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2022-2023学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. x(a−b)=ax−bx B. ax+bx−c=x(a+b)−c
C. x2−2x=x(x−2x) D. y2−1=(y+1)(y−1)
3. 已知ab−2 D. a+2>b+2
4. 下列说法正确的是( )
A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 平行四边形是轴对称图形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
5. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=4，AD=5，则EF的长是( )
A. 3.5
B. 3
C. 2
D. 1
6. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得到△DEC，若AC⊥DE，连接AD，则∠ADE等于( )
A. 30° B. 20° C. 15° D. 10°
7. 如图，直线y=kx+b经过点(−1,2)，则关于x的不等式kx+b>2的解集是( )
A. x<−1
B. x>−1
C. x<2
D. x>2
8. 关于x的分式方程7xx−1+5=2m−1x−1有增根，则m的值为( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
9. 如图，Rt△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=90°，D，E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP=∠ABP，则PE=( )
A. 1 B. 65 C. 32 D. 2
10. 如图，菱形ABCD沿射线AC平移，得到菱形EFGH，延长AD，GH相交于点M，延长AB，GF相交于点N，若AB=3BN=3，∠ABC=120°，则EC的长是( )
A. 3 B. 4 C. 3 D. 2 3
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：m2−4m+4=______．
12. 如图，正方形BCGF与正五边形ABCDE的边BC重合，连接AF，则∠AFB的度数是______ ．
13. 如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和4，则重叠部分的四边形ABCD的周长等于______ ．
14. 如图，将一块正方形空地划出部分区域(阴影部分)进行绿化，绿化后一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为______ m.
15. 关于x的方程x2−2x+k−1=0有两个实数根，则k的取值范围是______ ．
16. 如图，已知▱ABCD中，AB=BC=8，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则线段OA的最小值是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 解不等式组4(x−1)≤7x+2x+2
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(1+3a−2)÷a+1a2−4，再从−2，−1，0，2四个数中选一个合适的数作为a的值代入求值．
19. (本小题10.0分)
解分式方程：
(1)5x+2=1x−2；
(2)3−xx−4=14−x−2．
20. (本小题10.0分)
解一元二次方程：
(1)x2+4x−3=0；
(2)x2−4x−12=0．
21. (本小题6.0分)
已知：如图，在▱ABCD中，E，F是直线AC上的两点，并且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
22. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(−3,2)，B(−1,4)，C(0,2)．
(1)将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；(请用黑色水笔描黑)
(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(−5,−2)，则平移距离为______，画出平移后对应的△A2B2C2；(请用黑色水笔描黑)
(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为______．
23. (本小题8.0分)
已知：正方形ABCD中，点E，M分别在边AB，AD上．
(1)如图1，CM⊥DE，垂足为点G，求证：DE=CM；
(2)如图2，点F，N分别在边CD，BC上，若EF⊥MN，请判断EF和MN的大小关系，并说明理由．
24. (本小题10.0分)
为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
25. (本小题10.0分)
已知△ABC中，AB=AC，BM⊥AC于点M，点D在直线BC上，DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AC，垂足为点F．
(1)如图1，点D在边BC上时，小明同学利用①三角形全等知识和②图形等面积法两种方法发现了DE，DF，BM三线段之间的数量关系，请直接写出三线段之间的数量关系是______ ；
(2)如图2，图3，当点D在点B左边或者在点C右边的直线上时，问题(1)中DE，DF，BM三线段的数量关系是否还成立？若成立请选择一个图形进行证明，若不成立，请在图2或图3中选择一个图形，写出三线段新的数量关系，并进行证明．
26. (本小题12.0分)
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4 2，点D，E是边AB，AC的中点，连接DE，DC，点M，N分别是DE和DC的中点，连接MN．
(1)如图1，MN与BD的数量关系是______ ；
(2)如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，连接BD，请写出MN和BD的数量关系并就图2的情形说明理由；
