2023新教材高中数学第4章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式第2课时等比数列前n项和的性质及应用教师用书新人教A版选择性必修第二册

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用1．掌握等比数列前n项和的性质的应用．(重点)2．掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点)3．能用分组转化法求数列的和．(重点、易错点)1．通过等比数列前n项和公式的函数特征的学习，体现了逻辑推理核心素养．2．借助等比数列前n项和性质的应用及分组求和，培养数学运算核心素养．在等比数列{an}中，若q≠1时，Sn＝＝．可以把Sn写成Sn＝Aqn－A的形式，这是等比数列前n项和的性质之一．对比等差数列前n项和的性质，那么等比数列的前n项和还有其他哪些性质？知识点　等比数列前n项和的性质(1)性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠1)，则数列{an}是等比数列．(2)性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝q．②在等比数列中，若项数为2n＋1(n∈N*)，则＝q．③当q≠－1时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，公比是qm．1．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)且前n项和Sn＝3n－1＋k，则实数k的取值是____________．－　[由题知{an}是等比数列，∴3n的系数与常数项互为相反数，而3n的系数为，∴k＝－．]2．已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于(　　)A．50 B．70C．80 D．90B　[因为等长连续片段的和依然是等比数列，因此可知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，解得前9项的和为70，故选B．] 类型1　等比数列前n项和性质的应用【例1】　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　)A．28 B．32C．21 D．28或－21(2)在等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________．(1)发现S2，S4，S6之间的关系，可以直接求出S4；也可以试着用公式，直接解决；(2)尝试用＝q，S奇＋S偶＝S2n求解．(1)A　(2)24　[(1)法一　∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7,91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21．∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28．法二　由条件可以看出q≠1，∴S2＝，S4＝，S6＝，∴＝1＋q2＋q4．又∵S6＝91，S2＝7，∴q4＋q2－12＝0，即q2＝3．又∵＝1＋q2，∴S4＝S2(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28．(2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79．则＝q＝3，即S1＝3S2．又∵S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24．即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24．][母题探究]1．(变条件，变结论)将本例(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正数等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值．[解]　法一　设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2,14－x，y－14成等比数列，∴∴或(舍去)，∴S4n＝30．法二　∵Sn＝2，S3n＝14．∴q≠1．∴Sn＝，S3n＝＝，∴＝1＋qn＋q2n＝7，∵an＞0，∴qn＝2，又∵S4n＝，∴＝(1＋q2n)(1＋qn)．∴S4n＝Sn(1＋q2n)(1＋qn)＝2×(1＋4)(1＋2)＝30．2．(变条件，变结论)将本例(1)中条件“S2＝7，S6＝91”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．[解]　法一　∵S99＝＝56，q＝2，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝32．法二　设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56，∴b1(1＋q＋q2)＝56．∴b1＝＝8，∴b3＝b1q2＝8×22＝32，即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32．等比数列的性质及应用技巧(1)若数列{an}为非常数列的等比数列，且其前n项和为Sn＝A·qn＋B(A≠0，B≠0，q≠0，q≠1)，则必有A＋B＝0；反之，若某一非常数列的前n项和为Sn＝A·qn－A(A≠0，q≠0，q≠1)，则该数列必为等比数列．(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)．特别地，如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．(3)当等比数列{an}的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比等于公比q，即＝q．1．(1)已知等比数列{an}的公比不为－1，设Sn是等比数列{an}的前n项和，S12＝7S4，则＝(　　)A．4 B．3C．2 D．1(2)已知等比数列{an}共有32项，其公比q＝3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是(　　)A．30 B．60C．90 D．120(1)B　(2)D　[(1)根据条件可知，S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．设＝m，即S8＝mS4．又∵S12＝7S4，∴S4，(m－1)S4，(7－m)S4成等比数列，也即(m－1)2＝1×(7－m)，解得m＝3或m＝－2，又∵＝1＋q4＞0，∴m＝3，故＝3．(2)设等比数列{an}的奇数项之和为S1，偶数项之和为S2，则S1＝a1＋a3＋a5＋…＋a31，S2＝a2＋a4＋a6＋…＋a32＝q(a1＋a3＋a5＋…＋a31)＝3S1，又S1＋60＝S2，则S1＋60＝3S1，解得S1＝30，S2＝90，故数列{an}的所有项之和是30＋90＝120．