2023新教材高中数学第4章指数函数与对数函数微专题4与对数函数有关的复合函数教师用书新人教A版必修第一册

微专题4　与对数函数有关的复合函数

与对数函数有关的复合函数，主要是对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数．

类型1　对数型复合函数的单调性

【例1】　讨论函数f (x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．

[解]　由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为．

①当a＞1时，若x＞1，则u＝3x2－2x－1为增函数，

∴f (x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数；

若x＜－，则u＝3x2－2x－1为减函数，

∴f (x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数，

②当0＜a＜1时，若x＞1，则f (x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数；若x＜－，则f (x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．

【例2】　已知函数y＝log(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，求实数a的取值范围．

[解]　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上单调递减，∵0<<1，∴y＝logg(x)是关于g(x)的减函数．而已知复合函数y＝log(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，

∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立，

即

∴2≤a≤2(＋1)，

故所求a的取值范围是[2，2＋2]．

类型2　对数型复合函数的值域

【例3】　求函数f (x)＝log(1＋2x－x2)的值域．

[解]　令u＝1＋2x－x2，可得0＜u≤2，

因为y＝logu在(0，2]上是递减的，

所以logu∈[－1，＋∞)．

故f (x)＝log(1＋2x－x2)的值域为[－1，＋∞)．

【例4】　求函数f (x)＝log2(4x)·log，x∈的值域．

[解]　f (x)＝log2(4x)·log

＝(log2x＋2)·

＝－[(log2x)2＋log2x－2]．

设log2x＝t．

∵x∈，∴t∈[－1，2]，

则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，

因此二次函数图象的对称轴为t＝－，

∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，

∴当t＝－时，有最大值，且ymax＝．

当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2．

∴f (x)的值域为．

类型3　对数型复合函数的奇偶性、单调性

【例5】　已知函数f (x)＝ln(1＋x)＋ln(a－x)为偶函数．

(1)求实数a的值；

(2)讨论函数f (x)的单调性．

[解]　(1)∵f (x)为偶函数，∴f (－x)＝f (x)，

∴ln(1－x)＋ln(a＋x)＝ln(1＋x)＋ln(a－x)，

∴ln(1－x)－ln(1＋x)＝ln(a－x)－ln(a＋x)，

∴ln＝ln，∴＝，

整理得2x(a－1)＝0，

∵x不恒为0，∴a－1＝0，∴a＝1．

(2)由(1)知f (x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)，

要使函数f (x)有意义，应满足，

∴－1<x<1．

∴函数f (x)的定义域为(－1，1)．

设任意x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2，

∴f (x2)－f (x1)＝ln(1＋x2)＋ln(1－x2)－ln(1＋x1)－ln(1－x1)＝ln(1－x)－ln(1－x)，

当－1<x1<x2<0时，x>x，1－x<1－x，

∴ln(1－x)>ln(1－x)，

∴ln(1－x)－ln(1－x)>0，

∴f (x2)－f (x1)>0，∴f (x2)>f (x1)，

∴f (x)在(－1，0)上单调递增，

当0≤x1<x2<1时， x<x，∴1－x>1－x，

∴ln(1－x)>ln(1－x)，

∴ln(1－x)－ln(1－x)<0，

∴f (x2)－f (x1)<0，∴f (x2)<f (x1)，

∴f (x)在[0，1)上单调递减．

综上可知，函数f (x)在(－1，0)上单调递增，在[0，1)上单调递减．