2023新教材高中数学第4章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第2课时等比数列的性质及应用教师用书新人教A版选择性必修第二册

第2课时　等比数列的性质及应用

知识点1　推广的等比数列的通项公式

{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)．

1．在等比数列{an}中，a3＝8，a6＝64，则公比q是(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

A　[由a6＝a3q3得q3＝＝8，∴q＝2．]

知识点2　“子数列”性质

对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk．

2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)

A．a1，a3，a9成等比数列

B．a2，a3，a6成等比数列

C．a2，a4，a8成等比数列

D．a3，a6，a9成等比数列

D　[D中，3,6,9为连续3的倍数，所以a3，a6，a9成等比数列．]

知识点3　等比数列项的运算性质

在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq．

①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a．

②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…．

3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11＝(　　)

A．－25 B．25

C．10 D．20

B　[在等比数列{an}中，7＋12＝8＋11＝9＋10，∴a7a12＝a8a11＝a9a10．∴原式＝(a7a12)2＝25．故选B．]

类型1　灵活设项求解等比数列

【例1】　有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．

[解]　法一　设前三个数分别为，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a．

由题意得解得q＝2或q＝．

当q＝2时，a＝6，这四个数为3,6,12,18；

当q＝时，a＝，这四个数为，，，．

法二　设后三个数分别为a－d，a，a＋d，则第一个数为，因此这四个数为，a－d，a，a＋d．

由题意得

解得或

故这四个数为3,6,12,18或，，，．

法三　设第一个数为a，则第四个数为21－a，

设第二个数为b，则第三个数为18－b，

则这四个数为a，b,18－b,21－a，

由题意得

解得或

故这四个数为3,6,12,18或，，，．

巧设等差数列、等比数列的方法

(1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d．若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2．

(2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2．若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3．

1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

[解]　法一　设前三个数依次为a－d，a，a＋d，则第四个数为，

由条件得

解得或所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1．

法二　设第一个数为a，则第四个数为16－a，

设第二个数为b，则第三个数为12－b，

所以这四个数为a，b,12－b,16－a，

由题意得

解得或

故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1．

类型2　等比数列的性质及应用

【例2】　(1)已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad＝(　　)

A．3 B．2

C．1 D．－2

(2)已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且满足a2 017＋a2 018＝π，b20b21＝4，则tan＝(　　)

A． B．

C．1 D．－1

(3)已知数列{an}为等比数列．若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，则a3＋a5的值为________．

尝试利用等比数列中，m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq，就会发现很多等比数列问题会随着整体代换迎刃而解．

(1)B　(2)A　(3)6　[(1)因为y＝(x－1)2＋2，所以b＝1，c＝2．又因为a，b，c，d成等比数列，所以ad＝bc＝2．故选B．

(2)因为数列{an}是等差数列，a2 017＋a2 018＝π，所以a1＋a4 034＝a2 017＋a2 018＝π．又因为数列{bn}是等比数列，b20·b21＝4，所以b19·b22＝b20·b21＝4．所以tan＝tan＝tan＝．故选A．

(3)法一　由已知an>0得a1＞0，q＞0．

由a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，

知a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36，

即aq4＋2aq6＋aq8＝36，所以aq4(1＋2q2＋q4)＝36，

即aq4(1＋q2)2＝36，所以a1q2(1＋q2)＝6．

又因为a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)，所以a3＋a5＝6．

法二　由等比中项的概念可得a＝a2·a4，a＝a4·a6．

故由题意可知(a3＋a5)2＝36，又an＞0，所以a3＋a5＝6．]

解决等比数列的计算问题的两种方法

(1)基本量法：利用等比数列的基本量，先求公比，后求其他量．这是解等比数列问题的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较烦琐．

(2)等比数列性质：应用等比数列的性质，要仔细观察各项的下标，抓住序号之间的关系．

2．(1)已知数列{an}是等比数列，若a5＋a7＝5，则a9(a1＋2a3)＋a4a10＝(　　)

A．5 B．10

C．25 D．30

(2)在等比数列{an}中，a2＝2，a6＝162，试求a10．

(1)C　[因为a5＋a7＝5，所以a9(a1＋2a3)＋a4a10＝a9a1＋2a9a3＋a4a10＝a＋2a5a7＋a＝(a5＋a7)2＝25．]

