ．
14. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥AC，若BC=2，DE=1，则S△BCD= ______ ．
15. 如图，AD和BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，垂足为点F，且G、E为AC的三等分点，若BE=8，则BF的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
解不等式(组)：
(1)解不等式：2(x+1)−1≥3x+2，并把它的解集在数轴上表示出来；
(2)解不等式组5x−2≥7x−42x−13<3x+12并写出该不等式组的非负整数解．
17. (本小题8.0分)
分解因式：
(1)25x2−36；
(2)2x2y−8xy+8y．
18. (本小题10.0分)
计算：
(1)3x+2x−1−5x−1；
(2)先化简，再求值(2xx−2+xx+2)÷xx2−4，其中x=−3．
19. (本小题6.0分)
如图，平行四边形ABCD中E，F是直线AC上两点，且AE=CF.求证：BE//DF．
20. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是(0,4)，点A的坐标是(3,1)．
(1)将△OAB先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到△O1A1B1，画出△OA1B1，并直接写出点A1的坐标；
(2)将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OA2B2，画出△OA2B2，并直接写出点B2的坐标；
(3)求(2)中OA扫过的面积．
21. (本小题10.0分)
王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2+2mn+2n2−6n+9=0，求m和n的值．
解：m2+2mn+2n2−6n+9=0，
∴m2+2mn+n2+n2−6n+9=0．
即(m+n)2+(n−3)2=0，
∴m+n=0，n−3=0，
∴m=−3，n=3．
为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题.相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
(1)若x2−4xy+5y2+2y+1=0，求xy的值；
(2)已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2−10a+b2−12b+61=0，求此三角形的周长．
22. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)判断DE与PD的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=3，BC=4，PA=1，求线段DE的长．
23. (本小题12.0分)
李老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车.经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的行驶费用比燃油车平均每公里的行驶费用少0.6元.若两款车的行驶费用均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍．
(1)求这款电动汽车平均每公里的行驶费用；
(2)若电动汽车和燃油车每年的其它费用分别为7800元和4800元.问：每年行驶里程为多少千米时，买电动汽车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用)
24. (本小题12.0分)
综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D，E分别为AB，AC边上一点，连接DE，且DE//BC，将△ABC绕点A在平面内旋转．
(1)观察猜想
若α=60°，将△ABC绕点A旋转到如图2所示的位置，则DB与CE的数量关系为______；
(2)类比探究
若α=90°，将△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置，DB，CE相交于点O，猜想DB，CE满足的位置关系，并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在(2)的条件下，连结CD，分别取DE，DC，BC的中点M，P，N，连结PM，PN，MN，若AD=4，AB=10，请直接写出在旋转过程中△PMN面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
2.【答案】B
【解析】解：A.∵a
B.∵a
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】C
【解析】解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式=(x+2)(x−2)，不符合题意；
C、原式=(x−2)2，符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选：C．
各项分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了运用公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵代数式x−1x的值为0，
∴x−1=0且x≠0，
解得x=1，
故选：A．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零求解可得．
本题主要考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB，
∴AE=BE=3 2，
∴∠B=∠EAB=22.5°，
∴∠AEC=45°，
又∵∠C=90°，
∴△ACE为等腰三角形，
∴CE=AC=3，
故选：C．
利用线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质及等腰直角三角形的性质计算．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质(垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等)，三角形外角的性质及等腰直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查分式的化简求值，正确对已知条件进行变形是解题的关键．
利用完全平方公式对已知条件进行变形，进而可得出答案．
【解答】
解：把x+1x=6两边平方得：(x+1x)2=x2+1x2+2=36，
则x2+1x2=34，
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：方案Ⅰ：连接BD，
∵l1，l2，l3，l4是边AB，BC，CD，AD的垂直平分线，
∴GF和EH分别是△BDC和△BDA的中位线，
