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江西省南昌市东湖区南昌市第三中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案）
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这是一份江西省南昌市东湖区南昌市第三中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省南昌三中七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，有题3分，共24分）
1．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列不等式中，变形正确的是（ ）
A．若a＞b，则﹣a＜﹣b B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＞b，则a﹣c＜b﹣c D．若a＞b，则a﹣c＜b+c
3．在7个实数﹣，，0，，﹣π，，1.101001000100001中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是（ ）
A．100
B．被抽取的100名学生家长
C．被抽取的100名学生家长的意见
D．全校学生家长的意见
5．如果方程x﹣y＝3与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（ ）
A．2（x﹣y）＝6y B．x+2y＝5 C．x+2y＝9 D．3x﹣4y＝16
6．一次数学活动课上，小聪将一副含30°角的三角板的一条直角边和45°角的三角板的一条直角边重叠，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2023，1） B．（2023，0） C．（2022，0） D．（2023，2）
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
9．的立方根是 ．
10．不等式5x＞4x+2的解是 ．
11．已知方程组，则x﹣y的值是 ．
12．某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了 道题．
13．如图，10个相同的小长方形拼成一个大长方形，设小长方形的长和宽分别为x厘米和y厘米，则每个小长方形的面积为 平方厘米．
14．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G．下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④．其中正确的结论是 ．
三、解答题（共4小题，每题6分，共24分）
15．（6分）（1）解方程组：；
（2）计算：|﹣3|+﹣．
16．（6分）解不等式组，把它们的解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
17．（6分）已知关于x，y的方程组．
（1）求x与y的关系式（用只含x的代数式表示y）；
（2）若该方程的解满足x+y＝﹣10，求式子m的值．
18．（6分）如图，先将△ABC向上平移2个单位再向左平移5个单位得到△A1B1C1，
（1）画出△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
（2）求△A1B1C1的面积．
四.解答题（共3小题，每题8分，共24分）
19．（8分）某中学对部分学生就“垃圾分类”知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有多少人？
（2）扇形统计图中，求“了解很少”部分所对应扇形的圆心角，并补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生1500人，请根据上述调查结果估计该中学学生中对“垃圾分类”知识达到“很了解”和“基本了解”程度的总人数．
20．（8分）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下：
A型车销售量（辆）
B型车销售量（辆）
总利润（元）
第一周
10
12
2000
第二周
20
15
3100
（1）求a，b的值；
（2）若第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？
21．（8分）若点P（x，y）的坐标满足．
（1）当a＝1，b＝2时，求点P的坐标；
（2）若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有四个，求b的取值范围；
（3）若关于z的方程yz+x+4＝0有唯一解z＝2，求关于t的不等式at＞b的解集．
五.探究题（共1小题，共10分）
22．如图乙，长方形ABCD在平面直角坐标系中，点A（1，8），B（1，6），C（7，6），点X，Y分别在x轴、y轴的正半轴上．
（1）请写出点D的坐标；
（2）连接OB，OD，OD交BC于点E，如图甲所示，∠BOY的平分线和∠BEO的平分线交于点F，若∠BOE＝n，求∠OFE的度数；（用n表示）
（3）若长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度向下运动，设运动的时间为t秒，问是否存在某一时刻t，使三角形OBD的面积等于长方形ABCD面积的？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年江西省南昌三中七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，有题3分，共24分）
1．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
解：点A坐标为（2，﹣3），它的横坐标为正，纵坐标为负，故它位于第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．下列不等式中，变形正确的是（ ）
A．若a＞b，则﹣a＜﹣b B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＞b，则a﹣c＜b﹣c D．若a＞b，则a﹣c＜b+c
