2023新教材高中数学第4章数列4.4数学归纳法教师用书新人教A版选择性必修第二册

4.4*　数学归纳法

知识点1　数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法称为数学归纳法．

数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?

[提示]　不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3．

知识点2　数学归纳法的框图表示

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可． (　　)

(2)数学归纳法证明3n≥n2(n≥3，n∈N*)，第一步验证n＝3． (　　)

(3)设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1＝＋＋＋…＋．               (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

[提示]　(1)数学归纳法两个步骤缺一不可，(3)中，Sk＋1＝＋＋…＋＋＋．

类型1　用数学归纳法证明等式

【例1】　(1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．

(2)用数学归纳法证明：

＋＋…＋＝(n∈N*)．

(1)2(2k＋1)　[令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则

f(k)＝(k＋1) (k＋2)…(k＋k)，

f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．]

(2)[证明]　 ①当n＝1时，＝成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有

＋＋…＋＝，

则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝，

即当n＝k＋1时等式也成立．

由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立．

用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点

(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况．

(2)弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项．

(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．

1．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1．

[证明]　①当n＝1时，左边＝12＝1，

右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立；

②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，

即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2

＝(－1)k－1，

那么，当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k(k＋1)＝(－1)k·，

所以当n＝k＋1时，等式也成立，

由①②知，对任意n∈N*，都有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1．

类型2　归纳—猜想—证明

【例2】　已知数列，，，…，的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．

[解]　S1＝ ＝；

S2＝ ＋ ＝；

S3＝ ＋ ＝；

S4＝ ＋ ＝．

可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1．

于是可以猜想Sn＝．

下面用数学归纳法证明这个猜想．

(1)当n＝1时，左边＝S1＝，

右边＝ ＝ ＝，

猜想成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即

 ＋ ＋ ＋… ＋ ＝，

则当n＝k＋1时，

 ＋ ＋ ＋… ＋＋

＝ ＋ ＝

＝ ＝，

所以，当n＝k＋1时猜想也成立．

根据(1)和(2)，可知猜想对任意n∈N*都成立．

1．“归纳—猜想—证明”的一般环节

2．“归纳—猜想—证明”的主要题型

(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．

(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．

(3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．

2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝3，Sn＝an－1＋n2＋1(n≥2)．求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明．

[解]　当n＝2时，

S2＝a1＋22＋1，即3＋a2＝8，解得a2＝5；

当n＝3时，

S3＝a2＋32＋1，即3＋5＋a3＝15，解得a3＝7；

当n＝4时，

S4＝a3＋42＋1，即3＋5＋7＋a4＝24，解得a4＝9．

猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明：

当n＝1时，a1＝2×1＋1＝3，猜想成立；

假设当n＝k(k∈N*)时， 猜想成立，

 即ak＝2k＋1，Sk＝＝k2＋2k，

则当n＝k＋1时，Sk＋1＝ak＋(k＋1)2＋1，

∴Sk＋ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1，

∴ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1－Sk，

ak＋1＝2k＋1＋(k＋1)2＋1－(k2＋2k)＝2(k＋1)＋1，

所以猜想成立．

综上所述， 对于任意n∈N*，an＝2n＋1均成立．

类型3　用数学归纳法证明不等式

【例3】　用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．

按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．

[证明]　(1)当n＝1时，

≤1＋≤，命题成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，

即1＋ ≤ 1＋ ＋ ＋… ＋ ≤  ＋k，

则当n＝k＋1时，

1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ >1＋ ＋2k· ＝1＋ ．

又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ < ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)，

即当n＝k＋1时，命题成立．

由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立．

1．用数学归纳法证不等式的关键点

用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：

(1)先凑假设，作等价变换；

(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．

2．常用的几点放缩技巧

(1)＜n＜(n∈N*，n＞1)；

(2)＜＜(n∈N*，n＞1)；

(3)＞＝2(－)(k∈N*，k＞1)；

(4)＜＝2(－)(k∈N*，k＞1)．

3．试用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N*)．

[证明]　(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．

(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立，

即1＋＋＋…＋<2－．

则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，命题成立．

由(1)，(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立．

1．用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须为(　　)

A．n∈N* B．n∈N*，n≥2

C．n∈N*，n≥3 D．n∈N*，n≥4

D　[当n＝1，n＝2，n＝3时，显然不等式不成立，

当n＝4时，64>61不等式成立，

故用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须满足n≥4，n∈N*，故选D．]

2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(　　)

A．1 B．1＋a

C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3

C　[当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确．]

3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是(　　)

A．(2k＋1)＋(2k＋2)

B．(2k－1)＋(2k＋1)

C．(2k＋2)＋(2k＋3)

D．(2k＋2)＋(2k＋4)

C　[当n＝k时，左边是共有(2k＋1)个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．故选C．]

4．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________．

＋＋…＋＞－　[从不等式结构看，左边n＝k＋1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边n＝k＋1时，式子为－，即不等式为＋＋…＋＞－．]

5．用数学归纳法证明f(n)＝＋＋…＋的过程中，f(k＋1)－f(k)＝________．

　[依题意f(k)＝＋＋…＋，f(k＋1)＝＋＋…＋＋，所以f(k＋1)－f(k)＝． 故答案为．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)数学归纳法步骤可概括为“三个成立，一个结论”是什么意思？

[提示]　“三个成立”是①n＝n0时验证命题成立，②n＝k，k≥n0时假设命题成立；③n＝k＋1时，应用归纳假设证明命题成立．

“一个结论”是断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

(2)你认为在应用数学归纳法时应注意哪几点？

[提示]　①验证是基础．找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；

②递推是关键．正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；

③利用假设是核心．在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．

(3)与自然数n有关的命题都必须用数学归纳法证明吗？数学归纳法一般用来证明哪几种类型？

[提示]　数学归纳法证明的命题都是与自然数n有关的命题，但与自然数n有关的命题不一定都用数学归纳法来证明．

数学归纳法证明的命题类型一般有：等式问题、不等式问题、整除问题，几何命题和“归纳—猜想—证明”等类型．