2019-2020学年江西省南昌市东湖区南昌第二十八中学九上期中数学试卷

这是一份2019-2020学年江西省南昌市东湖区南昌第二十八中学九上期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 把一元二次方程 xx+1=3x+2 化为一般形式，正确的是
A. x2+4x+3=0B. x2−2x+2=0C. x2−3x−1=0D. x2−2x−2=0

2. 抛物线 y=−x+32−7 的对称轴是
A. y 轴B. 直线 x=3C. 直线 x=−3D. 直线 x=−7

3. 把抛物线 y=−2x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到抛物线的解析式为
A. y=−2x−22−3B. y=−2x+22−3
C. y=2x−22−3D. y=2x+22−3

4. 如图是二次函数 y=−x2+2x+4 的图象，使 y≥1 成立的 x 的取值范围是
A. −1≤x≤3B. x≤−1
C. x≥1D. x≤−1 或 x≥3

5. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，有下列结论：
① b2−4ac>0；
② abc>0；
③ a+c>0；
④ 9a+3b+c<0．
其中，正确的结论有
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

6. 如图，Rt△OAB 的顶点 A−2,4 在抛物线 y=ax2 上，将 Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90∘，得到 △OCD，边 CD 与该抛物线交于点 P，则点 P 的坐标为
A. 2,2B. 2,2C. 2,2D. 2,2

二、填空题（共6小题；共30分）
7. 已知 x=−1 是一元二次方程 x2−2mx+1=0 的一个解，则 m 的值是 ．

8. 若点 2,−5，6,−5 在抛物线 y=ax2+bx+c 上，则它的对称轴是 ．

9. 若点 a,1 与 −2,b 关于原点对称，则 ab= ．

10. 烟花厂为咸宁温泉旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高 hm 与飞行时间 ts 的关系式是 h=−52t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为 ．

11. 如图，等腰 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘．AC=BC=1，且 AC 边在直线 a 上，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转到位置①可得到点 P1，此时 AP1=2；将位置①的三角形绕点 P1 顺时针旋转到位置②，可得到点 P2，此时 AP2=1+2；将位置②的三角形绕点 P2 顺时针旋转到位置③，可得到点 P3，此时 AP3= ，⋯，按此规律继续旋转，直至得到点 P2019 为止，则 AP2019= ．

12. 若抛物线 y=x2−bx+9 的顶点在坐标轴上，则 b 的值为 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
13. x2+4x−2=0．

14. 4x2−3=12x（用公式法解）．

15. 解方程：2x−3=3xx−3．

16. 解方程：x2−3x+2=0．

17. 关于 x 的一元二次方程 x2+2m−1x+m2=0 有实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）若两根为 x1，x2 且 x12+x22=7，求 m 的值．

18. 已知二次函数 y=ax−12+4 的图象经过点 −1,0．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．

19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆 128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过 500 人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．

20. 如图，E 是正方形 ABCD 中 CD 边上任意一点．
（1）以点 A 为中心，把 △ADE 顺时针旋转 90∘，画出旋转后的图形；
（2）在 BC 边上画一点 F，使 △CFE 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半，请简要说明你取该点的理由．

21. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 16 m，宽为 6 m，抛物线的最高点 C 离地面 AA1 的距离为 8 m．
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．
（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为 7 m，宽为 4 m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆贷车能否安全通过?

22. 如图，△ABC 中，∠C=90∘，BC=6 cm，AC=8 cm，点 P 从点 A 开始沿 AC 向点 C 以 2 厘米/秒的速度运动；与此同时，点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度运动；如果 P，Q 分别从 A，C 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）经过几秒，△CPQ 的面积等于 3 cm2?
（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 PQ 恰好平分 △ABC 的面积?若存在，求出运动时间 t；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在某一时刻，PQ 长为 29，如果存在，求出运动时间 t．

23. 某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为 30 元，每件甲种商品的利润是 4 元，每件乙种商品的售价比其进价的 2 倍少 11 元，小明在该商店购买 8 件甲种商品和 6 件乙种商品一共用了 262 元．
（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元?
（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品 400 件和乙种商品 300 件，如果将甲种商品的售价每提高 0.1 元，则每天将少售出 7 件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高 0.1 元，则每天将少售出 8 件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高 a 元，在不考虑其他因素的条件下，当 a 为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共 2500 元?