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
解：A．若a＞b，则﹣a＜﹣b，正确，故本选项符合题意；
B．若a＞b，c＝0，则ac2＝bc2，故本选项不符合题意；
C．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故本选项不符合题意；
D．若a＞b，不妨设a＝5，b＝1，c＝1，则a﹣c＞b+c，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
3．在7个实数﹣，，0，，﹣π，，1.101001000100001中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：是分数，属于有理数；
0，，，是整数，属于有理数；
1.101001000100001是有限小数，属于有理数；
无理数有，﹣π，共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是（ ）
A．100
B．被抽取的100名学生家长
C．被抽取的100名学生家长的意见
D．全校学生家长的意见
【分析】总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考察的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解：某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，
这一问题中样本是：被抽取的100名学生家长的意见．
故选：C．
【点评】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考察对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
5．如果方程x﹣y＝3与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（ ）
A．2（x﹣y）＝6y B．x+2y＝5 C．x+2y＝9 D．3x﹣4y＝16
【分析】把代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可．
解：A选项，把代入方程得：左边＝2×3＝6，右边＝6，所以该选项符合题意；
B选项，把代入方程得：左边＝1+2＝3，右边＝5，所以该选项不符合题意；
C选项，把代入方程得：左边＝4+2＝6，右边＝9，所以该选项不符合题意；
D选项，把代入方程得：左边＝12﹣4＝8，右边＝16，所以该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即：将解代入原方程组，这是解题的关键．
6．一次数学活动课上，小聪将一副含30°角的三角板的一条直角边和45°角的三角板的一条直角边重叠，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
【分析】根据平行线的判定求出AB∥EF，根据平行线的性质求出∠AOF，根据三角形的外角性质求出∠1即可．
解：
如图所示，
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴∠ABC+∠DEF＝180°，
∴AB∥EF，
∴∠AOF＝∠F＝45°，
∵∠A＝30°，
∴∠1＝∠A+∠AOF＝30°+45°＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，能根据定理求出∠AOF的度数是解此题的关键．
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
解：设有x人，y辆车，
依题意得：．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决问题的关键是理解题意找出题中的等量关系．
8．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2023，1） B．（2023，0） C．（2022，0） D．（2023，2）
【分析】根据前几次运动的规律可知第4n次接着运动到点（4n，0），第4n+1次接着运动到点（4n+1，1），第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），根据规律求解即可．
解：由题意可知，第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次从原点运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
第6次接着运动到点（6，0），
……
第4n次接着运动到点（4n，0），
第4n+1次接着运动到点（4n+1，1），
第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），
第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），
∵2023÷4＝505……3，
∴第2023次接着运动到点（2023，2），
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
9．的立方根是 2 ．
【分析】一个数x的立方等于a，那么这个数x即为a的立方根，先求得的值，然后根据立方根的定义即可求得答案．
解：＝8，
∵23＝8，
∴的立方根是2，
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根及立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10．不等式5x＞4x+2的解是 x＞2 ．
【分析】先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．
解：移项得，5x﹣4x＞2，
合并同类项得，x＞2，
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
11．已知方程组，则x﹣y的值是 3 ．
【分析】方程组两个方程相减即可．
解：，
①﹣②得x﹣y＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查解二元一次方程组，两方程相减是解题的关键．