(3)在△ADE的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段MN的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：A.x(a−b)=ax−bx，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.ax+bx−c=x(a+b)−c，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.x2−2x=x(x−2)，因式分解错误，故本选项不符合题意；
D.y2−1=(y+1)(y−1)，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解的定义判断即可．
本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3.【答案】A
【解析】解：A、在不等式a−2b，故本选项不符合题意；
C、在不等式a
根据a
4.【答案】B
【解析】解：A、菱形的对角线互相垂直，故选项A不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意；
C、平行四边形不一定是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项D不符合题意；
故选：B．
利用平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的判定依次判断可求解．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CB，AB=CD=4，AD=BC=5，
∴∠DFC=∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC=4；
同理可得：AE=AB=4，
∴AF=DE，
∵AD=5，
∴AF=5−4=1，
∴EF=5−1−1=3．
故选：B．
根据平行四边形的性质证明DF=CD，AE=AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
6.【答案】B
【解析】解：如图：设AC与DE相交于点F，
由旋转得：∠ACD=40°，AC=AC，
∴∠CDA=∠CAD=12(180°−∠ACD)=70°，
∵AC⊥DE，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=90°−∠ACD=50°，
∴∠ADE=∠CDA−∠CDF=20°，
故选：B．
设AC与DE相交于点F，根据旋转的性质看得：∠ACD=40°，AC=AC，从而利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠CDA=∠CAD=70°，然后根据垂直定义可得∠CFD=90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CDF=50°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由图中可以看出，当x<−1时，kx+b>2，
故选：A．
一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于2的自变量x的取值范围．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【解答】
解：方程两边都乘(x−1)，
得7x+5(x−1)=2m−1
∵原方程有增根，
∴最简公分母(x−1)=0
解得x=1，
当x=1时，7=2m−1
解得m=4，
所以m的值为4．
故选C．
9.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，AB=8，AC=6，
由勾股定理得：BC= AB2+AC2= 82+62=10，
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE=12BC=5，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠EAP=90°，
∵∠EAP=∠ABP，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∵D为AB的中点，
∴PD=12AB=4，
∴PE=DE−DP=1，
故选：A．
根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出PD，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由平移的性质得到EF=AB=3，四边形BNFK是平行四边形，
∴FK=BN=1，
∴EK=EF−FK=2，
∵EK//AB，
∴∠EKC=∠ABC=120°，∠KEC=∠BAC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCA=∠BAC，
∴∠KEC=∠KCE，
∴EC= 3EK=2 3．
故选：D．
由平移的性质得到EF=AB=3，四边形BNFK是平行四边形，求出EK=EF−FK=2，由EK//AB，得到∠EKC=∠ABC=120°，∠KEC=∠BAC，由菱形的性质得到∠BCA=∠BAC，因此∠KEC=∠KCE，由等腰三角形的性质得到EC= 3EK=2 3．
本题考查菱形的性质，平移的性质，关键是由平移的性质，得到EK=2，由菱形的性质得到△KEC是等腰三角形．
11.【答案】(m−2)2
【解析】解：原式=(m−2)2
故答案为：(m−2)2
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12.【答案】81°
【解析】解：由题意可得∠CBF=90°，∠ABC=(5−2)×180°÷5=108°，
∴∠ABF=∠ABC−∠CBF=108°−90°=18°，
∵AB=BC=BF，
∴∠AFB=∠BAF=180°−18°2=81°，
故答案为：81°．
利用多边形内角和及正多边形性质求得∠ABC，∠CBF的度数后即可求得∠ABF的度数，然后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得答案．
