2023新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式微专题1基本不等式的应用技巧教师用书新人教A版必修第一册

微专题1　基本不等式的应用技巧

在运用基本不等式求代数式的最值时，常常会用凑项、拆项、常值的代换、消元代换、取平方等技巧，无论运用哪种方式，必须把握三个条件：

(1)“一正”－－各项为正数；

(2)“二定”－－“和”或“积”为定值；

(3)“三相等”－－等号一定能取到．

类型1　凑项

【例1】　(1)已知a>b>0，则2a＋＋的最小值为(　　)

A．4×　　　 B．6

C．3× D．3

(2)已知正数a，b满足2a2＋b2＝3，求a的最大值．

(1)B　[∵a>b>0，∴2a＋＋＝(a＋b)＋＋(a－b)＋．

∵(a＋b)＋≥2＝4，

(a－b)＋≥2＝2，

∴2a＋＋≥6，当且仅当a＋b＝2，a－b＝1，即a＝，b＝时等号成立．故选B．]

(2)[解]　a＝·≤·＝，当且仅当2a2＝b2＋1，即a＝b＝1时取“＝”，故a的最大值为．

类型2　拆项

【例2】　已知x≥，则有(　　)

A．最大值 B．最小值

C．最大值1 D．最小值1

D　[法一：∵x≥，∴x－2>0，则＝≥×2＝1，等号在x－2＝，即x＝3时取得．

法二：令2x－4＝t，∵x≥，∴t≥1．∴x＝＋2．

将其代入，原函数可化为

y＝＝＝＋≥2＝1，

当且仅当＝，即t＝2时等号成立，此时x＝3．故选D．]

类型3　常值的代换

【例3】　(1)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于(　　)

A．10　　B．9　　C．8　　D．7

(2)设a＋b＝2，b>0，求＋取最小值时a的值．

(1)B　[＋＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．所以＋的最小值为9，又因为＋≥m恒成立，所以m≤9，即m的最大值为9．故选B．]

(2)[解]　因为a＋b＝2，

所以＋＝＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1，当且仅当＝，即b＝－2a＝4，或b＝2a＝时，等号成立.当a＝时，＋1＝；

当a＝－2时，＋1＝．

所以＋取得最小值时a的值为－2．

类型4　消元代换

【例4】　(1)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，求a＋2b的最小值；

(2)若实数x，y满足xy＋3x＝3，求＋的最小值．

[解]　(1)由2a＋b＝ab－1得a＝1＋>0，解得b>2．所以a＋2b＝5＋＋2(b－2)≥5＋2＝5＋2，当且仅当＝2(b－2)，即b＝2＋时等号成立．所以a＋2b的最小值是5＋2．

(2)∵实数x，y满足xy＋3x＝3，

∴x＝，∴0<<，解得y>3．

则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6

≥2＋6＝8，

当且仅当y＝4，x＝时，等号成立．

所以＋的最小值为8．

类型5　取平方

【例5】　已知x，y为正实数且3x＋2y＝10，求W＝＋的最大值．

[解]　∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，

∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，

当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立．

∴W≤2，

即W的最大值为2．