2023新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大小值第1课时函数的单调性教师用书新人教A版必修第一册

3.2.1　单调性与最大(小)值第1课时　函数的单调性1．从图象直观、定性描述和定量分析三个方面，理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)1．借助单调性的证明，培养逻辑推理素养．2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律．如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量，那么不难看出，图中，y是x的函数，记这个函数为y＝f(x)．这个函数反映出记忆具有什么规律？我们用数学语言如何描述该规律？知识点1　增函数与减函数的定义函数增函数减函数图示条件设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)结论f(x)在区间I上单调递增f(x)在区间I上单调递减在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？[提示]　不能．如对于函数y＝－x2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y＝－x2不是增函数．增(减)函数定义中x1，x2的三个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)所有的函数在定义域上都具有单调性． (　　)(2)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则该函数是单调递增函数． (　　)(3)若f(x)为R上的减函数，则f (0)>f (1)． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√知识点2　函数的单调性与单调区间如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的单调区间．对函数单调性的理解(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间I⊆定义域D．(3)遵循最优原则，单调区间应尽可能大．2．函数y＝f (x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　　)A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4]C．[－3，1] D．[－3，4]C　[由图可知，函数y＝f (x)的单调递增区间为[－3，1]，故选C．]3．函数y＝的单调递减区间是________．(－∞，0)和(0，＋∞)　[结合y＝的图象可知，y＝的递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．] 类型1　函数单调性的判定与证明【例1】　(对接教材P79例题)证明函数f (x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减．[证明]　设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，且x1<x2，则f (x1)－f (x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·＝∵0<x1<x2<1，∴x1－x2<0，0<x1x2<1，则－1＋x1x2<0，∴>0，即f (x1)>f (x2)，∴f (x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减．利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2．(2)作差变形：作差f (x1)－f (x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．(3)定号：确定f (x1)－f (x2)的符号．(4)结论：根据f (x1)－f (x2)的符号及定义判断单调性．提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果一般是几个因式乘积的形式．[跟进训练]1．试用函数单调性的定义证明：f (x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减．[证明]　f (x)＝2＋，设x1>x2>1，则f (x1)－f (x2)＝－＝，因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f (x1)<f (x2)，所以f (x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 类型2　求函数的单调区间【例2】　求下列函数的单调区间，并指出该函数的单调性．(1)f (x)＝－；(2)f (x)＝(3)f (x)＝－x2＋2|x|＋3．[解]　(1)函数f (x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是单调递增的．(2)当x≥1时，f (x)是增函数，当x<1时，f (x)是减函数，所以f (x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f (x)在区间(－∞，1)上是单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．(3)因为f (x)＝－x2＋2|x|＋3＝根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f (x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)．f (x)在区间(－∞，－1]，[0，1)上单调递增，在区间(－1，0)，[1，＋∞)上单调递减．求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．(2)利用函数的图象，如本例(3)．提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接，如本例(3)与体验3．[跟进训练]2．(1)如图所示，写出函数在每一单调区间上的单调性；(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．[解]　(1)函数在[－1，0]，[2，4]上单调递减，在[0，2]，[4，5]上单调递增．(2)先画出f (x)＝的图象，如图．所以y＝|x2－2x－3|的减区间为(－∞，－1]，[1，3]；增区间为[－1，1]，[3，＋∞)． 类型3　函数单调性的应用【例3】　(1)若函数f (x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数y＝f (x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x－3)>f (5x－6)，则实数x的取值范围为________．(1)决定二次函数单调性的因素有哪些？由此思考该因素与区间(－∞，3]存在怎样的数量关系？(2)若f (x)是定义域上的单调函数，且f (a)>f (b)，我们能得出变量a，b的大小关系吗，由此思考如何得出该例(2)中变量2x－3与5x－6的大小关系？(1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1)　[(1)∵f (x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f (x)在区间(－∞，3]上单调递增，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4．∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x－3)>f (5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1．∴实数x的取值范围为(－∞，1)．][母题探究]若本例(2)的函数f (x)在区间(0，＋∞)上单调递减，求x的取值范围．[解]　由题意可知，解得x>．∴x的取值范围为．函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．[跟进训练]3．(1)若f (x)在R上是减函数，则f (－1)与f (a2＋1)之间有(　　)A．f (－1)≥f (a2＋1) B．f (－1)>f (a2＋1)C．f (－1)≤f (a2＋1) D．f (－1)<f (a2＋1)(2)若f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x)<f (－2x＋8)的解集是________．(1)B　(2)　[(1)∵a2＋1>－1，且f (x)为R上的减函数，∴f (a2＋1)<f (－1)．故选B．(2)∵f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x)<f (－2x＋8)，∴即解得0≤x<．所以不等式的解集为．]1．(多选)如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f (x)，则下列关于函数f (x)的说法正确的是(　　)A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1，4]上单调递增C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减D．函数在区间[－5，5]上没有单调性ABD　[由题图可知，f (x)在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故C错误，其余选项均正确．故选ABD．]2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)A．y＝－　　 B．y＝xC．y＝x2 D．y＝1－xD　[函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上单调递减，其余函数在(0，＋∞)上单调递增．故选D．]3．若函数f (x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上单调递增，则b的取值范围为(　　)A．b＝3　　　　 B．b≥3C．b≤3 D．b≠3C　[函数f (x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，若函数f (x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上单调递增，则b≤3．故选C．]4．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则实数k的取值范围为________．　[由2k－1<0得k<．]5．已知f (x)是定义在R上的增函数，且f (x2－2)<f (－x)，则x的取值范围是________．(－2，1)　[∵f (x)是定义在R上的增函数，且f (x2－2)<f (－x)，∴x2－2<－x，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1．∴x的取值范围是(－2，1)．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．若x1，x2是区间I上任意实数，且(x1－x2)·(f (x1)－f (x2))>0，则f (x)在I上是否具有单调性？[提示]　增函数．2．到目前为止，判定函数单调性的方式有哪些？[提示]　定义法、图象法和基本初等函数法．3．证明一个函数的单调性常有哪些步骤？[提示]　一般遵循：设元、作差、变形、判号和下结论．4．在应用函数单调性解题时应注意什么？[提示]　已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识， 如f (x)在I上递增，则f (x1)<f (x2)⇔x1<x2．二是数形结合意识，如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题．