2023新教材高中数学第5章三角函数微专题5三角函数中的最值问题教师用书新人教A版必修第一册

微专题5　三角函数中的最值问题

三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，在日常考题中经常出现，其形式或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决．题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型．掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决．

类型1　y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最

值问题

【例1】　(1)函数y＝5sin x－12cos x在x＝θ处取得最值，则tan θ＝(　　)

A．　　　B．±　　　C．－　　　D． ±

(2) 已知函数f (x)＝2sin2－cos 2x，则f (x)在x∈的最小值是________，若不等式f (x)－m<2在x∈上恒成立，则实数m的取值范围是________．

(1)C　(2)2　(1，＋∞)　[(1)y＝5sin x－12cos x＝13＝13sin(x－φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，依题意可得13sin(θ－φ)＝±13，即sin(θ－φ)＝±1，所以θ－φ＝＋kπ，k∈Z，θ＝φ＋＋kπ，k∈Z，所以tan θ＝tan＝tan＝＝＝－．故选C．

(2)∵f (x)＝2sin2－cos 2x

＝1－cos－cos 2x

＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1．

又∵x∈，∴≤2x－≤，

即2≤1＋2sin≤3，

∴f (x)max＝3，f (x)min＝2．

∵f (x)－m<2⇔f (x)－2<m，

∵x∈，且f (x)max＝3，

∴m>f (x)max－2＝1，

∴m>1，即m的取值范围是(1，＋∞)．]

类型2　可化为y＝f (sin x)型的值域问题

【例2】　已知函数f (x)＝sin ωx－cos ωx的最小正周期为π，g(x)＝2sin2－4λf (x)－1．

(1)求函数f (x)的解析式；

(2)若x∈时，函数g(x)的最小值为－，求实数λ的值．

[解]　(1)f (x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，

因为f (x)最小正周期为π，即＝π，解得ω＝2，

所以f (x)＝sin．

(2)由题知g(x)＝2sin2－4λsin－1＝22－1－2λ2，

因为x∈，

所以0≤2x－≤，0≤sin≤1．

①当λ<0时，当且仅当sin＝0时，g(x)取得最小值为－1，与已知不符；

②当0≤λ≤1时，当且仅当sin＝λ时，g(x)取得最小值为－1－2λ2，由－1－2λ2＝－，解得λ＝－(舍)，λ＝；

③当λ>1时，当且仅当sin＝1时，g(x)取得最小值为1－4λ，由1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1矛盾．

综上所述，λ＝．

类型3　含sin x±cos x，sin xcos x的最值问题

【例3】　求函数y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域．

[解]　令t＝sin x＋cos x，则有

t2＝1＋2sin xcos x，即sin xcos x＝．

∴y＝f (t)＝t＋＝(t＋1)2－1．

又t＝sin x＋cos x＝sin，

∴－≤t≤．

故y＝f (t)＝(t＋1)2－1(－≤t≤)．

从而知f (－1)≤y≤f ()，即－1≤y≤＋．

故函数的值域为．

类型4　实际问题中的最值

【例4】　如图，OAB是一块半径为1，圆心角为的扇形空地．现决定在此空地上修建一个矩形的花坛CDEF ，其中动点C在扇形的弧上，记∠COA＝θ，求矩形CDEF 的面积最大值．

[解]∵OF＝cosθ，CF＝sinθ，

∴OE＝＝＝，

EF＝OF－OE＝cosθ－，

∴S＝EF·CF＝sinθ

＝sinθ·cosθ－sin2θ

＝sin2θ＋cos2θ－

＝－

＝sin－，

∵θ∈，∴2θ＋∈，

∴当2θ＋＝，即θ＝时，矩形CDEF的面积S取得最大值．

类型5　已知最值求参数范围

【例5】　(1)已知函数f (x)＝2sin ωxcos2－sin2ωx在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(　　)

A．　　 B．

C． D．

(2)已知函数f (x)＝3sin(ωx＋φ)(其中ω>0，－π<φ<π)，若函数f (x)在区间上有最小值而无最大值，且满足f ＝－f ，则实数φ的取值范围是__________．

(1)B　(2)

[(1)f (x)＝2sin ωxcos2－sin2ωx

＝sin ωx－sin2ωx

＝sin ωx＋sin2ωx－sin2ωx＝sin ωx．

因为f (x)在区间上是增函数，

所以 解得ω≤，

令ωx＝＋2kπ，k∈Z，

因为在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，

所以0≤≤π，所以ω≥，

所以ω的取值范围是≤ω≤．故选B．

(2)x∈时，函数f (x)在区间上有最小值而无最大值，

且满足f ＝－f ，

故＝－＝，

此时ω＝＝2，

解得(2x＋φ)∈，

函数f (x)在区间上有最小值而无最大值，且－π<φ<π，

由三角函数图象可知x1＝－＋φ与x2＝＋φ应分别位于相邻的单调递减区间与单调递增区间，

故则－≤φ≤．]