12．某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了 18 道题．
【分析】设小明答对了x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，利用得分＝5×答对题目数﹣1×答错题目数，结合得分不少于85分，可列出关于x的一元一次不等式，解之可求出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
解：设小明答对了x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，
根据题意得：5x﹣（20﹣x）≥85，
解得：x≥，
又∵x为非负整数，
∴x的最小值为18，
∴小明至少答对了18道题．
故答案为：18．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
13．如图，10个相同的小长方形拼成一个大长方形，设小长方形的长和宽分别为x厘米和y厘米，则每个小长方形的面积为 675 平方厘米．
【分析】观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每个小长方形的面积．
解：依题意得：，
解得：，
∴xy＝45×15＝675，
∴每个小长方形的面积为675平方厘米．
故答案为：675．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G．下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④．其中正确的结论是 ①③④ ．
【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故①正确；
②无法证明CA平分∠BCG，故②错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故③正确；
④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠DFB＝45°＝∠CGE，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
三、解答题（共4小题，每题6分，共24分）
15．（6分）（1）解方程组：；
（2）计算：|﹣3|+﹣．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）原式利用绝对值的代数意义，立方根定义计算即可求出值．
解：（1），
①+②得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入②得：y＝1，
则方程组的解为；
（2）原式＝3﹣+4﹣＝7﹣2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（6分）解不等式组，把它们的解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上，确定出整数解即可．
解：不等式组，
由①得：x≥，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集为≤x＜3，
则不等式组的整数解为1，2．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
17．（6分）已知关于x，y的方程组．
（1）求x与y的关系式（用只含x的代数式表示y）；
（2）若该方程的解满足x+y＝﹣10，求式子m的值．
【分析】（1）加减消元法消去m可求x与y的关系式；
（2）把代入x+y＝﹣10，求得方程的解，再把方程的解代入②可求m的值．
解：（1），
①﹣②得x+2y＝2，
整理得；
（2）把代入x+y＝﹣10，得
，
解得x＝﹣22，
把x＝﹣22代入，得，
把x＝﹣22，y＝12代入②得：2×（﹣22）+3×12＝m，
解得：m＝﹣8．
故m的值是﹣8．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是能观察出方程组未知数系数的关系，此题难度不大．
18．（6分）如图，先将△ABC向上平移2个单位再向左平移5个单位得到△A1B1C1，
（1）画出△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
（2）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用△A1B1C1所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，A1（﹣1，5）、B1（﹣2，3）、C1（﹣4，4）；
（2）△A1B1C1的面积为：2×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×1×2＝2.5．
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
四.解答题（共3小题，每题8分，共24分）
19．（8分）某中学对部分学生就“垃圾分类”知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有多少人？
（2）扇形统计图中，求“了解很少”部分所对应扇形的圆心角，并补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生1500人，请根据上述调查结果估计该中学学生中对“垃圾分类”知识达到“很了解”和“基本了解”程度的总人数．
【分析】（1）从两个统计图中可知“很了解”为18人，占调查人数的30%，可求出调查人数；
（2）用360°乘“了解很少”所占比例可得“了解很少”部分所对应扇形的圆心角度数；用样本容量减去其他三组的人数可得“基本了解”的人数，进而补全条形统计图；
（3）用1500乘“很了解”和“基本了解”所占比例之和即可．
解：（1）18÷30%＝60（人），
答：接受问卷调查的学生共有60人；
（2）“了解很少”部分所对应扇形的圆心为：360°×＝54°；
“基本了解”的人数为：60﹣3﹣9﹣18＝30（人），
补全条形统计图如下：
（3）1500×（30%+）＝1200（人），
答：估计该中学学生中对“垃圾分类”知识达到“很了解”和“基本了解”程度的总人数大约为1200人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，了解和掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
