四川省遂宁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份四川省遂宁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共41页。试卷主要包含了﹣1，我们规定，的图象交于，且垂直于y轴等内容，欢迎下载使用。

四川省遂宁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•遂宁）先化简，再求值：•（1+），其中x＝（）﹣1．
二．根的判别式（共1小题）
2．（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；
（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2023•遂宁）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．
①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
四．一次函数综合题（共1小题）
4．（2021•遂宁）已知平面直角坐标系中，点P（x0，y0）和直线Ax+By+C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax+By+C＝0的距离d可用公式d＝来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离，因为直线y＝2x+1可化为2x﹣y+1＝0，其中A＝2，B＝﹣1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离为：d＝＝＝＝．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线y＝x+9的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r＝4，判断⊙M与直线y＝x+9的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
5．（2022•遂宁）已知一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2．
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．

六．反比例函数综合题（共1小题）
6．（2021•遂宁）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于
点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）将直线y1向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值y1＞y2＞y3时，求x的取值范围．

七．二次函数综合题（共3小题）
7．（2023•遂宁）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点O（0，0），对称轴过点B（2，0），直线l过点C（2，﹣2）且垂直于y轴．过点B的直线l1交抛物线于点M、N，交直线l于点Q，其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当BM：MQ＝3：5时，求点N的坐标；
（3）如图2，当点Q恰好在y轴上时，P为直线l1下方的抛物线上一动点，连结PQ、PO，其中PO交l1于点E，设△OQE的面积为S1，△PQE的面积为S2，求的最大值．

8．（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．

9．（2021•遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．

八．全等三角形的判定与性质（共1小题）
10．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点O为对角线BD的中点，过点O的直线l分别与AD、BC所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当直线l⊥BD时，连结BE、DF，试判断四边形EBFD的形状，并说明理由．

九．菱形的判定（共1小题）
11．（2021•遂宁）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．

一十．圆的综合题（共2小题）
12．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•CN；
（3）当AB＝6，sin∠DCA＝时，求AM的长．

​

13．（2021•遂宁）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）求△ABC的面积；
（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；
②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．

一十一．相似三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2022•遂宁）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．

一十二．解直角三角形的应用（共1小题）
15．（2023•遂宁）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容测量湖边A、B两处的距离
成员ㅤㅤ组长：××ㅤㅤ组员：××××××××××××
工具测角仪，皮尺等
测量示意图
​
说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A、B两处的距离，通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．
测量数据
角的度数
∠A＝30°
∠B＝45°
∠C＝105°
边的长度
BC＝40.0米
AC＝56.4米
​数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，　 　．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段AB的长（为减小结果的误差，若有需要，取1.41，取1.73，取2.45进行计算，最后结果保留整数．）

一十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
16．（2021•遂宁）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求两棵银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．

一十四．列表法与树状图法（共1小题）
17．（2023•遂宁）为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表：
类别
A类
B类
C类
D类
阅读时长t（小时）
0≤t＜1
1≤t＜2
2≤t＜3
t≥3
频数
8
m
n
4
​请根据图表中提供的信息解答下面的问题：
（1）此次调查共抽取了 　 　名学生，m＝　 　，n＝　 　；
（2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是 　 　度；
（3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．


四川省遂宁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023•遂宁）先化简，再求值：•（1+），其中x＝（）﹣1．
【答案】．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝
＝1﹣，
∵x＝（）﹣1＝2，
∴原式＝1﹣＝．
二．根的判别式（共1小题）
2．（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；
（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
【答案】（1）10；
（2）m且m≠0．
【解答】解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝﹣4×2﹣3×（﹣6）＝10；
（2）根据题意得x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，
整理得mx2+（1﹣2m）x+m＝0，
∵关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，
∴Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，
解得m且m≠0．
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2023•遂宁）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．
①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；
（2）①W与m的函数关系式为W＝﹣m+600；②购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．
【解答】解：（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x+2）元，
根据题意得：＝，
解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
此时x+2＝12，
答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；
（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，
根据题意得：W＝（12﹣10）m+（15﹣12）（200﹣m）＝2m+600﹣3m＝﹣m+600，
∴W与m的函数关系式为W＝﹣m+600；
②甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴m≥2（200﹣m），
解得m≥，
由①知，W＝﹣m+600，﹣1＜0，m为正整数，
∴当m＝134时，W有最大值，最大值为466，
此时200﹣134＝66，
∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．
四．一次函数综合题（共1小题）
4．（2021•遂宁）已知平面直角坐标系中，点P（x0，y0）和直线Ax+By+C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax+By+C＝0的距离d可用公式d＝来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离，因为直线y＝2x+1可化为2x﹣y+1＝0，其中A＝2，B＝﹣1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离为：d＝＝＝＝．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线y＝x+9的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r＝4，判断⊙M与直线y＝x+9的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．
【答案】（1）3；（2）直线y＝x+9与⊙M相交，n＝2．
【解答】解：（1）∵y＝x+9可变形为x﹣y+9＝0，则其中A＝，B＝﹣1，C＝9，
由公式得，点M（0，3）到直线y＝x+9的距离，
∴点M到直线y＝x+9的距离为3；

