2023新教材高中数学第4章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式教师用书新人教A版选择性必修第二册

4.3.1　等比数列的概念

第1课时　等比数列的概念及通项公式

知识点1　等比数列的概念

等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．               (　　)

(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． (　　)

(3)常数列一定为等比数列．  (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

[提示]　(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．

知识点2　等比中项

(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．

(2)结论：G叫做a，b的等比中项．

(3)满足的关系式：G2＝ab．

当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？

[提示]　不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．

2．2＋和2－的等比中项是(　　)

A．1 B．－1

C．±1 D．2

C　[设2＋和2－的等比中项为a，

则a2＝(2＋)(2－)＝1．即a＝±1．]

知识点3　等比数列的通项公式

(1)通项公式

首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1．

(2)等比数列与指数函数的关系

等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．

3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝________．

8　[由an＋1＝2an知{an}为等比数列，q＝2．

又∵a1＝2，∴a3＝2×22＝8．]

类型1　等比数列通项公式的基本运算

【例1】　在等比数列{an}中，

(1)a4＝2，a7＝8，求an；

(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n．

[解]　设首项为a1，公比为q．

(1)因为所以

由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，

于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2．

(2)法一　因为

由得q＝，从而a1＝32，

又因为an＝1，所以32×＝1．

即26－n＝20，所以n＝6．

法二　因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，

所以q＝．

由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32．

由an＝a1qn－1＝1，知n＝6．

1．“知三求一”型，等比数列通项公式涉及四个量a1，n，q，an，已知其中的三个可以求出第4个，其中a1与q是基本量．

2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：

(1)通性通法，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．

(2)整体代换法，充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．

1．在等比数列{an}中，

(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；

(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；

(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．

[解]　(1)∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2，

∴4·2n－1＝128，

∴2n－1＝32，

∴n－1＝5，n＝6．

(2)∵an＝a1·qn－1＝625，n＝4，q＝5，∴a1＝＝＝5．

(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，

∴q2＝4，∴q＝±2．

当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n，

当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2·(－2)n－1＝(－1)n－12n，

∴数列{an}的公比q为2或－2，

对应的通项公式为an＝2n或an＝(－1)n－12n．

类型2　等比中项及应用

【例2】　(1)设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则＋的最小值为(　　)

A．8　　　　B．4　　　　C．1　　　　D．

(2)已知在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42．求a5，a7的等比中项．

(1)利用等比中项建立等式，再寻找求＋最小值的方法．

(2)按等比数列基本量的运算确定a5，a7后，这两项的等比中项也就确定了．

(1)B　[因为是5a与5b的等比中项，

则()＝5a·5b，所以a＋b＝1，

所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4．]

(2)[解]　设该等比数列的公比为q，

∵

∴

1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，

②÷①得q(1－q)＝⇒q＝，

∴a1＝＝＝96．

设G是a5，a7的等比中项，则应有

G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×＝9，

∴a5，a7的等比中项是±3．

等比中项的三个功能

(1)求等比中项，任何两个同号的实数a，b的等比中项为±；异号两数没有等比中项．

(2)建立等量关系式，a，b，c成等比数列⇒b2＝ac．

(3)证明数列为等比数列，若在数列{an}(an≠0)中，anan＋2＝a⇔{an}为等比数列．

2．(1)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{an}前10项的和为(　　)

A．10 B．8

C．6 D．－8

(2)已知等比数列的前3项依次为x,2x＋2,3x＋3，则实数x的值为________．

(1)A　(2)－4　[(1)由题意可得a＝a1a4，

即(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，

解之可得a1＝－8，

故S10＝－8×10＋×2＝10．

－4　根据条件可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)解得x＝－1或x＝－4，而当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0，不符合题意，故x＝－4．]

类型3　等比数列的判断与证明

【例3】　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．

利用an与Sn的关系确定通项an，再用定义加以证明．

[解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．

当n≥2时，＝＝2；

当n＝1时，＝＝．

故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．

[母题探究]

1．(变条件，变结论)将本例中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，(n∈N*)”．

(1)证明：数列{an－n}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

[解]　(1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*．

因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，

所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．

(2)由(1)，可知an－n＝4n－1，

于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n．

2．(变条件)将本例中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．

[证明]　∵Sn＝2－an，

∴Sn＋1＝2－an＋1，

∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，

∴an＋1＝an．

又∵S1＝2－a1，

∴a1＝1≠0．

又∵由an＋1＝an知an≠0，

∴＝，

∴{an}是首项为1，公比为的等比数列．

1．判断或证明一个数列是等比数列的主要方法如下：

(1)定义法：若当n≥1，n∈N*时，＝q(q≠0，q为常数)，则数列{an}为等比数列．

(2)等比中项法：若a＝anan＋2(an≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列．

(3)通项公式法：若数列{an}的通项an＝cqn(c，q≠0)，则数列{an}为等比数列．

2．一般地，若数列{an}满足递推关系式an＝kan－1＋b(k，b∈R，k≠1)，则可构造等比数列，通过该等比数列的通项公式即可求得{an}的通项公式．

3．一般地，若数列{an}满足Sn＝kan＋b(k，b∈R，k≠0，且k≠1)，则根据Sn与an的关系可推得{an}是首项为，公比为的等比数列．

3．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．求证：数列是等比数列．

[证明]　因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，

所以Sn＋1－Sn＝Sn，

所以n(Sn＋1－Sn)＝(n＋2)Sn，

所以nSn＋1＝2(n＋1)Sn，

所以＝2．

因为＝a1＝1≠0，所以≠0(n∈N*)，

所以＝2(常数)，

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列．

1．根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是(　　)

A．an＝n B．an＝

C．an＝2－n D．an＝log2n

C　[只有C具备an＝cqn的形式，故应选C．]

2．在等比数列{an}中，已知a5＋a1＝34，a5－a1＝30，则a3＝(　　)

A．8 B．－8

C．±8 D．16

A　[两式相加得a5＝32，两式相减得a1＝2．

∴q4＝＝16．∴q2＝4．∴a3＝a1q2＝2×4＝8．故选A．]

3．在等比数列{an}中，若a2＋4a3＋4a4＝0，则{an}的公比为(　　)

A．－ B．

C．－2 D．2

A　[设等比数列{an}的公比为q，因为a2＋4a3＋4a4＝0，可得a1q＋4a1q2＋4a1q3＝0，

即1＋4q＋4q2＝0，解得q＝－．]

4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________．

4n－1　[由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n－1．]

5．在等差数列{an}中，a3＝0，如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________．

9　[∵a3＝0，∴ak＝(k－3)d，a6＝3d，ak＋6＝(k＋3)d．由条件知3d×(k＋3)d＝(k－3)2d2解得k＝9，故应填9．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)等比数列的概念中，应从哪几个方面理解？

[提示]　①从第2项起，②后项与前项的比，③同一个常数．

(2)任何两个实数都有等比中项吗？

[提示]　不是，只有同号的两个实数才有等比中项且它们互为相反数．

(3)如何判断一个数列为等比数列？

[提示]　

(4)等比数列的单调性如何判定？

[提示]　①当a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1时，等比数列{an}为递增数列；

②当a1＞0,0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}为递减数列；

③当q＝1时，数列{an}是常数列；

④当q＜0时，数列{an}是摆动数列．