∴GF//BD，GF=12BD，EH//BD，EH=12BD，
∴GF=EH，GF//EH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
方案Ⅱ：
∵GH//AC//EF，EH//BD//FG，
∴GH//EF，EH//FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
故选：C．
根据平行四边形的定义进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠α=180°−(540°−70°−140°−180°)=30°，
故选：B．
根据平行四边形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的邻角互补解答．
9.【答案】B
【解析】解：∵∠C=90°，AC=BC= 2，
∴AB= 2AC=2，
∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∵图中阴影部分的面积=S△AB′B，
∴图中阴影部分的面积= 34×4= 3，
故选：B．
由直角三角形的性质可求AB=2，由旋转的性质可得AB=AB′，∠BAB′=60°，可得△ABB′是等边三角形，由图中阴影部分的面积=S△AB′B，可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵∠BAC=90°，AC=6，∠ACB=30°，
∴AB=2 3，BC=4 3，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，CO=AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB=∠P′CO，∠CP′O=∠CAB=90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴COBC=OP′AB，
∴34 3=OP′2 3，
∴OP′=32，
∴则PQ的最小值为2OP′=3．
故选：C．
以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形．
11.【答案】15
【解析】解：∵xy=3，x+y=5，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=3×5=15．
故答案为：15．
首先利用提取公因式法将x2y+xy2进行因式分解，然后将xy=3，x+y=5整体代入进行计算即可．
此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握利用提取公因式法进行因式分解，难点是整体思想在解题中的应用．
12.【答案】52
【解析】解：∵ab=12，
∴b=2a，
∴3a+bb=3a+2a2a=5a2a=52；
故答案为：52．
由ab=12可得b=2a，然后代入所求式子计算即可．
本题考查了分式的求值，属于常考题型，掌握求解的方法是解题的关键．
13.【答案】24°
【解析】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，
∴∠BOC=360°−120°−108°=132°，
∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=180°−132°2=24°，
故答案为：24．
根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角108°和正六边形的内角120°，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论．
本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示．
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，
∴DF=DE=1．
∴S△BCD=12⋅BC⋅DF
=12×2×1
=1．
故答案为：1．
过点D作DF⊥BC于点F，则DF=DE，再利用三角形的面积公式，即可求出△BCD的面积．
本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，牢记“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：∵CD=DB，CG=GE，
∴DG是△CEB的中位线，
∴DG=12BE=4，DG//BE，
在△DBF和△ABF中，
∠DBF=∠ABFBF=BF∠BFD=∠BFA，
∴△DBF≌△ABF(SAS)
∴AF=FD，
∵DG//BE，AF=FD，
∴FE=12DG=2，
∴BF=BE−EF=6，
故答案是：6．
根据三角形中位线定理得到DG=12BE=4，DG//BE，证明△DBF≌△ABF，根据全等三角形的性质得到AF=FD，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16.【答案】解：(1)∵2(x+1)−1≥3x+2，
∴2x+2−1≥3x+2，
2x−3x≥2−2+1，
−x≥1，
则x≤−1，
将解集表示在数轴上如下：
(2)由5x−2≥7x−4得：x≤1，
由2x−13<3x+12得：x>−1，
则不等式组的解集为−1
【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：(1)25x2−36=(5x+6)(5x−6)；
(2)2x2y−8xy+8y
=2y(x2−4x+4)
=2y(x−2)2．
【解析】(1)利用平方差公式，进行分解即可解答；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18.【答案】解：(1)3x+2x−1−5x−1
=3x+2−5x−1
=3x−3x−1
=3(x−1)x−1
=3；
(2)(2xx−2+xx+2)÷xx2−4
=2x(x+2)+x(x−2)(x+2)(x−2)⋅(x+2)(x−2)x
=3x2+2x(x+2)(x−2)⋅(x+2)(x−2)x
=x(3x+2)x
=3x+2，
当x=−3时，原式=3×(−3)+2=−9+2=−7．
【解析】(1)利用同分母分式加减法法则，进行计算即可解答；
(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ACD=∠CAB．
∵CF=AE，
∴△CFD≌△AEB(SAS)，
∴∠F=∠E，
∴BE//DF．
【解析】根据平行四边形的性质，证得△CFD≌△AEB，即可得证结论．
本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的证明，熟练掌握平行四边形的有关性质和全等三角形的证明是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△OA1B1为所作，点A1的坐标为(−1,−3)；
(2)如图，△OA2B2为所作，点B2的坐标为(−4,0)；
(3)OA= 12+32= 10，
所以OA扫过的面积=90×π×( 10)2360=52π.
