2021-2022学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值(    )

A. 不变 B. 缩小倍 C. 扩大倍 D. 扩大倍

5. 下面关于平行四边形的说法中，不正确的是(    )

A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 有两组对角相等的四边形是平行四边形

6. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

7. 如图，在▱中，点为边的中点，对角线与相交于点，且的周长为，连接，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若关于的一元二次方程有一个解为，则另一个解为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．年至年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国年至年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 关于的分式方程有增根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在平面直角坐标系中，▱的顶点，点在轴的正半轴上，的平分线交于点，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，▱的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接下列结论：；；；，其中成立的个数为(    )

1. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 分解因式：______．
14. 一个正多边形的每一个内角都是，则它是正______边形．
15. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的点坐标是，则点的坐标为______．
16. 如图，▱中，平分交于，于，已知，则______．

17. 如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为，则修建的路宽应为______

18. 如图，在中，，，平分交于点，为直线上一动点．连接，以、为邻边构造平行四边形，连接，若则的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共78分）

19. 因式分解：
    ．
    ．
20. 解方程：．
21. 解不等式组：并写出所有的整数解．
22. 先化简，再求值：，其中．
23. 如图，在▱中，，是边，上的两点，且求证．

24. 如图，的中线，相交于点，、分别是，的中点．
    求证：四边形是平行四边形；
    请写出与的数量关系，并说明理由．

25. 冰墩墩是年北京冬奥会的言祥物，其敦厚、可爱的形象深入人心，制作的奥运纪念品很受大家喜爱．已知型号的冰墩墩手办比型号的冰墩墩钥匙扣的单价多元，用元购买型号手办的数量是用元购买型号钥匙扣数量的倍．
    求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？
    若计划购买，两种型号的纪念品共个，且所花费用不超过元，求最多能购买多少个型号的纪念品？

26. 中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，问：
    填空：______，______用含的代数式表示
    经过几秒，的长为？
    经过几秒，的面积等于？

27. 如图，已知直线经过、两点．
    
    求直线的解析式；
    若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上．
    求点和点的坐标；
    若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，否则说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C不符合题意；
D、，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】
解：右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.是因式分解，故本选项符合题意；
C.右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D.右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：把分式中的和都扩大倍，
即，
故分式的值扩大倍．
故选D．
把分式中的分子，分母中的，都同时变成原来的倍，就是用，分别代替式子中的，，看得到的式子与原式子的关系．
此题考查的是对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小倍，只要将原数乘以或除以，再代入原式求解，是此类题目的常见解法．
 

5.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项B符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、有两组对角相等的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
所以且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
点为边的中点，
，是的中位线，
，
的周长，
故选：．
利用平行四边形的性质得，再利用三角形中位线定理可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设方程的另一个解为，
根据题意得：，
解得：．
故选：．
设方程的另一个解为，根据两根之和等于，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设我国年至年快递业务收入的年平均增长率为，
由题意得：，
故选：．
根据题意可得等量关系：年的快递业务量增长率年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

10.【答案】 

【解析】解：分式方程去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

11.【答案】 

【解析】解：设与轴交于点，

四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质证得，设，则，由勾股定理得出，求出，则可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，，
，，，，
，，
平分，
，

为等边三角形，
，，
，
，
又，
，，
，，
，
，故错误；
，，
，
，故错误；
，故正确；
，，
是的中点，
：：，
：：，
：：，
：：，
，故正确．
故选：．
结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由，可得，由三角形中位线定理可判定，证明，可判定；由平行四边形的面积公式可判定；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用公因式的定义分析得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

14.【答案】五 

【解析】解：，
．
故答案为：五．
由多边形的每一个内角都是先求得它的每一个外角是，然后根据正多边形的外角和是求解即可．
本题主要考查的是多边形的内角与外角，明确正多边形的每个内角的度数边数是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：将点先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的点坐标是，
点的坐标为，即，
故答案为：．
根据点的平移：左减右加，上加下减，逆向推导求解可得．
本题考查了坐标与图形变化平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
又平分，
，
．
故答案是：．
由平行四边形的性质及角平分线的性质可得的大小，进而可求解的度数．
本题考查了平行四边形的知识，解答本题需要掌握三角形的内角和定理及平行线的性质．
 

