2023新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.2对数函数的图象和性质教师用书新人教A版必修第一册

4.4.2　对数函数的图象和性质

分别求出对数函数y＝log2x在自变量取，，，1，2，4，8时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测对数函数y＝log2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由．

知识点1　对数函数的图象和性质

对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象的“上升”或“下降”与谁有关？

[提示]　底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．

当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．

1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)

A．5　　B．　　C．　　D．

A　[由题图可知，a>1，故选A．]

2．函数f (x)＝loga(x＋1)的图象必经过定点________．

(0，0)　[由x＋1＝1得x＝0，∴f (x)的图象必过定点(0，0)．]

知识点2　反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．

(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称．

(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．

3．(1)函数y＝log2x的反函数是________；

(2)函数y＝的反函数是________．

[答案]　(1)y＝2x　(2)y＝logx

类型1　对数函数的图象问题

【例1】　(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)

A．0<a<b<1　　B．0<b<a<1　　C．a>b>1　　D．b>a>1

(2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b＝________，c＝________．

(3)已知f (x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f (－5)＝1，试画出函数f (x)的图象．

(1)B　(2)－2　2　[(1)结合图象可知0<a<1，0<b<1，又当logax＝logby＝1时，

x＝a，y＝b，结合图知b<a，∴0<b<a<1．故选B．

(2)由于函数图象恒过定点(3，2)，故

∴∴]

(3)[解]　因为f (－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，

故f (x)＝log5|x|＝

所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．

函数图象的变换规律

(1)一般地，函数y＝f (x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f (x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．

(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f (|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f (x)|的图象与y＝f (x)的图象在f (x)≥0的部分相同，在f (x)<0的部分关于x轴对称．

[跟进训练]

1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)

A　　　　　B　　　　C　　　　D

C　[∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C．]

类型2　比较对数值的大小

【例2】　(对接教材P133例题)比较下列各组值的大小：

(1)log5与log5；

(2)log2与log2；

(3)log23与log54．

[解]　(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5<log5．

法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，

所以log5<log5．

(2)法一(单调性法)：由于log2＝，log2＝，

又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，

且>，所以0>log2>log2，

所以<，所以log2<log2．

法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logx及y＝logx的图象，由图易知：log2<log2．

(3)取中间值1，

因为log23>log22＝1＝log55>log54，

所以log23>log54．

比较对数值大小的常用方法

(1)同底数的利用对数函数的单调性．

(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．

(3)底数和真数都不同，找中间量．

提醒：比较对数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．

[跟进训练]

2．比较下列各组值的大小：

(1)log0.5，log0.6；

(2)log1.51.6，log1.51.4；

(3)log0.57，log0.67；

(4)log3π，log20.8．

[解]　(1)因为函数y＝logx是减函数，且0.5<0.6，

所以log0.5>log0.6．

(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，

所以log1.51.6>log1.51.4．

(3)因为0>log70.6>log70.5，

所以<，即log0.67<log0.57．

(4)因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，

所以log3π>log20.8．

类型3　解对数不等式

【例3】　已知函数f (x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．

(1)求函数φ(x)＝f (x)＋g(x)的定义域；

(2)试确定不等式f (x)≤g(x)中x的取值范围．

结合对数函数的单调性，思考解对数不等式要注意哪些问题？

[解]　(1)由解得1＜x＜3，

∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．

(2)不等式f (x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，

①当a＞1时，不等式等价于

解得1<x≤；

②当0＜a＜1时，不等式等价于

解得≤x<3．

综上可得，当a＞1时，不等式的解集为；

当0＜a＜1时，不等式的解集为．

常见的对数不等式的3种类型

1．形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．

2．形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．

3．形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．

[跟进训练]

3．(1)已知loga>1，其中a＞0且a≠1，求a的取值范围；

(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围．

[解]　(1)由loga>1得loga>logaa．

①当a>1时，有a<，此时无解．

②当0<a<1时，有<a，从而<a<1．

所以a的取值范围是．

(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上单调递减，

所以由log0.7(2x)<log0.7(x－1)得

解得x>1．

即x的取值范围是(1，＋∞)．

1．函数y＝loga(x－1)(0<a<1)的图象大致是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

A　[函数y＝loga(x－1)(0<a<1)的图象由y＝logax的图象向右平移一个单位得到．故选A．]

2．函数y＝的定义域是(　　)

A．　　 B．[2，＋∞)

C． D．

D　[依题意0<2x－3≤1，解得<x≤2，所以函数的定义域为．故选D．]

3．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)

A．a>c>b B．b>c>a

C．c>b>a D．c>a>b

D　[a＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1，由对数函数的性质可知log52<log32，∴b<a<c．故选D．]

4．若函数y＝f (x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________．

　[由题意可知f (x)＝logax(a>0，且a≠1)，由f ()＝得loga＝，

∴a＝．]

5．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是________．

{x|2<x≤7}　[由题意可得lg(2x－4)≤lg 10，

∴0<2x－4≤10，

即2<x≤7．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝logx，y＝logx，y＝logx，y＝logx的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？

[提示]　作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0．

2．函数y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象有何特点？

[提示]　两函数的图象关于直线y＝x对称．

3．如何解对数不等式logaf (x)>logag(x)(a>0，且a≠1)?

[提示]　分0<a<1和a>1两类分别求解．

当0<a<1时，logaf (x)>logag(x)⇔0<f (x)<g(x)．

当a>1时，logaf (x)>logag(x)⇔f (x)>g(x)>0．

4．比较对数值大小的常用方法有哪些？

[提示]　(1)单调性法；(2)图象法；(3)中间量法．