【解析】(1)利用点平移的坐标变换规律得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A2、B2，从而得到△OA2B2，从而得到点B2的坐标；
(3)先利用勾股定理计算出OA的长，然后根据扇形的面积公式求解．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了扇形面积的计算和平移变换．
21.【答案】解：(1)∵x2−4xy+5y2+2y+1=0，
∴x2−4xy+4y2+y2+2y+1=0，
即(x−2y)2+(y+1)2=0，
∴x−2y=0，y+1=0，
解得x=−2，y=−1，
∴xy=(−2)×(−1)=2；
(2)∵a2−10a+b2−12b+61=0，
∴(a−5)2+(b−6)2=0，
∴a−5=0，b−6=0，
∴a=5，b=6，
当a为腰长时，5，5，6能组成三角形，△ABC的周长=5+5+6=16；
当b为腰长时，5，6，6能组成三角形，△ABC的周长=5+6+6=17．
∴此三角形的周长为16或17．
【解析】(1)已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出x、y的值；
(2)由a2+b2=10a+12b−61，应用因式分解的方法，判断出(a−5)2+(b−6)2=0，求得a、b的值，再分a为腰长，b为腰长两种情况，分别求出三角形的周长．
此题主要考查了配方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
22.【答案】解：(1)DE⊥DP，
理由如下：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠PDE=180°−90°=90°，
∴DE⊥DP；
(2)连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=4−x，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴22+(4−x)2=12+x2，
解得：x=198，
则DE=198．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，于是得到结论；
(2)连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=4−x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
23.【答案】解：(1)设这款电动汽车平均每公里的行驶费用为x元，则燃油车平均每公里的行驶费用为(x+0.6)元，
根据题意得：200x=200x+0.6×4，
解得：x=0.2，
经检验，x=0.2是所列方程的解，且符合题意．
答：这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元；
(2)燃油车平均每公里的行驶费用为0.6+0.2=0.8(元)．
设每年行驶里程为a km，
根据题意得：0.2a+7800<0.8a+4800，
解得：a>5000．
答：当每年行驶里程大于5000km时，买电动汽车的年费用更低．
【解析】(1)设这款电动汽车平均每公里的行驶费用为x元，则燃油车平均每公里的行驶费用为(x+0.6)元，根据“两款车的行驶费用均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
(2)由电动汽车平均每公里的行驶费用比燃油车平均每公里的行驶费用少0.6元，可求出燃油车平均每公里的行驶费用，设每年行驶里程为a km，根据买电动汽车的年费用更低，可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】BD=CE
【解析】解：(1)如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∵旋转，
∴∠DAB=∠EAC，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，
故答案为：BD=CE；
(2)DB⊥CE，
理由如下：如图，设AB与CE的交点为点P，
∵△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置，a=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB与△AEC中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴∠ABO=∠ACO，
∵∠CPB是△BPO的外角，也是△ACP的外角，
∴∠CPB=∠ABO+∠COB=∠ACO+∠CAB，
∴∠COB=∠CAB=90°，
∴DB⊥CE；
(3)∵M，P，N分别是DE，DC，BC的中点，
∴DB//PN，DB=2PN，PM//CE，CE=2PM，
∵△ADB≌△AEC，
∴DB=CE，
∴PN=PM，
∵DB⊥CE，DB//PN，PM//CE，
∴PN⊥PM，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴△PMN的面积=PN22=BD28，
∵AD=4，AB=10，
∴当点A，点D，点B三点共线时，BD有最大值，即△PMN面积有最大值，
∴BD的最大值为14，△PMN面积的最大值为492．
(1)由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD=CE；
(2)由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得∠ABO=∠ACO，由外角的性质可得结论；
(3)先证明△PMN是等腰直角三角形，可得△PMN的面积=PN22=BD28，则当点A，点D，点B三点共线时，BD有最大值，即△PMN面积有最大值．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
2022-2023学年山东省济南市商河县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列卡通图标分别是“星球”、“宇航员”、“星系”和“黑洞”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 已知实数a和b，若a
A. x2+2x+4=(x+2)2 B. x2−4=(x+4)(x−4)
C. x2−4x+4=(x−2)2 D. x2+4=(x+2)2
4. 如果代数式x−1x的值为0，那么实数x满足( )
A. x=1 B. x≥1 C. x≠0 D. x≥0
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线DE交BC于点E，BE=3 2，则AC等于( )
A. 3 2 B. 6 2 C. 3 D. 6
6. 已知x+1x=6，则x2+1x2=( )
A. 38 B. 36 C. 34 D. 32
7. 现有一四边形ABCD，借助此四边形作平行四边形EFGH，两位同学提供了如下方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是( )
方案Ⅰ
作边AB，BC，CD，AD的垂直平分线l1，l2，l3，l4，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H，顺次连接这四点围成的四边形EFGH即为所求．
方案Ⅱ
连接AC，BD，过四边形ABCD各顶点分别作AC，BD的平行线EF，GH，EH，FG，这四条平行线围成的四边形EFGH即为所求．
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行