20．（8分）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下：
A型车销售量（辆）
B型车销售量（辆）
总利润（元）
第一周
10
12
2000
第二周
20
15
3100
（1）求a，b的值；
（2）若第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）利用表格中的销售量和总利润列出方程组，解之即可；
（2）设第三周售出A型车x辆，则售出B型车（25﹣x）辆，根据“B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的2倍”列出不等式组，求出x的整数解，设利润为w，则w＝﹣20x+2500，根据一次函数性质可得最大利润．
解：（1）根据题意得：
，
解得，
∴a的值是80，b的值是100；
（2）设第三周售出A型车x辆，则售出B型车（25﹣x）辆，根据题意得：
，
解得≤x＜，
∵x为正整数，
∴x＝9、10、11、12，
设利润为w，则w＝80x+100（25﹣x）＝﹣20x+2500，
∵﹣20＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝9时，利润最大，最大利润为9×80+（25﹣9）×100＝2320（元），
∴该专卖店售出A型车9辆、B型车16辆才能使第三周利润最大，最大利润是2320元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理清题中不等关系列出不等式组．
21．（8分）若点P（x，y）的坐标满足．
（1）当a＝1，b＝2时，求点P的坐标；
（2）若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有四个，求b的取值范围；
（3）若关于z的方程yz+x+4＝0有唯一解z＝2，求关于t的不等式at＞b的解集．
【分析】（1）依据题意，将a＝1，b＝2代入方程组后，解方程组可以得解；
（2）依据题意，将a，b看作已知数求出x，y，结合P在第二象限，可以得解；
（3）由（2）中x＝a﹣4，y＝a﹣b，结合方程yz+x+4＝0有唯一解z＝2，从而得出a，b的关系，最后得解．
解：（1）由题意，将a＝1，b＝2代入方程组得，
．
∴．
∴P（﹣3，﹣1）．
（2）将a，b看作已知数解方程组，
∴．
又点P在第二象限，
∴x＜0，y＞0．
∴a﹣4＜0，a﹣b＞0．
∴b＜a＜4．
∵符合要求的整数a只有四个，
∴﹣1≤b＜0．
（3）由题意，根据（2）中，x＝a﹣4，y＝a﹣b．
又yz+x+4＝0有唯一解z＝2，
∴（a﹣b）z+a＝0中a≠b，a，b不同时为0，此时z＝2．
∴3a＝2b．
∴b＝a．
当at＞b时，
①a＞0，
∴t＞＝．
②a＜0，
∴t＜＝．
综上，关于t的不等式at＞b的解集为t＞或t＜．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式、解二元一次方程组的能力，熟练掌握加减消元的方法和解不等式的基本依据是解题的关键．
五.探究题（共1小题，共10分）
22．如图乙，长方形ABCD在平面直角坐标系中，点A（1，8），B（1，6），C（7，6），点X，Y分别在x轴、y轴的正半轴上．
（1）请写出点D的坐标；
（2）连接OB，OD，OD交BC于点E，如图甲所示，∠BOY的平分线和∠BEO的平分线交于点F，若∠BOE＝n，求∠OFE的度数；（用n表示）
（3）若长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度向下运动，设运动的时间为t秒，问是否存在某一时刻t，使三角形OBD的面积等于长方形ABCD面积的？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由长方形的性质得出AB＝DC，AD＝BC，由题意得出AB＝DC＝2，即可得出D点的坐标；
（2）设∠BEO＝2x，则∠EOX＝2x，作FG∥OX，得出∠FOX＝∠BOY+∠BOE+∠EOX＝∠BOY+n+2x，由角平分线得出∠BOY＝（90°﹣n+2x），得出∠FOX＝45°+n+x，由平行线得出∠EFG＝∠BEF＝x，得出∠OFG＝180°﹣∠FOX＝135°﹣n﹣x，即可得出∠OFE的度数；
（3）矩形ABCD在第一象限时，延长DA交y轴于M，如图1所示，先求出矩形ABCD的面积，△OBD的面积＝△ODM的面积﹣△ABD的面积﹣梯形AMOB的面积，得出方程，解方程即可求出t的值；同理可求矩形ABCD在第四象限时，t的值．
解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AB＝DC，AD＝BC，
∵点A（1，8），B（1，6），C（7，6），
∴AB＝DC＝2，
∴D点的坐标为：（7，8）；
故答案为：（7，8）；
（2）∵∠BOY的平分线和∠BEO的平分线交于点F，
∴∠BOF＝∠FOY＝∠BOY，∠BEF＝∠OEF＝∠BEO，
∵BC∥OX，
∴∠BEO＝∠EOX，
设∠BEO＝2x，则∠EOX＝2x，
过点F作FG∥OX，如图甲所示：
则∠FOX＝∠BOY+∠BOE+∠EOX＝∠BOY+n+2x，
又∵∠BOY＝（90°﹣n﹣2x）＝45°﹣n﹣x，
∴∠FOX＝45°﹣n﹣x+n+2x＝45°+n+x，
∵BC∥FG∥OX，
∴∠EFG＝∠BEF＝x，
∴∠OFG＝180°﹣∠FOX＝135°﹣n﹣x，
∴∠OFE＝∠EFG+∠OFG＝135°﹣n；
（3）存在某一时刻，使△OBD的面积等于长方形ABCD面积的，理由如下：
有两种情况：
①矩形ABCD在第一象限时，延长DA交y轴于M，如图1所示：
∵AD∥x轴，
∴DM⊥y轴，
∵S矩形ABCD＝2×6＝12，
S△OBD＝S△ODM﹣S△ABD﹣S梯形AMOB＝12×，
∴×（8﹣t）×7﹣×2×（7﹣1）﹣（2+8﹣t）×1＝12×，
解得：t＝3．
②当矩形在第四象限时，
有7（t﹣6）﹣×1×（t﹣6）﹣×7×（t﹣8）﹣×2×6＝12×，
解得：t＝；
综上，当t＝3或时，三角形OBD的面积等于长方形ABCD面积的．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、角的平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理、图形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线才能得出结果．
