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    四川省南充市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类

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    四川省南充市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类

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    这是一份四川省南充市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类,共26页。试卷主要包含了2,其中a=﹣,,其中x=﹣1,x﹣3m2+m=0,两点,与y轴交于点C等内容,欢迎下载使用。
    四川省南充市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类
    一.整式的混合运算—化简求值(共2小题)
    1.(2023•南充)先化简,再求值:(a﹣2)(a+2)﹣(a+2)2,其中a=﹣.
    2.(2022•南充)先化简,再求值:(x+2)(3x﹣2)﹣2x(x+2),其中x=﹣1.
    二.根与系数的关系(共2小题)
    3.(2023•南充)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣1)x﹣3m2+m=0.
    (1)求证:无论m为何值,方程总有实数根;
    (2)若x1,x2是方程的两个实数根,且+=﹣,求m的值.
    4.(2022•南充)已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2=0有实数根.
    (1)求实数k的取值范围.
    (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=﹣1,求k的值.
    三.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)
    5.(2022•南充)如图,直线AB与双曲线交于A(1,6),B(m,﹣2)两点,直线BO与双曲线在第一象限交于点C,连接AC.
    (1)求直线AB与双曲线的解析式.
    (2)求△ABC的面积.

    四.二次函数的应用(共1小题)
    6.(2023•南充)某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生产并销售,每日产销x件.已知A产品成本价m元/件(m为常数,且4≤m≤6,售价8元/件,每日最多产销500件,同时每日共支付专利费30元;B产品成本价12元/件,售价20元/件,每日最多产销300件,同时每日支付专利费y元,y(元)与每日产销x(件)满足关系式y=80+0.01x2.
    (1)若产销A,B两种产品的日利润分别为w1元,w2元,请分别写出w1,w2与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
    (2)分别求出产销A,B两种产品的最大日利润.(A产品的最大日利润用含m的代数式表示)
    (3)为获得最大日利润,该工厂应该选择产销哪种产品?并说明理由.
    【利润=(售价﹣成本)×产销数量﹣专利费】
    五.二次函数综合题(共2小题)
    7.(2023•南充)如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)点P在抛物线上,点Q在x轴上,以B,C,P,Q为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;
    (3)如图2,抛物线顶点为D,对称轴与x轴交于点E,过点K(1,3)的直线(直线KD除外)与抛物线交于G,H两点,直线DG,DH分别交x轴于点M,N.试探究EM•EN是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由.

    8.(2022•南充)抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A,B(4,0),与y轴交于点C(0,﹣4).
    (1)求抛物线的解析式.
    (2)如图1,▱BCPQ顶点P在抛物线上,如果▱BCPQ面积为某值时,符合条件的点P有且只有三个,求点P的坐标.
    (3)如图2,点M在第二象限的抛物线上,点N在MO延长线上,OM=2ON,连接BN并延长到点D,使ND=NB.MD交x轴于点E,∠DEB与∠DBE均为锐角,tan∠DEB=2tan∠DBE,求点M的坐标.


    六.菱形的性质(共1小题)
    9.(2022•南充)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.
    求证:(1)△ADE≌△CDF.
    (2)ME=NF.

    七.四边形综合题(共2小题)
    10.(2023•南充)如图,正方形ABCD中,点M在边BC上,点E是AM的中点,连接ED,EC.
    (1)求证:ED=EC;
    (2)将BE绕点E逆时针旋转,使点B的对应点B′落在AC上,连接MB′.当点M在边BC上运动时(点M不与B,C重合),判断△CMB′的形状,并说明理由.
    (3)在(2)的条件下,已知AB=1,当∠DEB′=45°时,求BM的长.

    11.(2022•南充)如图,在矩形ABCD中,点O是AB的中点,点M是射线DC上动点,点P在线段AM上(不与点A重合),OP=AB.
    (1)判断△ABP的形状,并说明理由.
    (2)当点M为边DC中点时,连接CP并延长交AD于点N.求证:PN=AN.
    (3)点Q在边AD上,AB=5,AD=4,DQ=,当∠CPQ=90°时,求DM的长.


    八.切线的性质(共1小题)
    12.(2023•南充)如图,AB与⊙O相切于点A,半径OC∥AB,BC与⊙O相交于点D,连接AD.
    (1)求证:∠OCA=∠ADC;
    (2)若AD=2,tanB=,求OC的长.

