2023新教材高中数学第5章三角函数5.6函数y＝Asinωx φ第2课时函数y＝Asinωx φ图象及性质的应用教师用书新人教A版必修第一册

第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)图象及性质的应用

类型1　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

【例1】　已知函数y＝sin，x∈R．

(1)用“五点法”作出它在一个周期内的简图；

(2)该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

[解]　(1)列表：

描点、连线，如图所示．

(2)函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin的图象．

1． “五点法”作图的实质

利用“五点法”作函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．

2．用“五点法”作函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤

第一步：列表．

第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点．

第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．

[跟进训练]

1．已知函数f (x)＝cos，在给定坐标系中作出函数f (x)在[0，π]上的图象．

[解]　f (x)＝cos，列表如下．

图象如图．

类型2　求三角函数的解析式

【例2】　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．

借助函数图象你能发现哪些信息？参数A、ω、φ的求解分别与哪些信息相关？

[解]　法一：(逐一定参法)

由图象知A＝3， T＝－＝π，

∴ω＝＝2，

∴y＝3sin(2x＋φ)．

∵点在函数图象上，

∴－×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z，

又|φ|<，∴φ＝，

∴y＝3sin．

法二：(五点对应法)

由图象知A＝3．

∵图象过点和，

∴解得

∴y＝3sin．

法三：(图象变换法)

由A＝3，T＝π，点在图象上，

可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，

∴y＝3sin，即y＝3sin．

给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法

(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z．

(2) 五点对应法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ．这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．

(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．

[跟进训练]

2．(1)已知函数f (x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，则函数f (x)的解析式为(　　)

A．y＝2cos＋4 B．y＝2cos＋4

C．y＝4cos＋2 D．y＝4cos＋2

(2)已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f (x)的解析式．

(1)A　　[由函数f (x)的最大值和最小值得

A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，

函数f (x)的周期为×4＝4π，又ω＞0，

所以ω＝，又因为点在函数f (x)的图象上．

所以6＝2cos＋4，

所以cos＝1，

所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，

又|φ|＜，所以φ＝－，

所以f (x)＝2cos＋4．故选A．]

(2)[解]　由最低点M，得A＝2．

在x轴上两相邻交点之间的距离为，故＝，

即T＝π，ω＝＝＝2．

由点M在图象上得

2sin＝－2，即sin＝－1，

故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，

∴φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，

∴φ＝．故f (x)＝2sin．

类型3　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用

【例3】　已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M 对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．

[解]　∵f (x)在R上是偶函数，

∴当x＝0时，f (x)取得最大值或最小值，

即sin φ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z．

又0≤φ<π，∴φ＝．

由f (x)的图象关于点M 对称，

可知sin＝0，解得ω＝k－，k∈Z．

又f (x)在上是单调函数，

∴T≥π，即≥π，∴0<ω≤2，

∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2．

综上，φ＝，ω＝或2．

研究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的基本策略

(1)首先将所给函数的解析式转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式．

(2)熟记正弦函数y＝sin x的图象与基本性质．

(3)充分利用整体代换思想解决问题．

(4)熟记有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性、单调性的重要结论．

[跟进训练]

3．(多选)已知函数f (x)＝sin，以下命题中为真命题的是(　　)

A．函数f (x)的图象关于直线x＝对称

B．x＝－是函数f (x)的一个零点

C．函数f (x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到

D．函数f (x)在上是增函数

ABD　[令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝

，即函数f (x)的图象关于直线x＝对称，选项A正确；令2x＋＝kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，即x＝－是函数f (x)的一个零点，选项B正确；2x＋＝2，故函数f (x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，选项C错误；若x∈，则2x＋∈，故f (x)在上是增函数，选项D正确．故选ABD．]

1．已知函数f (x)＝Asin(A＞0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A等于(　　)

A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．8

B　[函数f (x)＝Asin(A>0)的周期T＝＝＝6．

∵函数f (x)＝Asin(A>0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，

∴＝，∴A＝2，故选B．]

2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<，则(　　)

A．A＝4　　B．ω＝1　　C．φ＝　　D．B＝4

C　[由图象可知，A＝2，B＝2，T＝－＝，T＝π，ω＝2．因为2×＋φ＝＋2kπ，且|φ|＜，所以φ＝，故选C．]

3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上单调递增”的一个函数是(　　)

A．y＝sin B．y＝cos

C．y＝sin D．y＝cos

C　[由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A．由(2)(3)知x＝时，f (x)取最大值，验证知只有C符合要求．]

4．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的简图时，列表如下：

则根据表格可得出A＝__________，ω＝__________，φ＝__________．

2　3　－　[由表格得A＝2，T＝π－＝，

∴ω＝3，∴ωx＋φ＝3x＋φ．

∵当x＝时，3x＋φ＝＋φ＝0，∴φ＝－．]

5．已知函数f (x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x＝，则φ的值为__________．

－π　[由题意知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，

所以φ＝＋kπ，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－π．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式中的“φ”的方法有哪些？

[提示]　逐一定参法；五点对应法；图象变换法．

2．在研究函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)性质时，常采用什么方法？

[提示]　采用“换元”法整体代换，将(ωx＋φ)看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，借助y＝Asin z的性质求解．