8. 如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数为( )
A. 20° B. 30° C. 40° D. 70°
9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC= 2，将△ABC绕点A逆时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，则图中阴影部分的面积是( )
A. 2
B. 3
C. 3 2
D. 2 3
10. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，∠ACB=30°，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，与AC交于点O，则PQ的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 若xy=3，x+y=5，则x2y+xy2= ______ ．
12. 若ab=12，则分式3a+bb= ______ ．
13. 边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO的度数为______ ．
14. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥AC，若BC=2，DE=1，则S△BCD= ______ ．
15. 如图，AD和BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，垂足为点F，且G、E为AC的三等分点，若BE=8，则BF的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
解不等式(组)：
(1)解不等式：2(x+1)−1≥3x+2，并把它的解集在数轴上表示出来；
(2)解不等式组5x−2≥7x−42x−13<3x+12并写出该不等式组的非负整数解．
17. (本小题8.0分)
分解因式：
(1)25x2−36；
(2)2x2y−8xy+8y．
18. (本小题10.0分)
计算：
(1)3x+2x−1−5x−1；
(2)先化简，再求值(2xx−2+xx+2)÷xx2−4，其中x=−3．
19. (本小题6.0分)
如图，平行四边形ABCD中E，F是直线AC上两点，且AE=CF.求证：BE//DF．
20. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是(0,4)，点A的坐标是(3,1)．
(1)将△OAB先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到△O1A1B1，画出△OA1B1，并直接写出点A1的坐标；
(2)将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OA2B2，画出△OA2B2，并直接写出点B2的坐标；
(3)求(2)中OA扫过的面积．
21. (本小题10.0分)
王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2+2mn+2n2−6n+9=0，求m和n的值．
解：m2+2mn+2n2−6n+9=0，
∴m2+2mn+n2+n2−6n+9=0．
即(m+n)2+(n−3)2=0，
∴m+n=0，n−3=0，
∴m=−3，n=3．
为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题.相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
(1)若x2−4xy+5y2+2y+1=0，求xy的值；
(2)已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2−10a+b2−12b+61=0，求此三角形的周长．
22. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)判断DE与PD的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=3，BC=4，PA=1，求线段DE的长．
23. (本小题12.0分)
李老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车.经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的行驶费用比燃油车平均每公里的行驶费用少0.6元.若两款车的行驶费用均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍．
(1)求这款电动汽车平均每公里的行驶费用；
(2)若电动汽车和燃油车每年的其它费用分别为7800元和4800元.问：每年行驶里程为多少千米时，买电动汽车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用)
24. (本小题12.0分)
综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D，E分别为AB，AC边上一点，连接DE，且DE//BC，将△ABC绕点A在平面内旋转．
(1)观察猜想
若α=60°，将△ABC绕点A旋转到如图2所示的位置，则DB与CE的数量关系为______；
(2)类比探究
若α=90°，将△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置，DB，CE相交于点O，猜想DB，CE满足的位置关系，并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在(2)的条件下，连结CD，分别取DE，DC，BC的中点M，P，N，连结PM，PN，MN，若AD=4，AB=10，请直接写出在旋转过程中△PMN面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
2.【答案】B
【解析】解：A.∵a
B.∵a
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】C
【解析】解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式=(x+2)(x−2)，不符合题意；
C、原式=(x−2)2，符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选：C．
各项分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了运用公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵代数式x−1x的值为0，
∴x−1=0且x≠0，
解得x=1，
故选：A．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零求解可得．
本题主要考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB，
∴AE=BE=3 2，
∴∠B=∠EAB=22.5°，
∴∠AEC=45°，
又∵∠C=90°，
∴△ACE为等腰三角形，
∴CE=AC=3，
故选：C．
利用线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质及等腰直角三角形的性质计算．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质(垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等)，三角形外角的性质及等腰直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查分式的化简求值，正确对已知条件进行变形是解题的关键．