    九.列表法与树状图法(共2小题)
    13.(2023•南充)为培养学生劳动习惯,提升学生劳动技能,某校在五月第二周开展了劳动教育实践周活动.七(1)班提供了四类活动:A.物品整理,B.环境美化,C.植物栽培,D.工具制作.要求每个学生选择其中一项活动参加,该班数学科代表对全班学生参与四类活动情况进行了统计,并绘制成统计图(如图).
    (1)已知该班有15人参加A类活动,则参加C类活动有多少人?
    (2)该班参加D类活动的学生中有2名女生和2名男生获得一等奖,其中一名女生叫王丽,若从获得一等奖的学生中随机抽取两人参加学校“工具制作”比赛,求刚好抽中王丽和1名男生的概率.

    14.(2022•南充)为传播数学文化,激发学生学习兴趣,学校开展数学学科月活动,七年级开展了四个项目:A.阅读数学名著;B.讲述数学故事;C.制作数学模型;D.挑战数学游戏.要求七年级学生每人只能参加一项.为了解学生参加各项目情况,随机调查了部分学生,将调查结果制作成统计表和扇形统计图(如图),请根据图表信息解答下列问题:
    项目
    A
    B
    C
    D
    人数/人
    5
    15
    a
    b
    (1)a=   ,b=   .
    (2)扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为    度.
    (3)在月末的展示活动中,“C”项目中七(1)班有3人获得一等奖,七(2)班有2人获得一等奖,现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛,请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率.


    四川省南充市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类
    参考答案与试题解析
    一.整式的混合运算—化简求值(共2小题)
    1.(2023•南充)先化简,再求值:(a﹣2)(a+2)﹣(a+2)2,其中a=﹣.
    【答案】﹣4a﹣8,﹣2.
    【解答】解:(a﹣2)(a+2)﹣(a+2)2
    =a2﹣4﹣a2﹣4a﹣4
    =﹣4a﹣8,
    当a=﹣时,原式=﹣4×﹣8=﹣2.
    2.(2022•南充)先化简,再求值:(x+2)(3x﹣2)﹣2x(x+2),其中x=﹣1.
    【答案】﹣2.
    【解答】解:原式=(x+2)(3x﹣2﹣2x)
    =(x+2)(x﹣2)
    =x2﹣4,
    当x=﹣1时,
    原式=(﹣1)2﹣4=﹣2.
    二.根与系数的关系(共2小题)
    3.(2023•南充)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣1)x﹣3m2+m=0.
    (1)求证:无论m为何值,方程总有实数根;
    (2)若x1,x2是方程的两个实数根,且+=﹣,求m的值.
    【答案】(1)见解答;
    (2)m=1或m=.
    【解答】(1)证明:∵Δ=[﹣(2m﹣1)]2﹣4×1×(﹣3m2+m)
    =4m2﹣4m+1+12m2﹣4m
    =16m2﹣8m+1
    =(4m﹣1)2≥0,
    ∴方程总有实数根;

    (2)解:由题意知,x1+x2=2m﹣1,x1x2=﹣3m2+m,
    ∵+===﹣,
    ∴,整理得5m2﹣7m+2=0,
    解得m=1或m=.
    4.(2022•南充)已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2=0有实数根.
    (1)求实数k的取值范围.
    (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=﹣1,求k的值.
    【答案】(1)k≤;(2)3.
    【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2=0有实数根,
    ∴Δ=32﹣4×1×(k﹣2)≥0,
    解得k≤,
    即k的取值范围是k≤;
    (2)∵方程x2+3x+k﹣2=0的两个实数根分别为x1,x2,
    ∴x1+x2=﹣3,x1x2=k﹣2,
    ∵(x1+1)(x2+1)=﹣1,
    ∴x1x2+(x1+x2)+1=﹣1,
    ∴k﹣2+(﹣3)+1=﹣1,
    解得k=3,
    即k的值是3.
    三.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)
    5.(2022•南充)如图,直线AB与双曲线交于A(1,6),B(m,﹣2)两点,直线BO与双曲线在第一象限交于点C,连接AC.
    (1)求直线AB与双曲线的解析式.
    (2)求△ABC的面积.

