四川省眉山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份四川省眉山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共33页。试卷主要包含了，点P是抛物线上的一个动点等内容，欢迎下载使用。

四川省眉山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．反比例函数综合题（共3小题）
1．（2022•眉山）已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点M（2，a）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y＝的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．

2．（2023•眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2021•眉山）如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y＝﹣在第二象限内的图象交于C、D两点．
（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；
（2）求直线MN所对应的函数表达式；
（3）求△BCN的面积．

二．二次函数综合题（共3小题）
4．（2021•眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．

5．（2023•眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
6．（2022•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．

（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
三．平行四边形的性质（共1小题）
7．（2023•眉山）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求GH的长．

四．四边形综合题（共1小题）
8．（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；
（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．

五．切线的判定与性质（共1小题）
9．（2023•眉山）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若，BP＝4，求CD的长．

六．圆的综合题（共1小题）
10．（2022•眉山）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：BC是∠ABD的角平分线；
（2）若BD＝3，AB＝4，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2021•眉山）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A处测得该建筑物顶端C的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B处，测得顶端C的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈）

八．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2021•眉山）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 　 　人，其中“了解较多”的占 　 　%；
（2）请补全条形统计图；
（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有 　 　人；
（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生A1，A2，A3是初一学生，1名学生B为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．

四川省眉山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．反比例函数综合题（共3小题）
1．（2022•眉山）已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点M（2，a）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y＝的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．

【答案】（1）反比例函数的解析式为；
（2）b＝3；
（3）证明见解答．
【解答】（1）解：∵直线y＝x过点M（2，a），
∴a＝2，
∴将M（2，2）代入中，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为；

（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为，
∵点A（1，m）在的图象上，
∴m＝4，
∴A（1，4），
由平移得，平移后直线AB的解析式为y＝x+b，
将A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；

（3）证明：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．

由（1）知，反比例函数的解析式为，
∵点B（n，﹣1）在的图象上，
∴n＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣1），
∵A（1，4），
∴AE＝BF，OE＝OF，
∴∠AEO＝∠BFO，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，
由（2）知，b＝3，
∴平移后直线AB的解析式为y＝x+3，
又∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点C，D，
∴C（﹣3，0），D（0，3），
∴OC＝OD，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
2．（2023•眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数在第四象限内的图象交于点C（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝；
（2）x＜﹣2或0＜x＜6；
（3）（1，﹣6）或（3，﹣2）．
【解答】（1）将A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴一次函数表达式为：y＝﹣x+2，
将C（6，a）代入得：y＝﹣×6+2＝﹣1，
∴C（6，﹣1），
将C（6，﹣1）代入y＝得：m＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为：y＝；
（2）设一次函数与反比例函数在第二象限交于点D，
联立，
解得：或，
∴D（﹣2，3），
∴由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜6时，kx+b＞，
（3）存在，理由：
过点A作AE⊥BC交y轴于点E，
∵∠BAO+∠EAO＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，
∴∠BAO＝∠AEO，
∵∠AOB＝∠EOA＝90°，
∴△AOB∽△EOA，
∴，
∴，
∴OE＝8，
∴E（0，﹣8），
设直线AE的表达式为：y＝ax+b，
将（4，0），（0，﹣8）代入得：，
解得：，
∴直线AE的表达式为：y＝2x﹣8，
联立：，
解得：或，
∴点P的坐标为：（1，﹣6）或（3，﹣2）．

3．（2021•眉山）如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y＝﹣在第二象限内的图象交于C、D两点．
（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；
（2）求直线MN所对应的函数表达式；
（3）求△BCN的面积．

【答案】（1）点A、B的坐标分别为（﹣8，0）、（0，6），圆的半径＝AB＝5；（2）y＝x+；（3）．
【解答】解：（1）对于y＝x+6，令y＝x+6＝0，解得x＝﹣8，令x＝0，则y＝6，
故点A、B的坐标分别为（﹣8，0）、（0，6），
∵∠AOB为直角，则AB是圆P的直径，
由点A、B的坐标得：AB＝＝10，
故圆的半径＝AB＝5；

（2）过点N作HN⊥AB于点H，设直线MN与圆P切于点G，

连接PG，则HN＝PG＝5，
则sin∠NBH＝sin∠ABO＝，
在Rt△NHB中，NB＝＝，
即直线AB向上平移个单位得到MN，
故MN的表达式为y＝x+6+＝x+；