（2）如图，由（1）可知：圆心到直线的距离d＝3，
∵圆的半径r＝4，
∴d＜r，
∴直线y＝x+9与⊙M相交，两交点记作E，F，
连接EM，过点M作MH⊥EF于H，
则EF＝2EH，
在Rt△EHM中，EM＝4，MH＝3，根据勾股定理得，EH＝＝＝，
∴弦长n＝EF＝2EH＝2．

五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
5．（2022•遂宁）已知一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2．
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．

【答案】（1）y＝x﹣1，图象见解答；
（2）点C的坐标为（3，2），当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜3；
（3）2．
【解答】解：（1）∵B点的横坐标为﹣2且在反比例函数y2＝的图象上，
∴y2＝＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣3），
∵点B（﹣2，﹣3）在一次函数y1＝ax﹣1的图象上，
∴﹣3＝a×（﹣2）﹣1，
解得a＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1，
∵y＝x﹣1，
∴x＝0时，y＝﹣1；x＝1时，y＝0；
∴图象过点（0，﹣1），（1，0），
函数图象如右图所示；
（2），
解得或，
∵一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2，
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜3；
（3）∵点B（﹣2，﹣3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x＝2代入y＝x﹣1，得y＝1，
∴S△ACD＝S△ADE+S△DEC＝＝2，
即△ACD的面积是2．

六．反比例函数综合题（共1小题）
6．（2021•遂宁）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于
点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）将直线y1向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值y1＞y2＞y3时，求x的取值范围．

【答案】（1），y1＝x+1；（2）N（0，7）或（0，﹣5）；（3）﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2．
【解答】解：（1）∵过点A（1，2），
∴m＝1×2＝2，
即反比例函数：，
当x＝﹣2时，a＝﹣1，即B（﹣2，﹣1），
∵y1＝kx+b过A（1，2）和B（﹣2，﹣1），
则，解得，
∴y1＝x+1；

（2）当x＝0时，代入y＝x+1中得，y＝1，即M（0，1），
∵S△AMN＝MN•|xA|＝3且xA＝1，
∴MN＝6，
∴N（0，7）或（0，﹣5）；

（3）如图，设y2与y3的图象交于C，D两点，

∵y1向下平移两个单位得y3且y1＝x+1，
∴y3＝x﹣1，
联立，解得或，
∴C（﹣1，﹣2），D（2，1），
∵y1＞y2＞y3，
∴﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2．
七．二次函数综合题（共3小题）
7．（2023•遂宁）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点O（0，0），对称轴过点B（2，0），直线l过点C（2，﹣2）且垂直于y轴．过点B的直线l1交抛物线于点M、N，交直线l于点Q，其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当BM：MQ＝3：5时，求点N的坐标；
（3）如图2，当点Q恰好在y轴上时，P为直线l1下方的抛物线上一动点，连结PQ、PO，其中PO交l1于点E，设△OQE的面积为S1，△PQE的面积为S2，求的最大值．

【答案】（1）y＝x2﹣x；
（2）N（6，3）；
（3）的最大值为1．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点O（0，0），对称轴过点B（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，c＝0，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），代入y＝x2+bx，得4+4b＝0，
解得：b＝﹣1，
∴该抛物线解析式为y＝x2﹣x；
（2）如图1，过点M作MG⊥直线l于点G，
∵直线l过点C（2，﹣2）且垂直于y轴，
∴∠QGM＝90°，