2022-2023学年江西省南昌三中七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，有题3分，共24分）
1．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列不等式中，变形正确的是（ ）
A．若a＞b，则﹣a＜﹣b B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＞b，则a﹣c＜b﹣c D．若a＞b，则a﹣c＜b+c
3．在7个实数﹣，，0，，﹣π，，1.101001000100001中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是（ ）
A．100
B．被抽取的100名学生家长
C．被抽取的100名学生家长的意见
D．全校学生家长的意见
5．如果方程x﹣y＝3与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（ ）
A．2（x﹣y）＝6y B．x+2y＝5 C．x+2y＝9 D．3x﹣4y＝16
6．一次数学活动课上，小聪将一副含30°角的三角板的一条直角边和45°角的三角板的一条直角边重叠，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2023，1） B．（2023，0） C．（2022，0） D．（2023，2）
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
9．的立方根是 ．
10．不等式5x＞4x+2的解是 ．
11．已知方程组，则x﹣y的值是 ．
12．某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了 道题．
13．如图，10个相同的小长方形拼成一个大长方形，设小长方形的长和宽分别为x厘米和y厘米，则每个小长方形的面积为 平方厘米．
14．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G．下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④．其中正确的结论是 ．
三、解答题（共4小题，每题6分，共24分）
15．（6分）（1）解方程组：；
（2）计算：|﹣3|+﹣．
16．（6分）解不等式组，把它们的解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
17．（6分）已知关于x，y的方程组．
（1）求x与y的关系式（用只含x的代数式表示y）；
（2）若该方程的解满足x+y＝﹣10，求式子m的值．
18．（6分）如图，先将△ABC向上平移2个单位再向左平移5个单位得到△A1B1C1，
（1）画出△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
（2）求△A1B1C1的面积．
四.解答题（共3小题，每题8分，共24分）
19．（8分）某中学对部分学生就“垃圾分类”知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有多少人？
（2）扇形统计图中，求“了解很少”部分所对应扇形的圆心角，并补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生1500人，请根据上述调查结果估计该中学学生中对“垃圾分类”知识达到“很了解”和“基本了解”程度的总人数．
20．（8分）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下：
A型车销售量（辆）
B型车销售量（辆）
总利润（元）
第一周
10
12
2000
第二周
20
15
3100
（1）求a，b的值；
（2）若第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？
21．（8分）若点P（x，y）的坐标满足．
（1）当a＝1，b＝2时，求点P的坐标；
（2）若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有四个，求b的取值范围；
（3）若关于z的方程yz+x+4＝0有唯一解z＝2，求关于t的不等式at＞b的解集．
五.探究题（共1小题，共10分）
22．如图乙，长方形ABCD在平面直角坐标系中，点A（1，8），B（1，6），C（7，6），点X，Y分别在x轴、y轴的正半轴上．
（1）请写出点D的坐标；
（2）连接OB，OD，OD交BC于点E，如图甲所示，∠BOY的平分线和∠BEO的平分线交于点F，若∠BOE＝n，求∠OFE的度数；（用n表示）
（3）若长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度向下运动，设运动的时间为t秒，问是否存在某一时刻t，使三角形OBD的面积等于长方形ABCD面积的？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年江西省南昌三中七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，有题3分，共24分）
1．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
解：点A坐标为（2，﹣3），它的横坐标为正，纵坐标为负，故它位于第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．下列不等式中，变形正确的是（ ）
A．若a＞b，则﹣a＜﹣b B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＞b，则a﹣c＜b﹣c D．若a＞b，则a﹣c＜b+c
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
解：A．若a＞b，则﹣a＜﹣b，正确，故本选项符合题意；
B．若a＞b，c＝0，则ac2＝bc2，故本选项不符合题意；
C．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故本选项不符合题意；
