2023新教材高中数学第5章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第4课时二倍角的正弦余弦正切公式教师用书新人教A版必修第一册

第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式1．能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点)2．能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．(难点)3．熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．(易错点)1．通过公式的推导，培养逻辑推理素养．2．借助运算求值，提升数学运算素养． 在S(α＋β)、C(α＋β)及T(α＋β)中，令β＝α，则上述公式会有什么变化？对于cos 2α的等式能否可以变成只含有sin α或cos α的式子？知识点　倍角公式(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin 2α＝2sin αcos αC2αcos 2α＝cos2α－sin2αT2αtan 2α＝(2)余弦的二倍角公式的变形cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1．倍角公式中的“倍角”只指α与2α吗？[提示]　不是．“倍角”是相对而言的．如4α是2α的二倍．“α＋β”是“”的二倍等等．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角． (　　)(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立． (　　)(3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×2．若sin α＝，cos α＝，则sin 2α＝________，cos 2α＝________，tan 2α＝________．　　　　[∵sin α＝，cos α＝，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝．tan 2α＝＝＝．] 类型1　给角求值问题【例1】　求下列各式的值：(1)cos415°－sin415°＝________；(2)1－2sin275°＝________；(3)＝________；(4)－＝________；(5)cos cos cos ＝________．(1)　(2)－　(3)－2　(4)4　(5)－  [(1)cos415°－sin415°＝(cos215°－sin215°)·(cos215°＋sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝．(2)1－2sin275°＝cos 150°＝－cos 30°＝－．(3)＝2×＝2×＝－2．(4)－＝＝＝＝＝4．(5)∵cos＝－cos，cos＝－cos，∴coscoscos＝coscoscos＝＝＝＝＝－．]给角求值的两类问题及解题策略(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角的正弦公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．[跟进训练]1．求下列各式的值(1) cos 36°cos 72°；(2)＋．[解]　(1)cos 36°cos 72°＝＝＝＝＝＝．(2)原式＝＝＝＝＝4． 类型2　给值求值问题【例2】　已知sin＝，0<x<，求的值．角“－x”与角“＋x”是什么关系？如何借助诱导公式实现“2x”与“±x”之间的三角转换？[解]　原式＝＝＝2sin．∵sin＝cos＝，且0<x<，∴＋x∈，∴sin＝＝，∴原式＝2×＝．解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．(2)当遇到“±x”这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2x＝sin＝2sincos．类似的变换还有：cos 2x＝sin＝2sincos，sin 2x＝cos＝2cos2－1，sin 2x＝－cos＝1－2cos2等．[跟进训练]2．(1)已知sin＝，则sin 2α的值为(　　)A．－　　B．　　C．－　　D．(2)已知sin＝，那么cos等于(　　)A．－　　B．－　　C．　　D．(1)C　(2)A　[(1)sin 2α＝－cos＝2sin2－1＝2×－1＝－．故选C．(2)cos＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝2×－1＝－．故选A．] 类型3　化简与证明【例3】　(1)化简：＋＝________．(2)证明：＝－4．(1)－tan 2θ　[原式＝＝＝－＝－tan 2θ．](2)[证明]　左边＝＝＝＝＝－4＝右边，所以原等式成立．1．证明三角恒等式的原则观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次幂降幂，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．2．证明恒等式的一般步骤(1)先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；(2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．[跟进训练]3．求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B；(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ．[证明]　(1)左边＝－＝＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右边，∴等式成立．(2)法一：左边＝cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边．∴等式成立．法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边．∴等式成立．1．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为(　　)A．2　　　B．－2　　　C．　　　D．－D　[因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝＝＝－．故选D．]2．若sin ＝，则cos α等于(　　)A．－ B．－C． D．C　[cos α＝1－2sin2＝1－2×＝．故选C．]3．下列各式中，值为的是(　　)A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°C．2sin215° D．sin215°＋cos215°B　[cos215°－sin215°＝cos 30°＝．故选B．]4．已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________．　　[因为sin ＋cos ＝，所以＝，即1＋2sin cos ＝，所以sin θ＝，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝．]5．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．　[∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α．由α∈知sin α≠0，∴cos α＝－，∴α＝，∴tan 2α＝tan＝tan＝．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．本节学习了哪些二倍角公式？[提示]　sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝．2．二倍角公式的常见变形有哪些？[提示]　(1)sin αcos α＝sin 2α；(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；(3)cos2α＝，sin2α＝等．