（3）由直线MN的表达式知，点N（0，），
联立MN的表达式和反比例函数表达式并整理得：3x2+49x+120＝0，
解得：x＝﹣3或﹣，
故点C的坐标为（﹣3，10），
由点C、N的坐标得：CN＝＝，
则△BCN的面积＝CN•NH＝×5×＝．
二．二次函数综合题（共3小题）
4．（2021•眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）点P的坐标为（6，﹣8）；（3）2或10．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，
即﹣8a＝4，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4①；

（2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA，
故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；
如图1，当BH＝AB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，
即点H的坐标为（2，0），
则CH和抛物线的交点即为点P，

由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣8）；

（3）在OB上取点E（2，0），则∠ACO＝∠OCE，
∵∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA，故∠AMO＝∠ECB，
过点E作EF⊥BC于点F，

在Rt△BOC中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°，
则EF＝EB＝（4﹣2）＝＝BF，
由点B、C的坐标知，BC＝4，
则CF＝BC﹣BF＝4＝3，
则tan∠ECB＝＝＝＝tan∠AMO，
则tan∠AMO＝＝＝，
则OM＝6，
故CM＝OM±OC＝6±4＝2或10，
则t＝2或10．
5．（2023•眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）P（﹣，），的最大值为；
（3）点M的坐标为（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+n，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，如图，

设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），
∴PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∵PE∥x轴，
∴△EPD∽△ABD，
∴＝，
∴＝＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，的值最大，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；
（3）如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3），
则M（m，m+3），

∴PM＝|m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|m2+3m|，
CM＝＝|m|，
∵△PCM沿直线PC翻折，M的对应点为点M′，M′落在y轴上，
而PM∥y轴，
∴PM∥CM′，PM＝PM′，CM＝CM′，∠PCM＝∠PCM′，
∴∠PCM′＝∠MPC，
∴∠PCM＝∠MPC，
∴PM＝CM，
∴|m2+3m|＝|m|，
当m2+3m＝m时，
解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣3，
此时点M（﹣3，）；
当m2+3m＝﹣m时，
解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣﹣3，
此时点M（﹣﹣3，﹣）；
综上，点M的坐标为（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）．
6．（2022•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．

（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（0，5）；
（2）PE最大为；
（3）存在，M的坐标为（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．
【解答】解：（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上，
∴0＝﹣52﹣4×（﹣5）+c
∴c＝5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1：
∵A（﹣5，0），C（0，5）
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴，
∴当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为y＝kx+5，
将A（﹣5，0）代入得0＝﹣5k+5，
∴k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x+5，
设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），
∴，
∵a＝﹣1＜0，
∴当时，PH最大为，
∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），
分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣3，8）；
②当AM为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（3，﹣16）；
③当AN为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）；
综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．

三．平行四边形的性质（共1小题）
7．（2023•眉山）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求GH的长．

【答案】（1）证明见解答；
（2）1.2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
∴△CDE≌△FAE（AAS），
∴CE＝EF，
∵AE∥BC，
∴＝＝1，
∴AF＝AB；
（2）解：∵AG＝2，FG＝6，
∴AF＝FG+AG＝6+2＝8，
∴AB＝AF＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，
∴∠F＝∠FCG，
∴CG＝FG＝6，
∵CD∥AF，
∴△DCH∽△AGH，
∴＝，即＝，
∴GH＝1.2．
四．四边形综合题（共1小题）
8．（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；
（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）；
（3）﹣1或1+．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形DEFG是正方形，
∴∠DCE＝90°，CD＝CE；
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°﹣∠BCD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）如图2，过点M作MH⊥AD于点H，则∠AHM＝∠DHM＝90°．
∵∠DCG＝90°，CD＝CG，
∴∠CDG＝∠CGD＝45°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠MDH＝90°﹣45°＝45°，
∴MH＝DH•tan45°＝DH；
∵CD＝DG•sin45°＝2×＝，AC＝2，
∴AD＝＝，
∴＝tan∠CAD＝＝，
∴AH＝3MH＝3DH，
∴3DH+DH＝3；
∴MH＝DH＝，
∵＝sin∠CAD＝＝，
∴AM＝MH＝×＝．
（3）如图3，A、D、E三点在同一直线上，且点D在点A和点E之间．
∵CD＝CE＝CF，∠DCE＝∠ECF＝90°，
∴∠CDE＝∠CED＝∠CEF＝∠CFE＝45°；
由△ACD≌△BCE，得∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠BEC+∠CEF＝180°，
∴点B、E、F在同一条直线上，
∴∠AEB＝90°，
∵AE2+BE2＝AB2，且DE＝2，AD＝BE，
∴（AD+2）2+AD2＝（2）2+（2）2，
解得AD＝﹣1或AD＝﹣﹣1（不符合题意，舍去）；
如图4，A、D、E三点在同一直线上，且点D在AE的延长线上．
∵∠BCF＝∠ACE＝90°﹣∠ACF，BC＝AC，CF＝CE，
∴△BCF≌△ACE（SAS），
∴∠BFC＝∠AEC，
∵∠CFE＝∠CED＝45°，
∴∠BFC+∠CFE＝∠AEC+∠CED＝180°，
∴点B、F、E在同一条直线上；
∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝90°+∠ACE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
∵AE2+BE2＝AB2，
∴（AD﹣2）2+AD2＝（2）2+（2）2，
解得AD＝1+或AD＝1﹣（不符合题意，舍去）．
综上所述，AD的长为﹣1或1+．