D．若a＞b，不妨设a＝5，b＝1，c＝1，则a﹣c＞b+c，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
3．在7个实数﹣，，0，，﹣π，，1.101001000100001中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：是分数，属于有理数；
0，，，是整数，属于有理数；
1.101001000100001是有限小数，属于有理数；
无理数有，﹣π，共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是（ ）
A．100
B．被抽取的100名学生家长
C．被抽取的100名学生家长的意见
D．全校学生家长的意见
【分析】总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考察的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解：某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，
这一问题中样本是：被抽取的100名学生家长的意见．
故选：C．
【点评】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考察对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
5．如果方程x﹣y＝3与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（ ）
A．2（x﹣y）＝6y B．x+2y＝5 C．x+2y＝9 D．3x﹣4y＝16
【分析】把代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可．
解：A选项，把代入方程得：左边＝2×3＝6，右边＝6，所以该选项符合题意；
B选项，把代入方程得：左边＝1+2＝3，右边＝5，所以该选项不符合题意；
C选项，把代入方程得：左边＝4+2＝6，右边＝9，所以该选项不符合题意；
D选项，把代入方程得：左边＝12﹣4＝8，右边＝16，所以该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即：将解代入原方程组，这是解题的关键．
6．一次数学活动课上，小聪将一副含30°角的三角板的一条直角边和45°角的三角板的一条直角边重叠，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
【分析】根据平行线的判定求出AB∥EF，根据平行线的性质求出∠AOF，根据三角形的外角性质求出∠1即可．
解：
如图所示，
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴∠ABC+∠DEF＝180°，
∴AB∥EF，
∴∠AOF＝∠F＝45°，
∵∠A＝30°，
∴∠1＝∠A+∠AOF＝30°+45°＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，能根据定理求出∠AOF的度数是解此题的关键．
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
解：设有x人，y辆车，
依题意得：．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决问题的关键是理解题意找出题中的等量关系．
8．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2023，1） B．（2023，0） C．（2022，0） D．（2023，2）
【分析】根据前几次运动的规律可知第4n次接着运动到点（4n，0），第4n+1次接着运动到点（4n+1，1），第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），根据规律求解即可．
解：由题意可知，第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次从原点运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
第6次接着运动到点（6，0），
……
第4n次接着运动到点（4n，0），
第4n+1次接着运动到点（4n+1，1），
第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），
第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），
∵2023÷4＝505……3，
∴第2023次接着运动到点（2023，2），
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
9．的立方根是 2 ．
【分析】一个数x的立方等于a，那么这个数x即为a的立方根，先求得的值，然后根据立方根的定义即可求得答案．
解：＝8，
∵23＝8，
∴的立方根是2，
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根及立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10．不等式5x＞4x+2的解是 x＞2 ．
【分析】先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．
解：移项得，5x﹣4x＞2，
合并同类项得，x＞2，
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
11．已知方程组，则x﹣y的值是 3 ．
【分析】方程组两个方程相减即可．
解：，
①﹣②得x﹣y＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查解二元一次方程组，两方程相减是解题的关键．
12．某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了 18 道题．
【分析】设小明答对了x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，利用得分＝5×答对题目数﹣1×答错题目数，结合得分不少于85分，可列出关于x的一元一次不等式，解之可求出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