24. 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90∘，AB=AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AD=AE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点．
（1）【观察猜想】
图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）【探究证明】
把 △ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判断 △PMN 的形状，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
把 △ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请直接写出 △PMN 面积的最大值．

25. 如图 1，已知抛物线 y=ax2+bx+3（a≠0）与 x 轴交于点 A1,0 和点 B−3,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点 P，使 △CMP 为等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图 2，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE，CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标．
答案
第一部分
1. D【解析】xx+1=3x+2，
x2+x−3x−2=0，
x2−2x−2=0．
2. C【解析】∵y=−x+32−7，
∴ 对称轴是直线 x=−3．
3. B【解析】将抛物线 y=−x2 向左平移 2 个单位所得直线解析式为：y=−2x+22；
再向下平移 3 个单位为：y=−2x+22−3．
4. A【解析】由图象可知，−1≤x≤3 时，y≥1．
5. B
【解析】∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴ ①正确；
∵ 抛物线开口向上，
∴a>0，
又 ∵ 抛物线对称轴为直线 x=−b2a=1，
∴b=−2a，b<0，
∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，
∴c<0，
∴abc>0，
∴ ②正确；
∵x=−1 时，y<0，即 a−b+c<0，
∴a+c ∴ ③错误；
∵ 抛物线对称轴为直线 x=1，而抛物线与 x 轴的一个交点在 −2,0 和 −1,0 在之间，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点在 3,0 和 4,0 之间，
∴ 当 x=3 时，y<0，即 9a+3b+c<0，
∴ ④正确．
6. C
第二部分
7. −1
【解析】把 x=−1 代入方程 x2−2mx+1=0 可得 1+2m+1=0，解得 m=−1．
8. 直线 x=4
【解析】∵ 点 2,−5，6,−5 的纵坐标都是 −5，
∴ 该抛物线的对称轴为直线 x=2+62=4．
9. 12
【解析】∵ 点 a,1 与 −2,b 关于原点对称，
∴b=−1，a=2，
∴ab=2−1=12．
10. 4 s
【解析】∵h=−52t2+20t+1，
∴h=−52t−42+41，
∴t=4 时，h最大=41．
11. 2+2，1346+6732
【解析】AP1=2，AP2=1+2，AP3=2+2；
AP4=2+22，AP5=3+22，AP6=4+22；
AP7=4+32，AP8=5+32，AP9=6+32．
∵2018=3×672+2，
∴AP2015=1342+6722+1=1343+6722，
∴AP2016=1343+6722+1=1344+6722，
∴AP2017=1344+6722+1=1345+6722，
∴AP2018=1345+6722+2=1345+6732，
∴AP2019=1345+6722+1=1346+6732．
12. b=0 或 b=±6
【解析】∵y=x2−bx+9=x−b22+9−b24，
∴ 抛物线顶点坐标为 b2,9−b24，
∵ 抛物线顶点在坐标轴上，
∴b2=0 或 9−b24=0，解得 b=0 或 b=±6，
故答案为 b=0 或 b=±6．
第三部分
13.
∵x2+4x−2=0.∴x2+4x+4=6.∴x+22=6.∴x=−2±6.
14. 原方程整理为：
4x2−12x−3=0.∵a=4,b=−12,c=−3.∴Δ=144−4×4×−3=192>0.
则
x=12±1928=3±232.
15.
2x−3=3xx−3.
移项得：
2x−3−3xx−3=0.
整理得：
x−32−3x=0.x−3=0 或 2−3x=0.
解得：
x1=3 或 x2=23.
16. 因为
x2−3x+2=0.
所以
x−1x−2=0.
所以
x−1=0或x−2=0.
所以
x1=1,x2=2.
17. （1） ∵ 关于 x 的一元二次方程 x2+2m−1x+m2=0 有实数根，
∴Δ=2m−12−4×1×m2=−4m+1≥0，
解得：m≤14．
（2） ∵x1，x2 是一元二次方程 x2+2m−1x+m2=0 的两个实数根，
∴x1+x2=1−2m，x1x2=m2，
∴x12+x22=x1+x22−2x1x2=7，
即 1−2m2−2m2=7，
整理得：m2−2m−3=0，
解得：m1=−1，m2=3．
又 ∵m≤14，
∴m=−1．
18. （1） 把 −1,0 代入二次函数解析式得：4a+4=0，即 a=−1，
则函数解析式为 y=−x−12+4．
（2） ∵a=−1<0，
∴ 抛物线开口向下，
顶点坐标为 1,4，对称轴为直线 x=1．
19. （1） 设进馆人次的月平均增长率为 x，则由题意得：
128+1281+x+1281+x2=608.
化简得：
4x2+12x−7=0.∴2x−12x+7=0.∴x=0.5=50%或x=−3.5舍.