本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，结合已知条件求得∠ABF的度数是解题的关键．
13.【答案】20
【解析】解：如图，由题意得：矩形BFDE≌矩形BHDG，
∴∠G=90°，DG=DE=4，BG//DH，BE//DF，BG=8，
∴四边形ABCD平行四边形，
∴平行四边形ABCD的面积=AD⋅DG=CD⋅DE，
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴CD=BC=AB=AD，
设CD=BC=x，则CG=8−x，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：42+(8−x)2=x2，
解得：x=5，
∴CD=5，
∴菱形ABCD的周长=4CD=20，
即重叠部分的四边形周长是20，
故答案为：20．
先证四边形ABCD平行四边形，再证四边形ABCD是菱形，得CD=BC=AB=AD，设CD=BC=x，则CG=8−x，然后在Rt△CDG中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
14.【答案】7
【解析】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
(x−3)(x−2)=20，
解得：x1=7，x2=−2(不合题意，舍去)，
即：原正方形的边长7m．
故答案是：7．
本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为(x−2)m，宽为(x−3)m.根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．
本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
15.【答案】k≤2
【解析】解：∵关于x的方程x2−2x+k−1=0有两个实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1×(k−1)≥0，
解得：k≤2，
∴k的取值范围为k≤2．
故答案为：k≤2．
根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．
16.【答案】4 3−4
【解析】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，连接OE，
当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，
∵平行四边形ABCD中，AB=BC=8，∠BCD=60°，
∴AB=AD=CD=BC=8，∠BAD=∠BCD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE过点O，E为BD中点，
∵∠BOD=90°，BD=8，
∴EO=4，
故AO的最小值为：AO=AE−EO=ABsin60°−12×BD=4 3−4．
故答案为：4 3−4．
利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出OE和AE的长，进而求出AO的长．
此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短是解题关键．
17.【答案】解：4(x−1)≤7x+2①x+2
解不等式②得x<1，
所以不等式组的解集为：−2≤x<1，
所以不等式组的所有整数解为：−2，−1，0．
【解析】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
18.【答案】解：(1+3a−2)÷a+1a2−4
=a+1a−2×(a+2)(a−2)a+1
=a+2；
把a=0代入上式得：
原式=0+2=2．
【解析】先进行通分，再把除法转化成乘法，然后进行约分，再选一个适当的值代入即可．
此题考查了分式的化简求值，解题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
19.【答案】解：(1)去分母得：5(x−2)=x+2，
解得：x=3，
检验：把x=3代入得：(x+2)(x−2)≠0，
∴x=3是原方程的解．
(2)去分母得：3−x=−1−2(x−4)．
解得：x=4，
检验：把x=4代入得：x−4=0，
∴x=4是增根，分式方程无解．
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20.【答案】解：(1)x2+4x−3=0，
x2+4x=3，
x2+4x+4=3+4，
(x+2)2=7，
∴x+2=± 7，
∴x1= 7−2，x2=− 7−2；
(2)x2−4x−12=0，
(x−6)(x+2)=0，
∴x−6=0或x+2=0，
∴x1=6，x2=−2．
【解析】(1)利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△EBA和△FDC中，
AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF，
∴△EBA≌△FDC(SAS)，
∴BE=DF．
【解析】由平行四边形的性质，推出AB=CD，AB//CD，因此∠BAC=∠ACD，得到∠BAE=∠DCF，即可证明△EBA和△FDC(SAS)，推出BE=DF．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质推出△EBA≌△FDC(SAS)．
22.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)△A2B2C2即为所求，2 5 ；
(3) (−1,−2)．
【解析】解：(1)见答案；
(2)作图见答案，平移距离= 42+22=2 5，
故答案为：2 5；
(3)如图所示，点D即为旋转中心，D(−1,−2)，
故答案为：(−1,−2)．
(1)根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
(2)根据勾股定理结合网格即可求解，根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
本题主要考查了作图−旋转变换，平移变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠DAE=∠CDM=90°，