解：设小明答对了x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，
根据题意得：5x﹣（20﹣x）≥85，
解得：x≥，
又∵x为非负整数，
∴x的最小值为18，
∴小明至少答对了18道题．
故答案为：18．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
13．如图，10个相同的小长方形拼成一个大长方形，设小长方形的长和宽分别为x厘米和y厘米，则每个小长方形的面积为 675 平方厘米．
【分析】观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每个小长方形的面积．
解：依题意得：，
解得：，
∴xy＝45×15＝675，
∴每个小长方形的面积为675平方厘米．
故答案为：675．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G．下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④．其中正确的结论是 ①③④ ．
【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故①正确；
②无法证明CA平分∠BCG，故②错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故③正确；
④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠DFB＝45°＝∠CGE，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
三、解答题（共4小题，每题6分，共24分）
15．（6分）（1）解方程组：；
（2）计算：|﹣3|+﹣．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）原式利用绝对值的代数意义，立方根定义计算即可求出值．
解：（1），
①+②得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入②得：y＝1，
则方程组的解为；
（2）原式＝3﹣+4﹣＝7﹣2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（6分）解不等式组，把它们的解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上，确定出整数解即可．
解：不等式组，
由①得：x≥，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集为≤x＜3，
则不等式组的整数解为1，2．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
17．（6分）已知关于x，y的方程组．
（1）求x与y的关系式（用只含x的代数式表示y）；
（2）若该方程的解满足x+y＝﹣10，求式子m的值．
【分析】（1）加减消元法消去m可求x与y的关系式；
（2）把代入x+y＝﹣10，求得方程的解，再把方程的解代入②可求m的值．
解：（1），
①﹣②得x+2y＝2，
整理得；
（2）把代入x+y＝﹣10，得
，
解得x＝﹣22，
把x＝﹣22代入，得，
把x＝﹣22，y＝12代入②得：2×（﹣22）+3×12＝m，
解得：m＝﹣8．
故m的值是﹣8．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是能观察出方程组未知数系数的关系，此题难度不大．
18．（6分）如图，先将△ABC向上平移2个单位再向左平移5个单位得到△A1B1C1，
（1）画出△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
（2）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用△A1B1C1所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，A1（﹣1，5）、B1（﹣2，3）、C1（﹣4，4）；
（2）△A1B1C1的面积为：2×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×1×2＝2.5．
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
四.解答题（共3小题，每题8分，共24分）
19．（8分）某中学对部分学生就“垃圾分类”知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有多少人？
（2）扇形统计图中，求“了解很少”部分所对应扇形的圆心角，并补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生1500人，请根据上述调查结果估计该中学学生中对“垃圾分类”知识达到“很了解”和“基本了解”程度的总人数．
【分析】（1）从两个统计图中可知“很了解”为18人，占调查人数的30%，可求出调查人数；
（2）用360°乘“了解很少”所占比例可得“了解很少”部分所对应扇形的圆心角度数；用样本容量减去其他三组的人数可得“基本了解”的人数，进而补全条形统计图；
（3）用1500乘“很了解”和“基本了解”所占比例之和即可．
解：（1）18÷30%＝60（人），
答：接受问卷调查的学生共有60人；
（2）“了解很少”部分所对应扇形的圆心为：360°×＝54°；
“基本了解”的人数为：60﹣3﹣9﹣18＝30（人），
补全条形统计图如下：
（3）1500×（30%+）＝1200（人），
答：估计该中学学生中对“垃圾分类”知识达到“很了解”和“基本了解”程度的总人数大约为1200人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，了解和掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
20．（8分）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下：
A型车销售量（辆）
B型车销售量（辆）