答：进馆人次的月平均增长率为 50%．
（2） ∵ 进馆人次的月平均增长率为 50%，
∴ 第四个月的进馆人次为 1281+50%3=128×278=432<500．
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
20. （1） 如图所示：△ABEʹ 即为所求．
（2） 作 ∠EAEʹ 的平分线交 BC 于点 F，
则 △CFE 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半，
在 △AEF 和 △AEʹF 中，
∵AE=AEʹ,∠EAF=∠EʹAF,AF=AF,
∴△AEF≌△AEʹFSAS，
∴EF=EʹF=BF+DE，
∴EF+EC+FC=BC+CD．
21. （1） 根据题意得 A−8,0，B−8,6，C0,8，
设抛物线的解析式为 y=ax2+8a≠0，
把 B−8,6 代入 64a+8=6，
解得：a=−132．
抛物线的解析式为 y=−132x2+8．
（2） 根据题意，把 x=4 代入解析式，得 y=7.5 m．
∵7.5 m>7 m，
∴ 货运卡车能通过．
22. （1） 设经过 x 秒，△CPQ 的面积等于 3 cm2，
由题意得 12x8−2x=3．
化简得 x2−4x+3=0．
解得 x1=1，x2=3．
答：经过 1 秒或 3 秒，△CPQ 的面积等于 3 cm2?
（2） 设存在某一时刻 t，使 PQ 恰好平分 △ABC 的面积，
则 12t8−2t=12×12×6×8．
化简得 t2−4t+12=0，b2−4ac=16−48=−32<0，
故方程无实数根，即不存在满足条件的 t．
（3） 由题意得 8−2t2+t2=292．
整理得 5t2−32t+35=0．
解得 t1=5（不合题意，舍去），t2=1.4．
答：运动时间为 1.4 秒时，PQ 长为 29．
23. （1） 设甲种商品的进价是 x 元，乙种商品的进价是 y 元，依题意有
x+y=30,8x+4+62y−11=262.
解得
x=16,y=14.
故甲种商品的进价是 16 元，乙种商品的进价是 14 元．
（2） 依题意有：
400−10a×74+a+300−10a×814×2−11−14+a=2500.
整理，得
150a2−180a=0.
解得
a1=65,a2=0舍去.
故当 a 为 65 时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共 2500 元．
24. （1） PM=PN；PM⊥PN
【解析】∵ 点 P，N 是 BC，CD 的中点，
∴PN∥BD，PN=12BD，
∵ 点 P，M 是 CD，DE 的中点，
∴PM∥CE，PM=12CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90∘，
∴∠ADC+∠ACD=90∘，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90∘，
∴PM⊥PN．
（2） 由旋转知，∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACESAS，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
同（1）的方法，利用三角形的中位线得 PN=12BD，PM=12CE，
∴PM=PN，
∴△PMN 是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,
∵∠BAC=90∘，
∴∠ACB+∠ABC=90∘，
∴∠MPN=90∘，
∴△PMN 是等腰直角三角形，
（3） 492．
【解析】方法 1：
如图 2，同（2）的方法得，△PMN 是等腰直角三角形，
∴MN 最大时，△PMN 的面积最大，
∴DE∥BC 且 DE 在顶点 A 上面，
∴MN最大=AM+AN，
连接 AM，AN．
在 △ADE 中，AD=AE=4，∠DAE=90∘，
∴AM=22，
在 Rt△ABC 中，AB=AC=10，AN=52，
∴MN最大=22+52=72，
∴S△PMN最大=12PM2=12×12MN2=14×722=492．
方法 2：
由（2）知，△PMN 是等腰直角三角形，PM=PN=12BD，
∴PM 最大时，△PMN 面积最大，
∴ 点 D 在 BA 的延长线上，
∴BD=AB+AD=14，
∴PM=7，
∴S△PMN最大=12PM2=12×72=492．
25. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+3（a≠0）与 x 轴交于点 A1,0 和点 B−3,0，
∴a+b+3=0,9a−3b+3=0.
解得：a=−1,b=−2.
∴ 所求抛物线解析式为：y=−x2−2x+3．
（2） ∵ 抛物线解析式为：y=−x2−2x+3，
∴ 其对称轴为 x=−22=−1，
∴ 设 P 点坐标为 −1,a，
当 x=0 时，y=3，
∴C0,3，M−1,0．
∴ 当 CP=PM 时，−12+3−a2=a2，
解得 a=53，
∴P 点坐标为：P1−1,53；
∴ 当 CM=PM 时，−12+32=a2，
解得 a=±10，
∴P 点坐标为：P2−1,10 或 P3−1,−10；
∴ 当 CM=CP 时，由勾股定理得：−12+32=−12+3−a2，
解得 a=6，
∴P 点坐标为：P4−1,6．
综上所述存在符合条件的点 P，其坐标为 P−1,10 或 P−1,−10 或 P−1,6 或 P−1,53．
（3） 过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F，
设 Ea,−a2−2a+3（−3 ∴EF=−a2−2a+3，BF=a+3，OF=−a，
∴S四边形BOCE=12BF⋅EF+12OC+EF⋅OF=12a+3⋅−a2−2a+3+12−a2−2a+6⋅−a=−32a2−92a+92=−32a+322+638.
∴ 当 a=−32，S四边形BOCE 最大，且最大值为 638．
此时，点 E 坐标为 −32,154．