∴∠ADE+∠EDC=90°，
∵CM⊥DE，
∴∠EDC+∠DCM=90°，
∴∠ADE=∠DCM，
在△ADE和△DCM中，
∠ADE=∠DCMAD=DC∠DAE=∠CDM=90°，
∴△ADE≌△DCM(ASA)，
∴DE=CM．
(2)解：EF和MN的大小关系是：EF=NM．
理由如下：
过点C作CR//MN交AD于R，过点D作DQ//EF交AB于Q，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD//BC，即：MR//CN，
又CR//MN，
∴四边形MNCR为平行四边形，
∴NM=CR，
同理：EF=DQ，
由(1)可知：CR=DQ，
∴EF=NM．
【解析】(1)首先证∠ADE=∠DCM，然后依据“ASA”判定△ADE和△DCM全等，进而可得出结论；
(2)过点C作CR//MN交AD于R，过点D作DQ//EF交AB于Q，先由AD//BC，CR//MN得四边形MNCR为平行四边形，进而得NM=CR，同理：EF=DQ，然后利用(1)的结论得CR=DQ，据此可得出结论．
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解正方形的四条边都相等、四个角都是直角；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别相等．
24.【答案】解：(1)设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为(1−20%)x元，
由题意得：1000(1−20％)x=1200x+10
解得：x=5，
经检验：x=5是原方程的解，且符合题意，
则5×(1−20%)=4(元)，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
(2)设购进甲种水果m千克，则乙种水果(150−m)千克，利润为w元，
由题意得：w=(6−4)m+(8−5)(150−m)=−m+450，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2 (150−m)，
解得：m≥100，
∵−1<0，则w随m的增大而减小，
∴当m=100时，w最大，最大值=−100+450=350，
则150−m=50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．
【解析】(1)设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为x(1−20%)元，由题意：用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购进甲种水果m千克，则乙种水果(150−m)千克，利润为w元，由题意得w=−m+450，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得m≥2 (150−m)，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】DE+DF=BM
【解析】解：(1)连接AD，如图1．
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∴12AB⋅DE+12AC⋅DF=12AC⋅BM，
∵AB=AC，
∴DE+DF=BM．
故答案为：DE+DF=BM；
(2)不成立．连接AD．
当点D在点B左边的直线上时，如图2．
∵S△ACD−S△ABD=S△ABC，
∴12AC⋅DF−12AB⋅DE=12AC⋅BM，
∵AB=AC，
∴DF−DE=BM；
当点D点C右边的直线上时，如图3．
∵S△ABD−S△ACD=S△ABC，
∴12AB⋅DE−12AC⋅DF=12AC⋅BM，
∵AB=AC，
∴DE−DF=BM．
(1)连接AD，利用等面积法即可证明DE+DF=BM；
(2)连接AD，当点D在点B左边的直线上时，利用等面积法即可证明DF−DE=BM；当点D点C右边的直线上时，利用等面积法即可证明DE−DF=BM．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握“等积法”是本题的关键．本题也可以利用三角形全等得出结论．
26.【答案】MN=12BD
【解析】解：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC=4 2，
∴AB=AC=4，
∵点D，E是边AB，AC的中点，
∴AE=AD=2=BD=CE，DE=12BC=2 2，
∵点M，N分别是DE和DC的中点，
∴MN=12CE，
∴MN=12BD，
故答案为：MN=12BD；
(2)MN=12BD，理由如下：
如图2，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAE=∠BAD，
又∵AE=AD，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
∵点M，N分别是DE和DC的中点，
∴MN=12CE，
∴MN=12BD；
(3)当点E在线段BD上时，如图3，连接CE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAE=∠BAD，
又∵AE=AD，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠ACE=∠ABD，
∴∠ABD+∠ABC+∠BCE=∠ABC+∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠BEC=90°，
∵BE2+EC2=BC2，
∴(EC−2 2)2+EC2=32，
∴EC= 2+ 14(负值舍去)，
∵点M，N分别是DE和DC的中点，
∴MN=12CE= 2+ 142，
当点D在线段BE上时，如图4，连接CE，
同理可求：MN= 14− 22，
综上所述：MN的长为 2+ 142或 14− 22．
(1)由三角形中位线定理可得MN=12CE，即可求解；
(2)由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE，由三角形中位线定理可得MN=12CE，即可求解；
(3)分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