∵B（2，0），C（2，﹣2），
∴BC＝2，∠QCB＝90°，
∴∠QGM＝∠QCB，
∵∠MQG＝∠BQC，
∴△QMG∽△QBC，
∴＝，
∵BM：MQ＝3：5，
∴＝，
∴＝，
∴MG＝，
∴点M的纵坐标为﹣，
由x2﹣x＝﹣，
解得：x1＝1，x2＝3（舍去），
∴M（1，﹣），
设直线l1的解析式为y＝kx+n，则，
解得：，
∴直线l1的解析式为y＝x﹣，
联立，得，
解得：（舍去），，
∴N（6，3）；
（3）当点Q恰好在y轴上时，Q（0，﹣2），
设直线l1的解析式为y＝k′x+n′，则，
解得：，
∴直线l1的解析式为y＝x﹣2，
设P（m，m2﹣m），过点P作PH∥y轴交直线l1于点H，如图2，
则H（m，m﹣2），

∴PH＝m﹣2﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m﹣2，
∵PH∥OQ，
∴△PEH∽△OEQ，
∴＝＝＝﹣m2+m﹣1，
∴＝＝＝﹣m2+m﹣1＝﹣（m﹣4）2+1，
∵﹣＜0，
∴当m＝4时，取得最大值，最大值为1．
8．（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）；
（3）点N的坐标为（，）或（1+，﹣2+）或（6+，3+）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）．
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．

由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F，
∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC垂直平分DD2，且D（0，﹣2），
∴D2（1，﹣3），
∵D，D1关于x轴对称，
∴D1（0，2），
∴D1D2＝＝＝，
∴△DEF的周长的最小值为．

（3）∵M到x轴距离为d，AB＝4，连接BM．
∴S△ABM＝2d，
又∵S△AMN＝2d，
∴S△ABM＝S△AMN，
∴B，N到AM的距离相等，
∵B，N在AM的同侧，
∴AM∥BN，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
则有，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴设直线AM的解析式为y＝x+n，
∵A（﹣1，0），
∴直线AM的解析式为y＝x+1，
由，解得或，
∴M（4，5），
∵点N在射线CB上，
∴设N（t，t﹣3），
过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．

∵A（﹣1，0），M（4，5），N（t，t﹣3），
∴AM＝5，AN＝，MN＝，
∵△AMN是等腰三角形，
当AM＝AN时，5＝，
解得t＝1±，
当AM＝MN时，5＝，
解得t＝6±，
当AN＝MN时，＝，
解得t＝，
∵N在第一象限，
∴t＞3，
∴t的值为，1+，6+，
∴点N的坐标为（，）或（1+，﹣2+）或（6+，3+）．
9．（2021•遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3．m＝2．
（2）点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）．
（3）10+4+2．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x＝﹣1，与x轴的交点为A，B（﹣3，0），
∴A（1，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，﹣3）代入得到，a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
∵直线y＝﹣2x+m经过点A（1，0），
∴0＝﹣2+m，
∴m＝2．

（2）如图1中，

∵直线AF的解析式为y＝﹣2x+2，直线交y轴于D，与抛物线交于点E，
∴D（0，2），
由，解得即点A，或，
∴E（﹣5，12），
过点E作EP⊥y轴于P．
∵∠EPD＝∠AOD＝90°，∠EDP＝∠ODA，
∴△EDP∽△ADO，
∴P（0，12）．
过点E作EP′⊥DE交y轴于P′，
同法可证，△P′DE∽△ADO，
∴∠P′＝∠DAO，
∴tan∠P′＝tan∠DAO，
∴＝，
∴＝，
∴PP′＝2.5，
∴P′（0，14.5），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）．

（3）∵E，F为定点，
∴线段EF的长为定值，
∴当EM+FN的和最小时，四边形MEFN的周长最小，
如图2中，画出直线y＝1，将点F向左平移2个单位得到F′，
作点E关于直线y＝1的对称点E′，连接E′F′与直线y＝1交于点M，过点F作FN∥E′F′交直线y＝1于点N，