总利润（元）
第一周
10
12
2000
第二周
20
15
3100
（1）求a，b的值；
（2）若第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）利用表格中的销售量和总利润列出方程组，解之即可；
（2）设第三周售出A型车x辆，则售出B型车（25﹣x）辆，根据“B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的2倍”列出不等式组，求出x的整数解，设利润为w，则w＝﹣20x+2500，根据一次函数性质可得最大利润．
解：（1）根据题意得：
，
解得，
∴a的值是80，b的值是100；
（2）设第三周售出A型车x辆，则售出B型车（25﹣x）辆，根据题意得：
，
解得≤x＜，
∵x为正整数，
∴x＝9、10、11、12，
设利润为w，则w＝80x+100（25﹣x）＝﹣20x+2500，
∵﹣20＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝9时，利润最大，最大利润为9×80+（25﹣9）×100＝2320（元），
∴该专卖店售出A型车9辆、B型车16辆才能使第三周利润最大，最大利润是2320元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理清题中不等关系列出不等式组．
21．（8分）若点P（x，y）的坐标满足．
（1）当a＝1，b＝2时，求点P的坐标；
（2）若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有四个，求b的取值范围；
（3）若关于z的方程yz+x+4＝0有唯一解z＝2，求关于t的不等式at＞b的解集．
【分析】（1）依据题意，将a＝1，b＝2代入方程组后，解方程组可以得解；
（2）依据题意，将a，b看作已知数求出x，y，结合P在第二象限，可以得解；
（3）由（2）中x＝a﹣4，y＝a﹣b，结合方程yz+x+4＝0有唯一解z＝2，从而得出a，b的关系，最后得解．
解：（1）由题意，将a＝1，b＝2代入方程组得，
．
∴．
∴P（﹣3，﹣1）．
（2）将a，b看作已知数解方程组，
∴．
又点P在第二象限，
∴x＜0，y＞0．
∴a﹣4＜0，a﹣b＞0．
∴b＜a＜4．
∵符合要求的整数a只有四个，
∴﹣1≤b＜0．
（3）由题意，根据（2）中，x＝a﹣4，y＝a﹣b．
又yz+x+4＝0有唯一解z＝2，
∴（a﹣b）z+a＝0中a≠b，a，b不同时为0，此时z＝2．
∴3a＝2b．
∴b＝a．
当at＞b时，
①a＞0，
∴t＞＝．
②a＜0，
∴t＜＝．
综上，关于t的不等式at＞b的解集为t＞或t＜．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式、解二元一次方程组的能力，熟练掌握加减消元的方法和解不等式的基本依据是解题的关键．
五.探究题（共1小题，共10分）
22．如图乙，长方形ABCD在平面直角坐标系中，点A（1，8），B（1，6），C（7，6），点X，Y分别在x轴、y轴的正半轴上．
（1）请写出点D的坐标；
（2）连接OB，OD，OD交BC于点E，如图甲所示，∠BOY的平分线和∠BEO的平分线交于点F，若∠BOE＝n，求∠OFE的度数；（用n表示）
（3）若长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度向下运动，设运动的时间为t秒，问是否存在某一时刻t，使三角形OBD的面积等于长方形ABCD面积的？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由长方形的性质得出AB＝DC，AD＝BC，由题意得出AB＝DC＝2，即可得出D点的坐标；
（2）设∠BEO＝2x，则∠EOX＝2x，作FG∥OX，得出∠FOX＝∠BOY+∠BOE+∠EOX＝∠BOY+n+2x，由角平分线得出∠BOY＝（90°﹣n+2x），得出∠FOX＝45°+n+x，由平行线得出∠EFG＝∠BEF＝x，得出∠OFG＝180°﹣∠FOX＝135°﹣n﹣x，即可得出∠OFE的度数；
（3）矩形ABCD在第一象限时，延长DA交y轴于M，如图1所示，先求出矩形ABCD的面积，△OBD的面积＝△ODM的面积﹣△ABD的面积﹣梯形AMOB的面积，得出方程，解方程即可求出t的值；同理可求矩形ABCD在第四象限时，t的值．
解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AB＝DC，AD＝BC，
∵点A（1，8），B（1，6），C（7，6），
∴AB＝DC＝2，
∴D点的坐标为：（7，8）；
故答案为：（7，8）；
（2）∵∠BOY的平分线和∠BEO的平分线交于点F，
∴∠BOF＝∠FOY＝∠BOY，∠BEF＝∠OEF＝∠BEO，
∵BC∥OX，
∴∠BEO＝∠EOX，
设∠BEO＝2x，则∠EOX＝2x，
过点F作FG∥OX，如图甲所示：
则∠FOX＝∠BOY+∠BOE+∠EOX＝∠BOY+n+2x，
又∵∠BOY＝（90°﹣n﹣2x）＝45°﹣n﹣x，
∴∠FOX＝45°﹣n﹣x+n+2x＝45°+n+x，
∵BC∥FG∥OX，
∴∠EFG＝∠BEF＝x，
∴∠OFG＝180°﹣∠FOX＝135°﹣n﹣x，
∴∠OFE＝∠EFG+∠OFG＝135°﹣n；
（3）存在某一时刻，使△OBD的面积等于长方形ABCD面积的，理由如下：
有两种情况：
①矩形ABCD在第一象限时，延长DA交y轴于M，如图1所示：
∵AD∥x轴，
∴DM⊥y轴，
∵S矩形ABCD＝2×6＝12，
S△OBD＝S△ODM﹣S△ABD﹣S梯形AMOB＝12×，
∴×（8﹣t）×7﹣×2×（7﹣1）﹣（2+8﹣t）×1＝12×，
解得：t＝3．
②当矩形在第四象限时，
有7（t﹣6）﹣×1×（t﹣6）﹣×7×（t﹣8）﹣×2×6＝12×，
解得：t＝；
综上，当t＝3或时，三角形OBD的面积等于长方形ABCD面积的．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、角的平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理、图形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线才能得出结果．
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