2022-2023学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. x(a−b)=ax−bx B. ax+bx−c=x(a+b)−c
C. x2−2x=x(x−2x) D. y2−1=(y+1)(y−1)
3. 已知a
4. 下列说法正确的是( )
A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 平行四边形是轴对称图形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
5. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=4，AD=5，则EF的长是( )
A. 3.5
B. 3
C. 2
D. 1
6. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得到△DEC，若AC⊥DE，连接AD，则∠ADE等于( )
A. 30° B. 20° C. 15° D. 10°
7. 如图，直线y=kx+b经过点(−1,2)，则关于x的不等式kx+b>2的解集是( )
A. x<−1
B. x>−1
C. x<2
D. x>2
8. 关于x的分式方程7xx−1+5=2m−1x−1有增根，则m的值为( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
9. 如图，Rt△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=90°，D，E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP=∠ABP，则PE=( )
A. 1 B. 65 C. 32 D. 2
10. 如图，菱形ABCD沿射线AC平移，得到菱形EFGH，延长AD，GH相交于点M，延长AB，GF相交于点N，若AB=3BN=3，∠ABC=120°，则EC的长是( )
A. 3 B. 4 C. 3 D. 2 3
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：m2−4m+4=______．
12. 如图，正方形BCGF与正五边形ABCDE的边BC重合，连接AF，则∠AFB的度数是______ ．
13. 如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和4，则重叠部分的四边形ABCD的周长等于______ ．
14. 如图，将一块正方形空地划出部分区域(阴影部分)进行绿化，绿化后一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为______ m.
15. 关于x的方程x2−2x+k−1=0有两个实数根，则k的取值范围是______ ．
16. 如图，已知▱ABCD中，AB=BC=8，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则线段OA的最小值是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 解不等式组4(x−1)≤7x+2x+2
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(1+3a−2)÷a+1a2−4，再从−2，−1，0，2四个数中选一个合适的数作为a的值代入求值．
19. (本小题10.0分)
解分式方程：
(1)5x+2=1x−2；
(2)3−xx−4=14−x−2．
20. (本小题10.0分)
解一元二次方程：
(1)x2+4x−3=0；
(2)x2−4x−12=0．
21. (本小题6.0分)
已知：如图，在▱ABCD中，E，F是直线AC上的两点，并且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
22. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(−3,2)，B(−1,4)，C(0,2)．
(1)将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；(请用黑色水笔描黑)
(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(−5,−2)，则平移距离为______，画出平移后对应的△A2B2C2；(请用黑色水笔描黑)
(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为______．
23. (本小题8.0分)
已知：正方形ABCD中，点E，M分别在边AB，AD上．
(1)如图1，CM⊥DE，垂足为点G，求证：DE=CM；
(2)如图2，点F，N分别在边CD，BC上，若EF⊥MN，请判断EF和MN的大小关系，并说明理由．
24. (本小题10.0分)
为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
25. (本小题10.0分)
已知△ABC中，AB=AC，BM⊥AC于点M，点D在直线BC上，DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AC，垂足为点F．
(1)如图1，点D在边BC上时，小明同学利用①三角形全等知识和②图形等面积法两种方法发现了DE，DF，BM三线段之间的数量关系，请直接写出三线段之间的数量关系是______ ；
(2)如图2，图3，当点D在点B左边或者在点C右边的直线上时，问题(1)中DE，DF，BM三线段的数量关系是否还成立？若成立请选择一个图形进行证明，若不成立，请在图2或图3中选择一个图形，写出三线段新的数量关系，并进行证明．
26. (本小题12.0分)
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4 2，点D，E是边AB，AC的中点，连接DE，DC，点M，N分别是DE和DC的中点，连接MN．
(1)如图1，MN与BD的数量关系是______ ；
(2)如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，连接BD，请写出MN和BD的数量关系并就图2的情形说明理由；