    【答案】(1)直线AB的解析式为y=2x+4,双曲线的解析式为y=;
    (2)16.
    【解答】解:(1)设双曲线的解析式为y=,
    ∵点A(1,6)在该双曲线上,
    ∴6=,
    解得k=6,
    ∴y=,
    ∵B(m,﹣2)在双曲线y=上,
    ∴﹣2=,
    解得m=﹣3,
    设直线AB的函数解析式为y=ax+b,

    解得,
    即直线AB的解析式为y=2x+4;
    (2)方法一:作BG∥x轴,FG∥y轴,FG和BG交于点G,作BE∥y轴,FA∥x轴,BE和FA交于点E,如右图所示,
    直线BO的解析式为y=mx,
    ∵点B(﹣3,﹣2),
    ∴﹣2=﹣3m,
    解得m=,
    ∴直线BO的解析式为y=x,

    解得或,
    ∴点C的坐标为(3,2),
    ∵点A(1,6),B(﹣3,﹣2),C(3,2),
    ∴EB=8,BG=6,CG=4,CF=4,AF=2,AE=4,
    ∴S△ABC=S矩形EBGF﹣S△AEB﹣S△BGC﹣S△AFC
    =8×6﹣﹣﹣
    =48﹣16﹣12﹣4
    =16.
    方法二:作AD⊥x轴交AO于点D,如右图所示,
    设直线BO的解析式为y=mx,
    ∵点B(﹣3,﹣2),
    ∴﹣2=﹣3m,
    解得m=,
    ∴直线BO的解析式为y=x,
    当x=1时,y=×1=,
    ∴点D的坐标为(1,),
    ∴AD=6﹣=,
    ∴S△ABC=S△ABD+S△ADC==+=16.


    四.二次函数的应用(共1小题)
    6.(2023•南充)某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生产并销售,每日产销x件.已知A产品成本价m元/件(m为常数,且4≤m≤6,售价8元/件,每日最多产销500件,同时每日共支付专利费30元;B产品成本价12元/件,售价20元/件,每日最多产销300件,同时每日支付专利费y元,y(元)与每日产销x(件)满足关系式y=80+0.01x2.
    (1)若产销A,B两种产品的日利润分别为w1元,w2元,请分别写出w1,w2与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
    (2)分别求出产销A,B两种产品的最大日利润.(A产品的最大日利润用含m的代数式表示)
    (3)为获得最大日利润,该工厂应该选择产销哪种产品?并说明理由.
    【利润=(售价﹣成本)×产销数量﹣专利费】
    【答案】(1)w1=(8﹣m)x﹣30,(0≤x≤500);w2=﹣0.01x2+8x﹣80,(0≤x≤300).
    (2)A产品:(﹣500m+3970)元;B产品:1420元.
    (3)当m=5.1时,选择A,B产品产销均可;
    当4≤m<5.1时,选择A种产品产销;
    当5.1<m≤6时,选择B种产品产销.
    【解答】解:(1)根据题意,得w1=(8﹣m)x﹣30,(0≤x≤500).
    w2=(20﹣12)x﹣(80+0.01x2)
    =﹣0.01x2+8x﹣80,(0≤x≤300).
    (2)∵8﹣m>0,∴w1随x的增大而增大,又0≤x≤500,
    ∴当x=500时,w1有最大值,即w最大=﹣500m+3970(元).
    ∵w2=﹣0.01x2+8x﹣80=﹣0.01(x﹣400)2+1520.
    又∵﹣0.01<0.对称轴x=400.
    ∴当0≤x≤300时,w2随x的增大而增大,
    ∴当x=300时,w2最大=﹣0.01×(300﹣400)2+1520=1420(元).
    (3)①若w1最大=w2最大,即﹣500m+3970=1420,解得m=5.1,
    ②若w1最大>w2最大,即﹣500m+3970>1420,解得m<5.1,
    ③若w1最大<w2最大,即﹣500m+3970<1420,解得m>5.1.
    又4≤m≤6,综上可得,为获得最大日利润:
    当m=5.1时,选择A,B产品产销均可;
    当4≤m<5.1时,选择A种产品产销;
    当5.1<m≤6时,选择B种产品产销.
    答:当A产品成本价为5.1元时,工厂选择A或B产品产销日利润一样大,当A产品4≤m<5.1时,工厂选择A产品产销日利润最大,当5.1<m≤6时,工厂选择B产品产销日利润最大.
    五.二次函数综合题(共2小题)
    7.(2023•南充)如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)点P在抛物线上,点Q在x轴上,以B,C,P,Q为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;
    (3)如图2,抛物线顶点为D,对称轴与x轴交于点E,过点K(1,3)的直线(直线KD除外)与抛物线交于G,H两点,直线DG,DH分别交x轴于点M,N.试探究EM•EN是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由.