故选D．] 类型2　分组求和法【例2】　已知{an}为等差数列，{bn}为单调递增的等比数列，a1＝b1＝1，a2＋a4＝6，a3b3＝12．(1)求{an}与{bn}的通项公式；(2)求数列{an＋bn}的前n项和Sn．(1)利用基本运算方程的思想求解出an和bn．(2)观察通项的特点是否可分成两类数列的和，尝试分别求和．[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a2＋a4＝6，可得2a1＋4d＝6．又因为a1＝1，所以d＝1．所以an＝a1＋(n－1)d＝n．由a3b3＝12，可得b3＝4．又因为b1＝1，所以q2＝＝4．又因为数列{bn}为单调递增的等比数列，则q>0，故q＝2，所以bn＝b1qn－1＝2n－1．(2)由(1)可知an＋bn＝n＋2n－1，数列{an}的前n项和为1＋2＋…＋n＝，数列{bn}的前n项和为1＋2＋…＋2n－1＝＝2n－1，故Sn＝＋2n－1．分组转化求和法的应用条件和解题步骤(1)应用条件一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．(2)解题步骤2．求数列2，4，6，…，2n＋，…的前n项和Sn．[解]　Sn＝2＋4＋6＋…＋＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋＝＋＝n(n＋1)＋－＝n2＋n－＋． 类型3　等差数列与等比数列的综合应用【例3】　已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18．(1)求数列{an}的通项公式．(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2 021？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．(1)根据已知条件得出关于a1，q的方程组，求解即可；(2)只需表示出前n项和，解指数不等式．[解]　(1)设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0．由题意得即解得故数列{an}的通项公式为an＝3×(－2)n－1．(2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n．若存在n，使得Sn≥2 021，则1－(－2)n≥2 021，即(－2)n≤－2 020．当n为偶数时，(－2)n＞0，上式不成立；当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 020，即2n≥2 020，则n≥11．综上，存在符合条件的正整数n，且n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N*，k≥5}．与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧：(1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题．(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用．(3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系．3．已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1,1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项．(1)求S2和S3；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求数列{Sn}的前n项和Tn．[解]　(1)根据已知条件整理得解得(2)因为q≠1，所以解得所以Sn＝＝－．(3)由(2)得Tn＝S1＋S2＋…＋Sn＝n－·＝n＋．1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝(　　)A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 D．1∶3A　[在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A．]2．已知等比数列{an}，an＝2×3n－1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为(　　)A．3n－1 B．3nC．(9n－1) D．(9n－1)D　[这里a2＝6即新数列的首项为6，公比为9．∴新数列的前n项和为Tn＝＝(9n－1)．故选D．]3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4－a1＝78，S3＝39，设bn＝log3an，则数列{bn}的前10项和为(　　)A．log371 B．C．50 D．55D　[{an}为等比数列，由条件可知，a1q3－a1＝78且a1＋a1q＋a1q2＝39，解得a1＝3，q＝3．∴an＝3n．∴bn＝log33n＝n，∴数列{bn}的前10项和为＝55．故选D．]4． (2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　)A．7 B．8C．9 D．10A　[法一　因为S2＝4，S4＝6，且易知公比q≠±1，所以由等比数列的前n项和公式，得两式相除，得q2＝，所以或所以S6＝＝7．故选A．法二　易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7．故选A．]5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20的值为________．32　[由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列．由题意可知上面数列的首项为S4＝2，公比为＝2，故S4n－S4n－4＝2n(n≥2)，所以a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)等比数列的前n项和有哪些重要性质？[提示]　①若等比数列前n项和Sn＝A·qn＋B，那么A＋B＝0(A≠0，q≠1)．②若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)．③等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1)．(2)你是如何理解分组求和法的？[提示]　当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列时，就可以用分组求和法，即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和．(3)到现在为止，你学习了哪几种方法求数列的前n项和？[提示]　①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法；⑤分组求和法．