(3)在△ADE的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段MN的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：A.x(a−b)=ax−bx，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.ax+bx−c=x(a+b)−c，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.x2−2x=x(x−2)，因式分解错误，故本选项不符合题意；
D.y2−1=(y+1)(y−1)，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解的定义判断即可．
本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3.【答案】A
【解析】解：A、在不等式a
C、在不等式a
根据a
4.【答案】B
【解析】解：A、菱形的对角线互相垂直，故选项A不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意；
C、平行四边形不一定是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项D不符合题意；
故选：B．
利用平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的判定依次判断可求解．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CB，AB=CD=4，AD=BC=5，
∴∠DFC=∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC=4；
同理可得：AE=AB=4，
∴AF=DE，
∵AD=5，
∴AF=5−4=1，
∴EF=5−1−1=3．
故选：B．
根据平行四边形的性质证明DF=CD，AE=AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
6.【答案】B
【解析】解：如图：设AC与DE相交于点F，
由旋转得：∠ACD=40°，AC=AC，
∴∠CDA=∠CAD=12(180°−∠ACD)=70°，
∵AC⊥DE，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=90°−∠ACD=50°，
∴∠ADE=∠CDA−∠CDF=20°，
故选：B．
设AC与DE相交于点F，根据旋转的性质看得：∠ACD=40°，AC=AC，从而利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠CDA=∠CAD=70°，然后根据垂直定义可得∠CFD=90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CDF=50°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由图中可以看出，当x<−1时，kx+b>2，
故选：A．
一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于2的自变量x的取值范围．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【解答】
解：方程两边都乘(x−1)，
得7x+5(x−1)=2m−1
∵原方程有增根，
∴最简公分母(x−1)=0
解得x=1，
当x=1时，7=2m−1
解得m=4，
所以m的值为4．
故选C．
9.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，AB=8，AC=6，
由勾股定理得：BC= AB2+AC2= 82+62=10，
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE=12BC=5，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠EAP=90°，
∵∠EAP=∠ABP，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∵D为AB的中点，
∴PD=12AB=4，
∴PE=DE−DP=1，
故选：A．
根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出PD，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由平移的性质得到EF=AB=3，四边形BNFK是平行四边形，
∴FK=BN=1，
∴EK=EF−FK=2，
∵EK//AB，
∴∠EKC=∠ABC=120°，∠KEC=∠BAC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCA=∠BAC，
∴∠KEC=∠KCE，
∴EC= 3EK=2 3．
故选：D．
由平移的性质得到EF=AB=3，四边形BNFK是平行四边形，求出EK=EF−FK=2，由EK//AB，得到∠EKC=∠ABC=120°，∠KEC=∠BAC，由菱形的性质得到∠BCA=∠BAC，因此∠KEC=∠KCE，由等腰三角形的性质得到EC= 3EK=2 3．
本题考查菱形的性质，平移的性质，关键是由平移的性质，得到EK=2，由菱形的性质得到△KEC是等腰三角形．
11.【答案】(m−2)2
【解析】解：原式=(m−2)2
故答案为：(m−2)2
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12.【答案】81°
【解析】解：由题意可得∠CBF=90°，∠ABC=(5−2)×180°÷5=108°，
∴∠ABF=∠ABC−∠CBF=108°−90°=18°，
∵AB=BC=BF，
∴∠AFB=∠BAF=180°−18°2=81°，
故答案为：81°．
利用多边形内角和及正多边形性质求得∠ABC，∠CBF的度数后即可求得∠ABF的度数，然后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得答案．
本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，结合已知条件求得∠ABF的度数是解题的关键．