利用完全平方公式对已知条件进行变形，进而可得出答案．
【解答】
解：把x+1x=6两边平方得：(x+1x)2=x2+1x2+2=36，
则x2+1x2=34，
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：方案Ⅰ：连接BD，
∵l1，l2，l3，l4是边AB，BC，CD，AD的垂直平分线，
∴GF和EH分别是△BDC和△BDA的中位线，
∴GF//BD，GF=12BD，EH//BD，EH=12BD，
∴GF=EH，GF//EH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
方案Ⅱ：
∵GH//AC//EF，EH//BD//FG，
∴GH//EF，EH//FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
故选：C．
根据平行四边形的定义进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠α=180°−(540°−70°−140°−180°)=30°，
故选：B．
根据平行四边形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的邻角互补解答．
9.【答案】B
【解析】解：∵∠C=90°，AC=BC= 2，
∴AB= 2AC=2，
∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∵图中阴影部分的面积=S△AB′B，
∴图中阴影部分的面积= 34×4= 3，
故选：B．
由直角三角形的性质可求AB=2，由旋转的性质可得AB=AB′，∠BAB′=60°，可得△ABB′是等边三角形，由图中阴影部分的面积=S△AB′B，可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵∠BAC=90°，AC=6，∠ACB=30°，
∴AB=2 3，BC=4 3，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，CO=AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB=∠P′CO，∠CP′O=∠CAB=90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴COBC=OP′AB，
∴34 3=OP′2 3，
∴OP′=32，
∴则PQ的最小值为2OP′=3．
故选：C．
以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形．
11.【答案】15
【解析】解：∵xy=3，x+y=5，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=3×5=15．
故答案为：15．
首先利用提取公因式法将x2y+xy2进行因式分解，然后将xy=3，x+y=5整体代入进行计算即可．
此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握利用提取公因式法进行因式分解，难点是整体思想在解题中的应用．
12.【答案】52
【解析】解：∵ab=12，
∴b=2a，
∴3a+bb=3a+2a2a=5a2a=52；
故答案为：52．
由ab=12可得b=2a，然后代入所求式子计算即可．
本题考查了分式的求值，属于常考题型，掌握求解的方法是解题的关键．
13.【答案】24°
【解析】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，
∴∠BOC=360°−120°−108°=132°，
∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=180°−132°2=24°，
故答案为：24．
根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角108°和正六边形的内角120°，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论．
本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示．
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，
∴DF=DE=1．
∴S△BCD=12⋅BC⋅DF
=12×2×1
=1．
故答案为：1．
过点D作DF⊥BC于点F，则DF=DE，再利用三角形的面积公式，即可求出△BCD的面积．
本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，牢记“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：∵CD=DB，CG=GE，
∴DG是△CEB的中位线，
∴DG=12BE=4，DG//BE，
在△DBF和△ABF中，
∠DBF=∠ABFBF=BF∠BFD=∠BFA，
∴△DBF≌△ABF(SAS)
∴AF=FD，
∵DG//BE，AF=FD，
∴FE=12DG=2，
∴BF=BE−EF=6，
故答案是：6．
根据三角形中位线定理得到DG=12BE=4，DG//BE，证明△DBF≌△ABF，根据全等三角形的性质得到AF=FD，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16.【答案】解：(1)∵2(x+1)−1≥3x+2，
∴2x+2−1≥3x+2，
2x−3x≥2−2+1，
−x≥1，
则x≤−1，
将解集表示在数轴上如下：
(2)由5x−2≥7x−4得：x≤1，
由2x−13<3x+12得：x>−1，
则不等式组的解集为−1
【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：(1)25x2−36=(5x+6)(5x−6)；
(2)2x2y−8xy+8y
=2y(x2−4x+4)
=2y(x−2)2．
【解析】(1)利用平方差公式，进行分解即可解答；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18.【答案】解：(1)3x+2x−1−5x−1
=3x+2−5x−1
=3x−3x−1
=3(x−1)x−1
=3；
(2)(2xx−2+xx+2)÷xx2−4
=2x(x+2)+x(x−2)(x+2)(x−2)⋅(x+2)(x−2)x
=3x2+2x(x+2)(x−2)⋅(x+2)(x−2)x
=x(3x+2)x
=3x+2，
当x=−3时，原式=3×(−3)+2=−9+2=−7．
【解析】(1)利用同分母分式加减法法则，进行计算即可解答；
(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ACD=∠CAB．
∵CF=AE，
∴△CFD≌△AEB(SAS)，
∴∠F=∠E，
∴BE//DF．
【解析】根据平行四边形的性质，证得△CFD≌△AEB，即可得证结论．
本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的证明，熟练掌握平行四边形的有关性质和全等三角形的证明是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△OA1B1为所作，点A1的坐标为(−1,−3)；
(2)如图，△OA2B2为所作，点B2的坐标为(−4,0)；
(3)OA= 12+32= 10，
所以OA扫过的面积=90×π×( 10)2360=52π.