由作图可知，EM＝E′M，FN＝F′M，
∵E′，M，F′三点共线，
∴EM+FN＝E′M+F′M＝E′F′，此时EM+FN的值最小，
∵点F为直线y＝﹣2x+2与x＝﹣1的交点，
∴F（﹣1，4），
∴F′（﹣3，4），
∵E（﹣5，12），
∴E′（﹣5，﹣10），
如图，延长FF′交线段EE′于W，
∵FF′∥直线y＝1，
∴FW⊥EE′，
在Rt△WEF中，EF＝＝＝4，
在Rt△E′F′W中，E′F′＝＝＝10，
∴四边形MEFN的周长的最小值＝ME+FN+EF+MN＝E′F′+EF+MN＝10+4+2．
八．全等三角形的判定与性质（共1小题）
10．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点O为对角线BD的中点，过点O的直线l分别与AD、BC所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当直线l⊥BD时，连结BE、DF，试判断四边形EBFD的形状，并说明理由．

【答案】（1）证明见解答；
（2）四边形EBFD是菱形，理由见解答．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
∵点O为对角线BD的中点，
∴OD＝OB，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）．
（2）解：四边形EBFD是菱形，理由如下：
∵OD＝OB，直线l经过点O且l⊥BD，
∴直线l是线段BD的垂直平分线，
∴DE＝BE，DF＝BF，
∵△DOE≌△BOF，
∴DE＝BF，
∵DE＝BE＝DF＝BF，
∴四边形EBFD是菱形．

九．菱形的判定（共1小题）
11．（2021•遂宁）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．

【答案】（1）见解析；
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由见解析．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，BE∥DF，
∴∠E＝∠F，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
一十．圆的综合题（共2小题）
12．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•CN；
（3）当AB＝6，sin∠DCA＝时，求AM的长．

​

【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）AM＝6．
【解答】（1）证明：连接OD交AC于点H，如图，

∵AD＝CD，
∴＝，
∴半径OD⊥AC，
∴∠AHO＝90°，
∵∠ADM＝∠DAC，
∴AC∥MN，
∴∠MDO＝∠AHO＝90°，
∴半径OD⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）证明：连接BD，如图，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵∠ADM＝∠DAC，
∴AC∥MN，
∴∠ACD＝∠CDN，∠DNC＝∠ACB＝90°＝∠ADB，
∵＝，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＝∠CDN，
∴△CDN∽△ABD，
∴＝，
∵AD＝CD，
∴＝，
∴AD2＝AB•CN；
（3）解：连接OD交AC于点H，连接BD，如图，

由（1）（2）得：∠ABD＝∠CDN＝∠ACD，∠ADB＝∠BNM＝∠AHO＝∠MDO＝90°，
∴sin∠ABD＝sin∠CDN＝sin∠ACD＝，
∵AB＝6，
∴AD＝AB•sin∠ABD＝6×＝2，
∵AD＝CD，
∴CD＝2，
∴CN＝CD•sin∠CDN＝2×＝2，
∴DN＝＝＝2，
∵∠CND＝∠CHD＝∠NDH＝90°，
∴四边形CNDH是矩形，
∴CH＝DN＝2，
∵OD⊥AC，
∴AC＝2CH＝4，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝2，
∵AC∥MN，
∴＝，即＝，
∴AM＝6．
13．（2021•遂宁）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）求△ABC的面积；
（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；
②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．

【答案】（1）证明过程见解析；
（2）；
（3）①3；
②CE＝2时，CF最大，最大值为2．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1，

∵AD＝CD，∠A＝30°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠CDB＝60°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝60°，
∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，
∵OC是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OCD＝60°，OC＝OD，
∴△DCO是等边三角形，
∴CD＝AD＝OD＝1，
作CH⊥BD于点H，则DH＝，如图2，

∴CH＝＝＝，
∵AB＝AD+BD＝3，
∴S△ABC＝＝．
（3）①当点E运动到与点C关于直径AB对称时，CE⊥AB于点K，如图3，

∵BD为⊙O的直径，CK＝，
∴CE＝2CK＝，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°，
∵∠CDB＝∠CEB＝60°，
∴CF＝CE•tan60°＝＝3，
②∵点E在上运动过程中，∠CDB＝∠CEB＝60°，
在Rt△ECF中，tan60°＝，
∴CF＝CE，
∴当CE最大时，CF取得最大值，
∴当CE为直径，即CE＝2时，CF最大，最大值为2．
一十一．相似三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2022•遂宁）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．