13.【答案】20
【解析】解：如图，由题意得：矩形BFDE≌矩形BHDG，
∴∠G=90°，DG=DE=4，BG//DH，BE//DF，BG=8，
∴四边形ABCD平行四边形，
∴平行四边形ABCD的面积=AD⋅DG=CD⋅DE，
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴CD=BC=AB=AD，
设CD=BC=x，则CG=8−x，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：42+(8−x)2=x2，
解得：x=5，
∴CD=5，
∴菱形ABCD的周长=4CD=20，
即重叠部分的四边形周长是20，
故答案为：20．
先证四边形ABCD平行四边形，再证四边形ABCD是菱形，得CD=BC=AB=AD，设CD=BC=x，则CG=8−x，然后在Rt△CDG中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
14.【答案】7
【解析】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
(x−3)(x−2)=20，
解得：x1=7，x2=−2(不合题意，舍去)，
即：原正方形的边长7m．
故答案是：7．
本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为(x−2)m，宽为(x−3)m.根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．
本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
15.【答案】k≤2
【解析】解：∵关于x的方程x2−2x+k−1=0有两个实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1×(k−1)≥0，
解得：k≤2，
∴k的取值范围为k≤2．
故答案为：k≤2．
根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．
16.【答案】4 3−4
【解析】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，连接OE，
当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，
∵平行四边形ABCD中，AB=BC=8，∠BCD=60°，
∴AB=AD=CD=BC=8，∠BAD=∠BCD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE过点O，E为BD中点，
∵∠BOD=90°，BD=8，
∴EO=4，
故AO的最小值为：AO=AE−EO=ABsin60°−12×BD=4 3−4．
故答案为：4 3−4．
利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出OE和AE的长，进而求出AO的长．
此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短是解题关键．
17.【答案】解：4(x−1)≤7x+2①x+2
解不等式②得x<1，
所以不等式组的解集为：−2≤x<1，
所以不等式组的所有整数解为：−2，−1，0．
【解析】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
18.【答案】解：(1+3a−2)÷a+1a2−4
=a+1a−2×(a+2)(a−2)a+1
=a+2；
把a=0代入上式得：
原式=0+2=2．
【解析】先进行通分，再把除法转化成乘法，然后进行约分，再选一个适当的值代入即可．
此题考查了分式的化简求值，解题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
19.【答案】解：(1)去分母得：5(x−2)=x+2，
解得：x=3，
检验：把x=3代入得：(x+2)(x−2)≠0，
∴x=3是原方程的解．
(2)去分母得：3−x=−1−2(x−4)．
解得：x=4，
检验：把x=4代入得：x−4=0，
∴x=4是增根，分式方程无解．
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20.【答案】解：(1)x2+4x−3=0，
x2+4x=3，
x2+4x+4=3+4，
(x+2)2=7，
∴x+2=± 7，
∴x1= 7−2，x2=− 7−2；
(2)x2−4x−12=0，
(x−6)(x+2)=0，
∴x−6=0或x+2=0，
∴x1=6，x2=−2．
【解析】(1)利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△EBA和△FDC中，
AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF，
∴△EBA≌△FDC(SAS)，
∴BE=DF．
【解析】由平行四边形的性质，推出AB=CD，AB//CD，因此∠BAC=∠ACD，得到∠BAE=∠DCF，即可证明△EBA和△FDC(SAS)，推出BE=DF．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质推出△EBA≌△FDC(SAS)．
22.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)△A2B2C2即为所求，2 5 ；
(3) (−1,−2)．
【解析】解：(1)见答案；
(2)作图见答案，平移距离= 42+22=2 5，
故答案为：2 5；
(3)如图所示，点D即为旋转中心，D(−1,−2)，
故答案为：(−1,−2)．
(1)根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
(2)根据勾股定理结合网格即可求解，根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
本题主要考查了作图−旋转变换，平移变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠DAE=∠CDM=90°，
∴∠ADE+∠EDC=90°，
∵CM⊥DE，
∴∠EDC+∠DCM=90°，
