2023新教材高中数学第5章三角函数5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念教师用书新人教A版必修第一册

5.2　三角函数的概念

5.2.1　三角函数的概念

知识点1　任意角的三角函数的定义

三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？

[提示]　无关．三角函数值是比值，是一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)sin α表示sin与α的乘积． (　　)

(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大．              (　　)

[答案]　(1)×　(2)×

2．已知角α的终边与单位圆的交点P，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________．

[答案]　－　　－2

知识点2　正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号

(1)图示：

(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0． (　　)

(2)若sin α>0，则α是第一或第二象限角． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×

4．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是(　　)

A．第一象限角　　 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

B　[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．故选B．]

知识点3　诱导公式一

5．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β． (　　)

(2)若sin α＝sin β，则α＝β． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×

6．sin(－315°)的值是(　　)

A．－　　　B．－　　　C．　　　D．

C　[sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝．故选C．]

类型1　三角函数的定义及应用

【例1】　(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β＝(　　)

A．－　　　B．－　　　C．　　　D．

(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．

sin α，cos α，tan α的值不随点P在终边上的位置的改变而改变，如何利用这一特性解答(2)．

(1)B　[由三角函数的定义可知，sin α＝，cos β＝－，所以sin αcos β＝×＝－，故选B．]

(2)[解]　∵角α的终边落在直线x＋y＝0上，

∴在角α的终边上任取一点P(t，－t)(t≠0)．

则r＝＝2|t|．

当t>0时，r＝2t，

sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－；

当t<0时，r＝－2t，

sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－．

利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况

(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．

(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝．

(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝．

(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．

[跟进训练]

1．若角α的终边经过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．

[解]　因为r＝＝5|a|，

①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，

sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，

所以2sin α＋cos α＝－＝1．

②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，

sin α＝＝－，cos α＝＝，

所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1．

类型2　三角函数值符号的运用

【例2】　(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在(　　)

A．第一象限　　 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

(2)(对接教材P181例题)确定下列三角函数值的符号：

①sin 156°；②cosπ；③cos(－450°)；

④tan；⑤sin；⑥tan 556°．

(1)C　[因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．故选C．]

(2)[解]　①∵156°是第二象限角，

∴sin 156°＞0．

②∵π为第三象限角，

∴cos π＜0．

③∵－450°＝－720°＋270°是终边落在y轴的非正半轴上的角，∴cos(－450°)＝0．

④∵－π＝－2π－π是第四象限角，

∴tan＜0．

⑤∵－＝－2π＋π是第二象限角，

∴sin＞0．

⑥∵556°＝360°＋196°是第三象限角，

∴tan 556°＞0．

三角函数符号的判定

对三角函数符号的判定，首先要判断角是第几象限角，然后根据规律：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，即可确定三角函数的符号．

[跟进训练]

2．(1)已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．

(2)判断下列各式的符号：

①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5．

(1)－2＜a≤3　[因为cos α≤0，sin α＞0，

所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，

所以所以－2＜a≤3．]

(2)[解]　①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，

∵－210°＝－360°＋150°，

∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，

∴sin 145°cos(－210°)＜0．

②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，

∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，

∴sin 3·cos 4·tan 5＞0．

类型3　诱导公式一的应用

【例3】　求值：

(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；

(2)sincos＋tancos．

[解]　(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)

＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°

＝1－1＋＝．

(2)原式＝sincos＋tan·cos

＝sincos＋tancos

＝×＋1×＝．

利用诱导公式一进行化简求值的步骤

(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z．

(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．

(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．

[跟进训练]

3．化简下列各式：

(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；

(2)sin＋cosπ·tan 4π．

[解]　(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)

＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°

＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2．

(2)sin＋cosπ·tan 4π

＝sin＋cosπ·tan 0

＝sin＋0＝．

1．(多选)已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则下列表示正确的是(　　)

A．sin α＝－ B．cos α＝

C．tan α＝－ D．tan α＝－

[答案]　ABD

2．已知角α的终边过点P(1，－1)，则tan α的值为(　　)

A．1　　B．－1　　C．　　D．－

B　[由三角函数定义知tan α＝＝－1．故选B．]

3．若cos α<0，tan α>0，则α在(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

C　[∵cos α<0，tan α>0，∴α在第三象限．故选C．]

4．sin ＝________．

　[sin ＝sin＝sin ＝．]

5．比较大小(填“>”或“<”)：

(1)sin 328°________0；(2)cos π________0；

(3)tan π________0．

<　<　<　[(1)∵328°是第四象限角，∴sin 328°<0；

(2)∵是第三象限角，∴cos <0；

(3)∵是第二象限角，∴tan π<0．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．若角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α，cos α，tan α分别等于多少？若角α的终边上任意一点P(x，y)，则sin α，cos α，tan α又分别等于多少？

[提示]　sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)；sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．

2．三角函数值的符号有何规律？

[提示]　“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．

3．终边相同的角的三角函数值有何特点？

[提示]　相等．

三角函数在单位圆中的几何表示及应用

设角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图(1)，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N，则点P的坐标为(cos α，sin α)，其中cos α＝OM，sin α＝ON，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)，如图(2)，则tan α＝AT(或AT′)．

我们把有向线段OM，ON和AT(或AT′)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示．

图(1)　　　　　　　　图(2)