【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD．

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PD，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线．
（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD．
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△ABD∽△DCP；
（3）解法一：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝5，
由（2）知：△ABD∽△DCP，
∴＝，即＝，
∴CP＝，
∴AP＝AC+CP＝8+＝，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，
∴△BAD∽△DAP，
∴＝，即＝，
∴AD2＝6×＝98，
∴AD＝7，
∵OE⊥AD，
∴DE＝AD＝，
∴OE＝＝＝，
即点O到AD的距离是．
解法二：如图，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，则∠M＝∠CND＝90°，

∵AD平分∠BAC，∠BAC＝90°，
∴DM＝DN，∠DAM＝∠CAD＝45°，
∵A，B，D，C四点共圆，
∴∠DBM＝∠DCN，
∴△DCN≌△DBM（AAS），
∴CN＝BM，
同理得：AM＝AN，
∵AB＝6，AC＝8，
∴AM＝DM＝7，
∴AD＝7，
由解法一可得：OE＝．
即点O到AD的距离是．
一十二．解直角三角形的应用（共1小题）
15．（2023•遂宁）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容测量湖边A、B两处的距离
成员ㅤㅤ组长：××ㅤㅤ组员：××××××××××××
工具测角仪，皮尺等
测量示意图
​
说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A、B两处的距离，通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．
测量数据
角的度数
∠A＝30°
∠B＝45°
∠C＝105°
边的长度
BC＝40.0米
AC＝56.4米
​数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，　BC＝40.0米（答案不唯一）　．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段AB的长（为减小结果的误差，若有需要，取1.41，取1.73，取2.45进行计算，最后结果保留整数．）

【答案】BC＝40.0米（答案不唯一），线段AB的长约为77米．
【解答】解：若选择的条件是：BC＝40.0米，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，

在Rt△BCD中，∠B＝45°，BC＝40米，
∴BD＝BC•cos45°＝40×＝20（米），
CD＝BC•sin45°＝40×＝20（米），
在Rt△ADC中，∠A＝30°，
∴AD＝CD＝20（米），
∴AB＝AD+BD＝20+20≈77（米），
∴线段AB的长约为77米；
若选择的条件是：AC＝56.4米，

过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝56.4米，
∴CD＝AC＝28.2（米），
AD＝CD＝28.2（米），
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BD＝＝28.2（米），
∴AB＝AD+BD＝28.2+28.2≈77（米），
∴线段AB的长约为77米．
一十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
16．（2021•遂宁）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求两棵银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．

【答案】（1）30°；
（2）（10+10）米．
【解答】解：（1）设AD与BC交于点F，
由题意得BE∥AD，
∵BE∥AD且∠EBF＝60°，
∴∠BFA＝∠EBF＝60°，
∵∠BFA＝∠C+∠CAD且∠CAD＝30°，
∴∠C＝∠BFA﹣∠CAD＝30°；
（2）过点B作BG⊥AD于G．
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝∠BGD＝90°，
在Rt△AGB中，AB＝20米，∠BAG＝45°，
AG＝BG＝20×sin45°＝（米），
在Rt△BGF中，∠BFG＝60°，
∴BF＝＝＝（米），FG＝＝＝（米），
∵∠C＝∠CAD＝30°，
∴CF＝AF＝AG+FG＝（10+）（米），
∴BC＝BF+CF＝（10+10）米，
答：两棵银杏树B、C之间的距离为（10+10）米．

一十四．列表法与树状图法（共1小题）
17．（2023•遂宁）为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表：
类别
A类
B类
C类
D类
阅读时长t（小时）
0≤t＜1
1≤t＜2
2≤t＜3
t≥3
频数
8
m
n
4
​请根据图表中提供的信息解答下面的问题：
（1）此次调查共抽取了 　40　名学生，m＝　18　，n＝　10　；
（2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是 　162　度；
（3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

【答案】（1）40，18，12；
（2）162；
（3）．
【解答】解：（1）此次调查共抽取的学生人数为：8÷20%＝40（名），
∴n＝40×25%＝10，
∴m＝40﹣8﹣10﹣4＝18，
故答案为：40，18，10；
（2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是360°×＝162°，
故答案为：162；
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为＝．