2023新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等式第2课时一元二次不等式的应用教师用书新人教A版必修第一册

第2课时　一元二次不等式的应用

类型1　一元二次不等式的实际应用

【例1】　(对接教材P53例题)某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

[解]　(1)依题意得

y＝[12×(1＋0.75x)－10×(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0<x<1)．整理，得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1)．

∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1)．

(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，

当且仅当

即解得0<x<，

所以为保证本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x应满足0<x<．

求解一元二次不等式应用问题的步骤

[跟进训练]

1．国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%．

[解]　设税率调低后“税收总收入”为y元．

y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%

＝－m(x2＋42x－400)(0<x≤8)．

依题意，得y≥2 400m×8%×78%，

即－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，

整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2．

根据x的实际意义，知x的范围为0<x≤2．

类型2　不等式的恒成立问题

【例2】　若关于x的不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

满足题意的不等式其对应函数的图象有何特征？如何用数学语言表述？

[解]　当m2－2m－3＝0时，m＝3或m＝－1．

①若m＝3，不等式可化为－1<0，显然对于x∈R恒成立，满足题意．

②若m＝－1，不等式可化为4x－1<0，显然不满足题意．

当m2－2m－3≠0时，由题目条件，知

得

即－<m<3．

综上所述，实数m的取值范围是．

不等式恒成立的情况

(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是

(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是

(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是

(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是

提醒：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或

[跟进训练]

2．已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件；

②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数对一切实数x恒成立，得

解得1<m<19．综合①②得，实数m的取值范围为{m|1≤m<19}．

1．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

D　[二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要．故选D．]

2．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)

A．－4≤a≤4 B．－4<a<4

C．a≤－4或a≥4 D．a<－4或a>4

A　[依题意应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故选A．]

3．产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)

A．100台 B．120台

C．150台 D．180台

C　[由题设，产量x台时，总售价为25x万元，欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x≥3 000＋20x－0.1x2，即0.1x2＋5x－3 000≥0，x2＋50x－30 000≥0，解之得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．故选C．]

4．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________．

{k|－3<k≤1}　[(1)当k－1＝0，即k＝1时，－1<0恒成立，符合题意．

(2)当k－1≠0时，由题意可知

解得－3<k<1．

综上可知－3<k≤1．]

5．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2 000本．要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为________元．

4　[设定价为x元，销售总收入为y元，则由题意得y＝x，

整理得y＝－20 000x2＋130 000x，

因为要使提价后的销售总收入不低于20万元，

所以y＝－20 000x2＋130 000x≥200 000，

解得≤x≤4，所以要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．解一元二次不等式应用题的关键是什么？

[提示]　解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．

2．试简述不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件．

[提示]