2023新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.3不同函数增长的差异教师用书新人教A版必修第一册

4.4.3　不同函数增长的差异

知识点　三种函数模型的增长差异

在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax<xn<ax成立？

[提示]　不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax<xn<ax成立．

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些． (　　)

(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax<xn<ax成立．(　　)

(3)函数y＝logx衰减的速度越来越慢． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

类型1　几类函数模型的增长差异

【例1】　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)

A．y＝2 022x　　 B．y＝2 022

C．y＝log2 022x D．y＝2 022x

(2)下面对函数f (x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　)

A．f (x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢

B．f (x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快

C．f (x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变

D．f (x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快

(1)A　(2)C　[(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快．故选A．

(2)观察函数f (x)＝logx，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：

函数f (x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．故选C．]

常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型

线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．

(2)指数函数模型

指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．

(3)对数函数模型

对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．

[跟进训练]

1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)

A．y＝ex　　　 B．y＝ln x

C．y＝2x D．y＝e－x

A　[结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．故选A．]

类型2　函数增长速度的比较

【例2】　(1)(多选)如图，能使得不等式log2x<x2<2x成立的x的取值范围是(　　)

A．x>2  B．x>4  C．0<x<2  D．2<x<4

(2)已知函数f (x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．

①指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数．

②借助图象，比较f (x)和g(x)的大小．

(1)BC　[结合图象可知，当x∈(0，2)∪(4，＋∞)时，有log2x<x2<2x．故选BC．]

(2)[解]　①C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，C2对应的函数为f (x)＝ln x．

②当x∈(0，x1)时，g(x)>f (x)；

当x∈(x1，x2)时，g(x)<f (x)；

当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f (x)；

当x＝x1或x2时，g(x)＝f (x)．

综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f (x)；

当x∈(x1，x2)时，g(x)<f (x)；

当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f (x)．

由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法

根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．

[跟进训练]

2．函数f (x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；

(2)结合函数图象，判断f 与g，f (2 022)与g(2 022)的大小．

[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f (x)＝2x．

(2)∵f (1)＝g(1)，f (2)＝g(2)，

从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f (x)＜g(x)，

∴f ＜g；

当x＞2时，f (x)＞g(x)，

∴f (2 022)＞g(2 022)．

类型3　函数增长速度的应用

【例3】　某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制订一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时资金不超过利润的20%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？

分别画出y＝0.2x，y＝log5x及y＝1.02x的图象，观察并思考哪个模型符合题设条件．

[解]　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．

几类不同增长函数模型选择的方法

(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．

(2)增长速度越来越快， 即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型．

(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．

[跟进训练]

3．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．

A　　　　B　　　　C　　　　D

(1)　　　　(2)　　　　(3)　　　　(4)

(4)　(1)　(3)　(2)　[A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快－慢－快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．]

1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　)

A．y＝1　　　 B．y＝x

C．y＝3x D．y＝log3x

C　[结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x．故选C．]

2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　　)

A．一次函数模型 B．二次函数模型

C．指数函数模型 D．对数函数模型

A　[随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．故选A．]

3．以下四种说法中，正确的是(　　)

A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快

B．对任意的x>0，xn>logax

C．对任意的x>0，ax>logax

D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax

D　[ABC均错误，只有D正确．故选D．]

4．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：

其中关于x呈指数增长的变量是________．

y2　[由指数函数的变化规律可知，y2随x的变化呈指数增长．]

5．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．

以下四种说法：

①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．

其中说法正确的序号是________．

②③　[结合图象可知②③正确，故填②③．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

如何描述三种函数模型的增长差异？

[提示]　直线上升、指数爆炸、对数增长

对于直线y＝kx＋b(k＞0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且一次函数直线上升，其增长量固定不变．

指数爆炸与生活哲学

指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质．对指数运算不熟悉的人，在估计指数运算的值时，可能会出现比较大的误差．例如，你能猜出以下各指数运算的值大概是多少吗？

1.01365≈？

1.02365≈？

0.99365≈？

1.01219×0.98146≈？

0.9550≈？

有意思的是，如图所示，有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学，你觉得有道理吗？