(2)[解]　法一　设等比数列{an}的公比为q．由an＝am·qn－m，∴a6＝a2·q4，即162＝2·q4，得q4＝81，

∴a10＝a6·q4＝162×81＝13 122．

法二　由等比数列的性质知a＝a2·a10，

又∵a2＝2，a6＝162，∴1622＝2·a10，

∴a10＝1622×＝13 122．

法三　由等比数列的性质知，a2，a4，a6，a8，a10仍为等比数列，且设其公比为q1，∵a6＝a2q，

即162＝2·q，∴q＝81．

∴a10＝a2·q＝2×812＝13 122．

类型3　构造等比数列求数列的通项

【例3】　已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4．

(1)求a1的值；

(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．

(1)把n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；

(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明．

[解]　(1)因为Sn＝2an＋n－4，

所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3．

(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，

所以当n≥2时，

Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，

Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，

即an＝2an－1－1，

所以an－1＝2(an－1－1)，

又因为bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，

且b1＝a1－1＝2≠0，

所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．

[母题探究]

1．(变条件，变结论)将本例中的条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，Sn＋1＝4an＋2”，“bn＝an－1”改为“bn＝an＋1－2an”，试证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式．

[证明]　an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2

＝4an＋1－4an．

＝＝

＝＝2．

所以数列{bn}是公比为2的等比数列，首项为a2－2a1．

因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，

所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3．

所以bn＝3·2n－1．

2．(变条件、变结论)将本例中的条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝5，an＝an－1＋1(n≥2)，bn＝an－3”，试证明{bn}为等比数列，并求an的通项公式．

[证明]　由an＝an－1＋1，得an－3＝(an－1－3)．因为bn＝an－3，所以bn－1＝an－1－3，

因此bn＝bn－1，故数列{bn}是公比为的等比数列．

又因为b1＝a1－3＝5－3＝2，

所以bn＝2·，

即an－3＝2·，故an＝3＋2·．

构造等比数列的常见类型

(1)an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)，可化归为an＋1－＝c，当a1－≠0时，数列为等比数列，从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题．也可消去常数项：由an＋1＝can＋d，an＝can－1＋d(n≥2)，两式相减，得an＋1－an＝c(an－an－1)，当a2－a1≠0时，数列{an＋1－an}是公比为c的等比数列．

(2)an＋1＝can＋dn(cd≠0，c≠d)，可化归为an＋1－＝c，或将递推关系式两边同时除以dn＋1化为(1)型，或两边同时除以cn＋1，累加求通项公式．

(3)an＋1＝can＋dn＋t(cdt≠0，c≠1)，可化归为an＋1－＝c＋dn，即(2)型．

3．设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n∈N*)有两个实数根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3．

(1)试用an表示an＋1；

(2)求证：是等比数列．

[解]　(1)由题意知α＋β＝，αβ＝，而6α－2αβ＋6β＝3，

得－＝3，即6an＋1－2＝3an，得an＋1＝an＋．

(2)证明：由(1)知an＋1＝an＋，所以an＋1－＝，于是＝，

所以是等比数列．

1．在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3＝(　　)

A．4 B．

C． D．2

A　[根据等比数列的性质，a3，a6，a9成等比数列．∴9a3＝62．∴a3＝4．故选A．]

2．已知等比数列{an}的各项均为正数，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　)

A．5 B．7

C．6 D．4

A　[由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝5，故选A．]

3．(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　)

A．12 B．24

C．30 D．32

D　[法一：设等比数列{an}的公比为q，所以＝＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝×(25＋26＋27)＝×25×(1＋2＋22)＝32，故选D．

法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，则bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3．设数列{an}的公比为q，则＝＝＝q，所以数列{bn}为等比数列，由题意知b1＝1，b2＝2，所以等比数列{bn}的公比q＝2，所以bn＝2n－1，所以b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32．故选D．]

4．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．

8　[设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c,8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，因为a2＝b>0，∴b＝2或b＝－2(舍去)．所以这3个数的积为abc＝4×2＝8．]

5．已知在公比为q的等比数列{an}中，a5＋a9＝q，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为________．

　[∵a5＋a9＝q，∴a4＋a8＝，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2＝．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)在等比数列{an}中，如何巧设数列中的项？

[提示]　三个数成等比数列时，可设三数为，a，aq；四个数成等比数列时只要公比大于零，可设为，，aq，aq3．

(2)在等比数列中，常用到的性质有哪些？

[提示]　①若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；

②若m＋n＝2p，则aman＝a．

(3)在递推数列中，构造等比数列的常见类型有哪几种？

[提示]　①an＋1＝Aan＋B型．

②an＋1＝can＋dn型．

③an＋1＝can＋dn＋t型．