2023新教材高中数学第5章三角函数5.3诱导公式第1课时公式二公式三和公式四教师用书新人教A版必修第一册

5.3　诱导公式

第1课时　公式二、公式三和公式四

知识点　公式二～四

诱导公式中角α只能是锐角吗？

[提示]　诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z．

填空：

(1)若sin(π＋α)＝，则sin α＝________．

(2)若cos(π－α)＝，则cos α＝________．

(3)已知tan α＝6，则tan(－α)＝________．

(4)sin 585°＝________．

[答案]　(1)－　(2)－　(3)－6　(4)－

类型1　给角求值问题

【例1】　(对接教材P189例题)利用公式求下列三角函数值：

(1)cos 225°；(2)sin；

(3)sin；(4)tan(－2 040°)．

[解]　(1)cos 225°＝cos(180°＋45°)

＝－cos 45°＝－．

(2)sin＝sin

＝sin＝sin

＝sin＝．

(3)sin＝－sin

＝－sin

＝－＝．

(4)tan(－2 040°)＝－tan 2 040°

＝－tan(6×360°－120°)

＝tan 120°＝tan(180°－60°)

＝－tan 60°＝－．

利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

(1)“负化正”——用公式一或三来转化．

(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．

(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．

(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．

[跟进训练]

1．计算：(1)cos＋cos＋cos＋cos；

(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)．

[解]　(1)原式＝＋

＝＋

＝＋＝0．

(2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]

＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)

＝sin 66°－sin 66°＝0．

类型2　给值(式)求值问题

【例2】　(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　)

A．　　　　 B．

C． D．－

(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．

已知(105°＋α)－(α－75°)＝180°，如何借助这一关系求(2)中的值？

(1)A　[sin(α－360°)－cos(180°－α)

＝sin α＋cos α＝m，

sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α

＝＝．]

(2)[解]　∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，

∴sin(α－75°)＝－

＝－＝－，

∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]

＝－sin(α－75°)＝．

解决条件求值问题的技巧

[跟进训练]

2．(1)若sin(π＋α)＝，α∈，则tan(π－α)＝(　　)

A．－　　B．－　　C．－　　D．

(2)已知cos＝，求cos－sin2的值．

(1)D　[∵sin(π＋α)＝－sin α＝，

∴sin α＝－，

又α∈，∴cos α＝＝＝．

∴tan α＝＝－．

∴tan(π－α)＝－tan α＝，故选D．]

(2)[解]　因为cos

＝cos

＝－cos＝－，

sin2＝sin2

＝1－cos2＝1－＝，

所以cos－sin2＝－－＝－．

类型3　利用诱导公式化简

【例3】　(对接教材P190例题)化简：

(1)；

(2)．

[解]　(1)原式＝

＝

＝－tan α．

(2)原式＝＝

＝

＝＝－1．

三角函数式化简的常用方法

(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式．

②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．

(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．

[跟进训练]

3．tan(5π＋α)＝m，则的值为(　　)

A．　　　B．　　　C．－1　　　D．1

A　[∵tan(5π＋α)＝tan α＝m，

∴＝

＝＝＝．故选A．]

1．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为(　　)

A．－　 B．－

C． D．

C　[由题意可知cos θ＝－，cos(π－θ)＝－cos θ＝－＝．故选C．]

2．tan等于(　　)

A．－ B．

C．－ D．

C　[tan＝tan＝tan

＝tan＝－tan＝－．故选C．]

3．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是(　　)

A．　　B．－　　C．±　　D．

B　[因为sin(π＋α)＝－sin α＝，所以sin α＝－．

又α是第四象限角，所以cos α＝，

所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－．故选B．]

4．的值等于________．

－2　[原式＝

＝

＝＝

＝－2．]

5．化简：(1)＝________；

(2)＝________．

(1)－cos2α　(2)－cos α　[(1)

＝

＝＝－cos2α．

(2)

＝

＝－cos α．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．你能概括一下公式一～四的特征吗？

[提示]　诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”，或者简述为“函数名不变，符合看象限”．

2．如何应用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数？

[提示]