2023新教材高中数学第5章三角函数5.3诱导公式第2课时公式五和公式六教师用书新人教A版必修第一册

第2课时　公式五和公式六

知识点　诱导公式五、六

如何由公式四及公式五推导公式六？

[提示]　sin＝sin＝sin＝cos α．

cos＝cos＝－cos＝－sin α．

诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角． (　　)

(2)sin(90°＋α)＝－cos α． (　　)

(3)cos＝－sin α． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．(1)已知sin α＝，则cos＝________；

(2)若α∈，sin＝，则cos α＝________．

(1)　(2)　[(1)∵sin α＝，∴cos＝sin α＝．

(2)∵α∈，sin＝cos α＝，

∴cos α＝．]

类型1　利用诱导公式化简求值

【例1】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)

A．　　　　　 B．

C．－ D．－

(2)(对接教材P193例题)已知cos(60°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为(　　)

A．－　　　B．　　　C．－　　　D．

从角入手，你能发现待求角与已知角之间的内在联系吗？如何借助这种关系选择诱导公式进行化简求值？

(1)B　(2)A　[(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)

＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)

＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°

＝＝．故选B．

(2)由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°．又cos(60°＋α)＝>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，

所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，

所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－＝－＝－．故选A．]

利用互余(互补)关系求值的步骤

(1)定关系．确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．常见的互补关系有：＋α与－α；＋α与－α等．

(2)定公式．依据确定的关系，选择要使用的诱导公式．

(3)得结论．根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果．

[跟进训练]

1．(1)已知sin＝，则cos的值为________；

(2)已知sin＝，则cos的值为________．

(1)　(2)－　[(1)cos＝cos＝sin＝．

(2)cos＝cos

＝－sin＝－．]

类型2　利用诱导公式证明恒等式

【例2】　(1)求证：

＝；

(2)求证：＝－tan θ．

[证明]　(1)右边＝

＝

＝

＝＝

＝＝左边，所以原等式成立．

(2)左边＝

＝＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．

三角恒等式的证明的策略

(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．

(2)常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法．

[跟进训练]

2．求证：＝－1．

[证明]　因为

＝

＝＝＝－1

＝右边，所以原等式成立．

类型3　诱导公式的综合应用

【例3】　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．

[解]　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－．

又α是第三象限角，

所以cos α＝－，tan α＝＝，

所以·tan2(π－α)

＝·tan2α

＝·tan2α

＝－tan2α＝－．

诱导公式综合应用要“三看”

一看角：(1)化大为小；(2)看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．

二看名：一般是弦切互化．

三看形：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．

[跟进训练]

3．已知sin·cos＝，且＜α＜，求sin α与cos α的值．

[解]　sin＝－cos α，

cos＝cos＝－sin α，

∴sin α·cos α＝，即2sin α·cos α＝． ①

又∵sin2α＋cos2α＝1， ②

①＋②得(sin α＋cos α)2＝，

②－①得(sin α－cos α)2＝．

又∵α∈，

∴sin α＞cos α＞0，即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0，

∴sin α＋cos α＝， ③

sin α－cos α＝， ④

(③＋④)÷2得sin α＝，(③－④)÷2得cos α＝．

1．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)

A．第一象限角　 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

B　[由于sin＝cos θ<0，

cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B．]

2．(多选)下列与sin θ的值相等的是(　　)

A．sin(π＋θ) B．sin

C．cos D．cos

CD　[sin(π＋θ)＝－sin θ；sin＝cos θ；

cos＝sin θ；cos＝sin θ．故选CD．]

3．已知tan θ＝2，则等于(　　)

A．2　　　B．－2　　　C．0　　　D．

B　[∵tan θ＝2，

∴＝＝＝＝＝－2．故选B．]

4．计算：sin211°＋sin279°＝________．

1　[因为11°＋79°＝90°，所以sin 79°＝cos 11°，

所以原式＝sin211°＋cos211°＝1．]

5．已知cos α＝，且α为第四象限角，那么cos＝________．

　[因为cos α＝，且α为第四象限角，

所以sin α＝－＝－，

所以cos＝－sin α＝．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．公式一～四和公式五～六的函数名称有什么不同？

[提示]　公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．

2．如何用一个口诀描述诱导公式一～六？

[提示]　“奇变偶不变、符号看象限”．