∴∠ADE=∠DCM，
在△ADE和△DCM中，
∠ADE=∠DCMAD=DC∠DAE=∠CDM=90°，
∴△ADE≌△DCM(ASA)，
∴DE=CM．
(2)解：EF和MN的大小关系是：EF=NM．
理由如下：
过点C作CR//MN交AD于R，过点D作DQ//EF交AB于Q，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD//BC，即：MR//CN，
又CR//MN，
∴四边形MNCR为平行四边形，
∴NM=CR，
同理：EF=DQ，
由(1)可知：CR=DQ，
∴EF=NM．
【解析】(1)首先证∠ADE=∠DCM，然后依据“ASA”判定△ADE和△DCM全等，进而可得出结论；
(2)过点C作CR//MN交AD于R，过点D作DQ//EF交AB于Q，先由AD//BC，CR//MN得四边形MNCR为平行四边形，进而得NM=CR，同理：EF=DQ，然后利用(1)的结论得CR=DQ，据此可得出结论．
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解正方形的四条边都相等、四个角都是直角；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别相等．
24.【答案】解：(1)设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为(1−20%)x元，
由题意得：1000(1−20％)x=1200x+10
解得：x=5，
经检验：x=5是原方程的解，且符合题意，
则5×(1−20%)=4(元)，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
(2)设购进甲种水果m千克，则乙种水果(150−m)千克，利润为w元，
由题意得：w=(6−4)m+(8−5)(150−m)=−m+450，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2 (150−m)，
解得：m≥100，
∵−1<0，则w随m的增大而减小，
∴当m=100时，w最大，最大值=−100+450=350，
则150−m=50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．
【解析】(1)设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为x(1−20%)元，由题意：用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购进甲种水果m千克，则乙种水果(150−m)千克，利润为w元，由题意得w=−m+450，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得m≥2 (150−m)，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】DE+DF=BM
【解析】解：(1)连接AD，如图1．
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∴12AB⋅DE+12AC⋅DF=12AC⋅BM，
∵AB=AC，
∴DE+DF=BM．
故答案为：DE+DF=BM；
(2)不成立．连接AD．
当点D在点B左边的直线上时，如图2．
∵S△ACD−S△ABD=S△ABC，
∴12AC⋅DF−12AB⋅DE=12AC⋅BM，
∵AB=AC，
∴DF−DE=BM；
当点D点C右边的直线上时，如图3．
∵S△ABD−S△ACD=S△ABC，
∴12AB⋅DE−12AC⋅DF=12AC⋅BM，
∵AB=AC，
∴DE−DF=BM．
(1)连接AD，利用等面积法即可证明DE+DF=BM；
(2)连接AD，当点D在点B左边的直线上时，利用等面积法即可证明DF−DE=BM；当点D点C右边的直线上时，利用等面积法即可证明DE−DF=BM．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握“等积法”是本题的关键．本题也可以利用三角形全等得出结论．
26.【答案】MN=12BD
【解析】解：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC=4 2，
∴AB=AC=4，
∵点D，E是边AB，AC的中点，
∴AE=AD=2=BD=CE，DE=12BC=2 2，
∵点M，N分别是DE和DC的中点，
∴MN=12CE，
∴MN=12BD，
故答案为：MN=12BD；
(2)MN=12BD，理由如下：
如图2，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAE=∠BAD，
又∵AE=AD，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
∵点M，N分别是DE和DC的中点，
∴MN=12CE，
∴MN=12BD；
(3)当点E在线段BD上时，如图3，连接CE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAE=∠BAD，
又∵AE=AD，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠ACE=∠ABD，
∴∠ABD+∠ABC+∠BCE=∠ABC+∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠BEC=90°，
∵BE2+EC2=BC2，
∴(EC−2 2)2+EC2=32，
∴EC= 2+ 14(负值舍去)，
∵点M，N分别是DE和DC的中点，
∴MN=12CE= 2+ 142，
当点D在线段BE上时，如图4，连接CE，
同理可求：MN= 14− 22，
综上所述：MN的长为 2+ 142或 14− 22．
(1)由三角形中位线定理可得MN=12CE，即可求解；
(2)由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE，由三角形中位线定理可得MN=12CE，即可求解；
(3)分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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