2023新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念第1课时函数的概念一教师用书新人教A版必修第一册

3.1.1　函数的概念

第1课时　函数的概念(一)

国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示．

以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？

知识点　函数的概念

理解函数的概念应关注三点

(1)函数的定义中有“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应，这三性只要有一个不满足便不能构成函数．

(2)y＝f(x)仅是函数的一个符号，不表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也未必有解析式．

(3)除f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y． (　　)

(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系． (　　)

(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合． (　　)

(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．下图中能表示函数关系的是________(填序号)．

①　　　　②　　　　③　　　　　④

[答案]　①②④

类型1　函数关系的判断

【例1】　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：

①　　　　②　　　　　③　　　　④

其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)

A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3

(2)(多选)下列对应关系是实数集R上的函数的是(　　)

A．f ：把x对应到3x＋1

B．g：把x对应到|x|＋1

C．h：把x对应到

D．r：把x对应到

(1)B　(2)AB　[(1)图①不满足定义域M＝{x|0≤x≤2}；

图③不满足集合N＝{y|0≤y≤2}；

图④不满足函数的定义，如x＝1时对应两个不同的y值．

(2)A，B满足题意，C中当x＝0时不满足，D中当x<0时不满足，故选AB．]

判断一个对应关系是否为函数的方法

[跟进训练]

1．判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．

(1)A＝N，B＝N*，对应法则f ：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；

(2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应法则f ：x→y＝x2，x∈A，y∈B；

(3)A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f ：A中的数开方；

(4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f ：对A中元素求面积与B中元素对应．

[解]　(1)对于A中的元素0，在f 的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，故不是函数．

(2)对于A中的元素±1，在f 的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f 的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．

(3)B中，对于集合A中的元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系．

(4)集合A不是数集，故不是函数．

类型2　求函数值

【例2】　(对接教材P67练习T2)设f (x)＝2x2＋2，g(x)＝．

(1)求f (2)，f (a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f (2))；

(2)求g(f (x))．

[解]　(1)因为f (x)＝2x2＋2，

所以f (2)＝2×22＋2＝10，

f (a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20．

因为g(x)＝，

所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)．

g(f (2))＝g(10)＝＝．

(2)g(f (x))＝＝＝．

函数求值的方法

(1)已知f (x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f (a)的值．

(2)求f (g(a))的值应遵循由里往外的原则．

[跟进训练]

2．已知f (x)＝x3＋2x＋3，求f (1)，f (t)，f (2a－1)和f (f (－1))的值．

[解]　f (1)＝13＋2×1＋3＝6；

f (t)＝t3＋2t＋3；

f (2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；

f (f (－1))＝f ((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f (0)＝3．

类型3　求函数的定义域

【例3】　(对接教材P67练习T1)求下列函数的定义域：

(1)f (x)＝2＋；

(2)f (x)＝(x－1)0＋；

(3)f (x)＝·；

(4)f (x)＝－．

从f (x)有几部分组成，是否含有分母、开偶次方根、x0等角度思考f (x)有意义的条件，进而进行解答．

[解]　(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，

函数f (x)＝2＋有意义，

所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．

(2)函数有意义，当且仅当

解得x>－1且x≠1，

所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}．

(3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，

所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．

(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，

即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．

求函数定义域的常用方法

(1)若f (x)是分式，则应考虑使分母不为零．

(2)若f (x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．

(3)若f (x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．

(4)若f (x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．

(5)若f (x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．

[跟进训练]

3．求函数y＝＋的定义域．

[解]　要使函数有意义，只需

即

∴x≤－或2≤x<4，

∴函数的定义域为．

1．函数y＝的定义域是(　　)

A．{x|x≥－1}　 B．{x|－1≤x<0}

C．{x|x>－1} D．{x|－1<x<0}

C　[由x＋1>0得x>－1，

所以函数的定义域为{x|x>－1}．]

2．(多选)下列四个图象中，是函数图象的是(　　)

A　　　　　B　　　　　C　　　　D

ACD　[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选ACD．]

3．(多选)下列关于函数y＝f (x)的说法正确的是(　　)

A．y是x的函数

B．x是y的函数

C．对于不同的x，y也不同

D．f (a)表示x＝a时，f (x)的函数值是一个常数

AD　[结合函数的定义可知AD正确．]

4．若f (x)＝，则f (3)＝________，f (f (－2))＝________．

－　　[∵f (x)＝，∴f (3)＝＝－．

∵f (－2)＝＝－，

∴f (f (－2))＝＝＝．]

5．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是________．(填序号)

④　[结合函数的定义可知y＝|x|．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．判断一个对应关系是否为函数的条件是什么？

[提示]　(1)A，B必须是非空实数集．

(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．

2．f (x)与f (a)相同吗？两者存在怎样的联系？

[提示]　f (a)表示当x＝a时，函数f (x)的值，是一个常量，而f (x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a)是f (x)的一个特殊值，如一次函数f (x)＝3x＋4，当x＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．

3．求函数y＝f (x)的定义域常注意哪些问题？

[提示]　(1)分母是否为零；(2)被开偶次方数是否非负；(3)x0中x是否为0；(4)实际意义．

函数定义的演变过程简介

在现代数学以及其他相关学科中，函数都是非常重要甚至是不可或缺的．与其他重要数学概念一样，函数定义的发展与完善也经历了比较长的一段时间．

“函数”一词是莱布尼茨创造的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段长度，并使用这个词表示变量之间的依赖关系．

欧拉于1734年首先使用字母f 表示函数，欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数．

1851年，德国数学家黎曼给出的函数定义是：假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值．如果对它的每一个值，都有未知量w的唯一的一个值与之对应，则w称为z的函数．人们通常称这样的定义为函数的“对应说”，因为定义中采用了“唯一的一个值与之对应”的说法．

1939年，法国布尔巴基学派在集合论的基础上给出了如下函数的定义：设E和F 是两个集合，它们可以不同，也可以相同．E中的变元x和F 中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个x∈E，都存在唯一的y∈F ，它满足与x给定的关系，称这样的运算为函数．它以上述方式将与x有给定关系的元素y∈F 与每一个元素x∈E相联系．称y是函数在元素x处的值，函数值由给定的关系所确定．两个等价的函数关系确定同一个函数．人们通常称这样的定义为“关系说”．

后来，有些学者把布尔巴基学派的定义进一步符号化：设F 是定义在集合X和Y上的一个二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一个x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得(x，y)∈F ．这样，函数的定义就完全用数学的符号形式化了．

可以看出，上述函数的定义越来越严格，抽象程度越来越强，数学直观则越来越弱．

在数学学习过程中，如果我们能借助直观来理解有关概念和结论，可能会有事半功倍的效果．为了形象地理解函数的概念，有人提议将函数类比成对每一个允许的输入指定唯一确定的输出的机器，所有输入的集合是函数的定义域，所有输出的集合是函数的值域，如下图所示．

你觉得这种提议有助于进一步理解函数的概念吗？如果条件容许的话，去查阅更多的有关资料吧！