【解析】(1)利用点平移的坐标变换规律得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A2、B2，从而得到△OA2B2，从而得到点B2的坐标；
(3)先利用勾股定理计算出OA的长，然后根据扇形的面积公式求解．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了扇形面积的计算和平移变换．
21.【答案】解：(1)∵x2−4xy+5y2+2y+1=0，
∴x2−4xy+4y2+y2+2y+1=0，
即(x−2y)2+(y+1)2=0，
∴x−2y=0，y+1=0，
解得x=−2，y=−1，
∴xy=(−2)×(−1)=2；
(2)∵a2−10a+b2−12b+61=0，
∴(a−5)2+(b−6)2=0，
∴a−5=0，b−6=0，
∴a=5，b=6，
当a为腰长时，5，5，6能组成三角形，△ABC的周长=5+5+6=16；
当b为腰长时，5，6，6能组成三角形，△ABC的周长=5+6+6=17．
∴此三角形的周长为16或17．
【解析】(1)已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出x、y的值；
(2)由a2+b2=10a+12b−61，应用因式分解的方法，判断出(a−5)2+(b−6)2=0，求得a、b的值，再分a为腰长，b为腰长两种情况，分别求出三角形的周长．
此题主要考查了配方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
22.【答案】解：(1)DE⊥DP，
理由如下：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠PDE=180°−90°=90°，
∴DE⊥DP；
(2)连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=4−x，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴22+(4−x)2=12+x2，
解得：x=198，
则DE=198．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，于是得到结论；
(2)连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=4−x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
23.【答案】解：(1)设这款电动汽车平均每公里的行驶费用为x元，则燃油车平均每公里的行驶费用为(x+0.6)元，
根据题意得：200x=200x+0.6×4，
解得：x=0.2，
经检验，x=0.2是所列方程的解，且符合题意．
答：这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元；
(2)燃油车平均每公里的行驶费用为0.6+0.2=0.8(元)．
设每年行驶里程为a km，
根据题意得：0.2a+7800<0.8a+4800，
解得：a>5000．
答：当每年行驶里程大于5000km时，买电动汽车的年费用更低．
【解析】(1)设这款电动汽车平均每公里的行驶费用为x元，则燃油车平均每公里的行驶费用为(x+0.6)元，根据“两款车的行驶费用均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
(2)由电动汽车平均每公里的行驶费用比燃油车平均每公里的行驶费用少0.6元，可求出燃油车平均每公里的行驶费用，设每年行驶里程为a km，根据买电动汽车的年费用更低，可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】BD=CE
【解析】解：(1)如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∵旋转，
∴∠DAB=∠EAC，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，
故答案为：BD=CE；
(2)DB⊥CE，
理由如下：如图，设AB与CE的交点为点P，
∵△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置，a=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB与△AEC中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴∠ABO=∠ACO，
∵∠CPB是△BPO的外角，也是△ACP的外角，
∴∠CPB=∠ABO+∠COB=∠ACO+∠CAB，
∴∠COB=∠CAB=90°，
∴DB⊥CE；
(3)∵M，P，N分别是DE，DC，BC的中点，
∴DB//PN，DB=2PN，PM//CE，CE=2PM，
∵△ADB≌△AEC，
∴DB=CE，
∴PN=PM，
∵DB⊥CE，DB//PN，PM//CE，
∴PN⊥PM，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴△PMN的面积=PN22=BD28，
∵AD=4，AB=10，
∴当点A，点D，点B三点共线时，BD有最大值，即△PMN面积有最大值，
∴BD的最大值为14，△PMN面积的最大值为492．
(1)由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD=CE；
(2)由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得∠ABO=∠ACO，由外角的性质可得结论；
(3)先证明△PMN是等腰直角三角形，可得△PMN的面积=PN22=BD28，则当点A，点D，点B三点共线时，BD有最大值，即△PMN面积有最大值．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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