五．切线的判定与性质（共1小题）
9．（2023•眉山）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若，BP＝4，求CD的长．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）CD的长为．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠OAE＝∠DAE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠DAE＝∠OEA，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AC，
∴OE⊥PD，
∵OE是⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：∵＝，BP＝4，OB＝OE，
∴＝，
∴OE＝2，
∴AB＝2OE＝4，
∴AP＝AB+BP＝8，
在Rt△APD中，sin∠P＝＝，
∴AD＝AP＝，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠AEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝4﹣＝，
∴CD的长为．

六．圆的综合题（共1小题）
10．（2022•眉山）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：BC是∠ABD的角平分线；
（2）若BD＝3，AB＝4，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

【答案】（1）见解答过程；
（2）；
（3）．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1，

∵CD与⊙O相切于点C，OC为半径，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBC＝∠OBC，
∴BC平分∠ABD；
（2）解：如图2，

∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠CBD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BD⊥DC，
∴∠D＝90°，
∴∠ACB＝∠D，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∴BC2＝AB•BD，
∵BD＝3，AB＝4，
∴BC2＝3×4＝12，
∴或﹣2（不符合题意，舍去），
∴BC的长为2；
（3）解：如图3，作CE⊥AO于E，连接OC，

∵AB是直径，AB＝4，
∴OA＝OC＝2，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝2，
∴AO＝CO＝AC＝2，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵CE⊥OA，
∵OE＝OA＝1，
∴，
∴阴影部分的面积为：．
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2021•眉山）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A处测得该建筑物顶端C的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B处，测得顶端C的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈）

【答案】43.6米．
【解答】解：过C作CF⊥AD于F，如图所示：
则AF＝CE，
由题意得：AB＝20米，∠AEC＝90°，∠CAE＝24°，∠CBE＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE＝CE，
设BE＝CE＝x米，则AF＝x米，
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝tan24°≈，
∴AE＝x米，
∵AE﹣BE＝AB，
∴x﹣x＝20，
解得：x≈16.4，
∴AF≈16.4（米），
∴DF＝AD﹣AF＝60﹣16.4＝43.6（米），
即这栋建筑物的高度为43.6米．

八．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2021•眉山）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 　50　人，其中“了解较多”的占 　30　%；
（2）请补全条形统计图；
（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有 　780　人；
（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生A1，A2，A3是初一学生，1名学生B为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．
【答案】（1）50、30%；
（2）7人，补图见解答；
（3）780人；
（4）．
【解答】解：（1）本次抽取调查的学生共有4÷8%＝50（人），
“了解较多”的所占的百分比是：×100%＝30%．
故答案为：50，30；

（2）“基本了解”的人数为50﹣（24+15+4）＝7（人），
补全图形如下：


（3）1000×＝780（人），
答：估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有780人．
故答案为：780；

（4）列表如下：

A1
A2
A3
B
A1

（A2，A1）
（A3，A1）
（B，A1）
A2
（A1，A2）

（A3，A2）
（B，A2）
A3
（A1，A3）
（A2，A3）

（B，A3）
B
（A1，B）
（A2，B）
（A3，B）

共有12种可能的结果，恰好抽到初一、初二学生各1名的有6种，
则恰好抽到初一、初二学生各1名的概率为＝．