17.【答案】 

【解析】解：设修建的路宽应为 ，根据题意得：
，
解得：，不合题意，舍去，
则修建的路宽应为米．
故答案为：．
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，过作于，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
平分，
，
在中，，
可设，
，
，
，
，
，
，
如图，过作于，连接交于，
四边形为平行四边形，
，
在与中，
，
≌，
，
故到直线的距离始终为，
所以点在平行于的直线上运动，且两直线距离为，
根据垂线段最短，
当，，三点在一条直线上时，此时最小，如图，
最小值为：，
故答案为．
首先在中，由于，，，所以可以解，即可以过作于，利用三勾股定理，求出的长度，同理，在中，过作于，可以求出的长度，连接交于，过作于，可以证明≌，所以，由此得到在平行于的直线上运动，且距离两个单位长度，根据垂线段最短，可以得到当，，三点共线时，长度最小．
本题考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，还考查了线段最小值问题，找到动点的运动轨迹，是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】原式利用平方差公式分解即可；
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

21.【答案】解：，
解得：，
解得：，
则不等式组的解集是：，
则整数解是：，，． 

【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解题的关键是能求出不等式组的解集．
 

22.【答案】解：原式


，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

23.【答案】证明：在▱中，，，
即，
，
四边形是平行四边形，
，
，
即． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，，进而解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等且平行解答．
 

24.【答案】证明：、分别是，的中点．
为的中点，
，，
、为的中线，
为的中位线，
，
，，
四边形是平行四边形；
解：．
理由如下：
四边形是平行四边形，
，
而为的中点，
，
． 

【解析】先根据三角形中位线性质得到，，，，所以，，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；
利用平行四边形的性质得，再根据为的中点得到，所以．
本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：也考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定与性质．
 

25.【答案】解：设种型号纪念品的单价为元，则种型号纪念品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，则，
答：种型号纪念品的单价为元，则种型号纪念品的单价为元；
设能购买个型号的纪念品，则购买个型号的纪念品，
由题意得：，
解得：，
答：最多能购买个型号的纪念品． 

【解析】设种型号纪念品的单价为元，则种型号纪念品的单价为元，由题意：用元购买型号手办的数量是用元购买型号钥匙扣数量的倍．列出分式方程，解方程即可；
设能购买个型号的纪念品，则购买个型号的纪念品，由题意：所花费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】   
根据题意得：，
解得：，，
经过秒或秒，的长为．
根据题意得：，
解得：，．
，
．
答：经过秒，的面积等于． 

【解析】解：根据题意得：，．
故答案为：；．
见答案
见答案
由点，的运动速度，可用含的代数式表示出，的值；
根据勾股定理，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
根据三角形的面积公式结合的面积，可得出关于的一元二次方程，解之取其大于等于小于等于的值即可得出结论．
本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：根据点，两点运动的速度，找出，的值；利用勾股定理，找出关于的一元二次方程；利用三角形的面积公式，找出关于的一元二次方程．
 

27.【答案】解：将，代入得：
，解得：，
直线的表达式为；

，
，，
．
在和中，
，
≌，
，．
设，则点的坐标为，
点在直线上，
，
，
点的坐标为，点的坐标为；
存在，设点的坐标为．
分两种情况考虑，
当为边时，

点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为，
或，
或，
点的坐标为或；
当为对角线时，

点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为，
，
，
点的坐标为
综上所述：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或 

【解析】根据点，的坐标，利用待定系数可求出直线的表达式；
证明≌，利用全等三角形的性质可求出、的长，进而可得出点、的坐标；
设点的坐标为，分为边和为对角线两种情况考虑：当为边时，由，的坐标及点的横坐标可求出值，进而可得出点的坐标；当为对角线时，由，的坐标及点的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出值，进而可得出点的值．综上，此题得解．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式；利用全等三角形的判定和性质求解；分为边和为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点的坐标．