    【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;
    (2)点P的坐标为:(2,3),(1+,﹣3)或(1﹣,﹣3);
    (3)是定值为16,理由见解答.
    【解答】解:(1)由题意得,抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),
    即﹣3a=3,
    则抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+3;

    (2)设点P的坐标为:(m,﹣m2+2m+3),点Q(x,0),
    当BC或BP为对角线时,由中点坐标公式得:3=﹣m2+2m+3,
    解得:m=0(舍去)或2,
    则点P(2,3);
    当BQ为对角线时,同理可得:0=﹣m2+2m+3+3,
    解得:m=1±,
    则点P的坐标为:(2,3),(1+,﹣3)或(1﹣,﹣3);

    (3)是定值,理由:
    直线GH过点(1,3),故设直线GH的表达式为:y=k(x﹣1)+3,
    设点G、H的坐标分别为:(m,﹣m2+2m+3),点N(n,﹣n2+2n+3),
    联立y=k(x﹣1)+3和y=﹣x2+2x+3并整理得:x2+(k﹣2)x﹣k=0,
    则m+n=2﹣k,mn=﹣k,
    由点G、D的坐标得,直线GD的表达式为:y=﹣(m﹣1)(x﹣1)+4,
    令y=0,则x=1+,即点M(1+,0),
    则EM=1﹣1﹣=﹣,
    同理可得,EN=,
    则EM•EN=﹣×=﹣===16.
    8.(2022•南充)抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A,B(4,0),与y轴交于点C(0,﹣4).
    (1)求抛物线的解析式.
    (2)如图1,▱BCPQ顶点P在抛物线上,如果▱BCPQ面积为某值时,符合条件的点P有且只有三个,求点P的坐标.
    (3)如图2,点M在第二象限的抛物线上,点N在MO延长线上,OM=2ON,连接BN并延长到点D,使ND=NB.MD交x轴于点E,∠DEB与∠DBE均为锐角,tan∠DEB=2tan∠DBE,求点M的坐标.


    【答案】(1)y=﹣;
    (2)点P(2,﹣)或(2﹣2,﹣2﹣)或(2+2,2﹣);
    (3)M(﹣4,).
    【解答】解:(1)由题意得,

    ∴,
    ∴y=﹣;
    (2)如图1,

    作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1,直线l交y轴于E,作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离,
    ∵BC的解析式为y=x﹣4,
    ∴设直线l的解析式为:y=x+m,
    由=x+m得,
    x2﹣4x﹣3(m+4)=0,
    ∵Δ=0,
    ∴﹣3(m+4)=4,
    ∴m=﹣,
    ∴x2﹣4x+4=0,y=x﹣,
    ∴x=2,y=﹣,
    ∴P1(2,﹣),
    ∵E(0,﹣),C(0,﹣4),
    ∴F(0,﹣4×2﹣(﹣)),
    即(0,﹣),
    ∴直线m的解析式为:y=x﹣,
    ∴,
    ∴,,
    ∴P2(2﹣2,﹣2﹣),P3(2+2,2﹣),
    综上所述:点P(2,﹣)或(2﹣2,﹣2﹣)或(2+2,2﹣);
    (3)如图2,

    作MG⊥x轴于G,作NH⊥x轴于H,作MK⊥DF,交DF的延长线于K,
    设D点的横坐标为a,
    ∵BN=DN,
    ∴BD=2BN,N点的横坐标为:,
    ∴OH=,
    ∵NH∥DF,
    ∴△BHN∽△BFD,
    ∴,
    ∴DF=2NH,
    同理可得:△OMG∽△ONH,
    ∴=,
    ∴MG=2NH,OG=2OH=a+4,
    ∴KF=MG=DF,
    ∵tan∠DEB=2tan∠DBE
    ∴=2•,
    ∴EF=,
    ∵BF=4﹣a,
    ∴EF=,
    ∵EF∥MK,
    ∴△DEF∽△DMK,
    ∴=,
    ∴,
    ∴a=0,
    ∴OG=a+4=4,
    ∴G(﹣4,0),
    当x=﹣4时,y=﹣﹣4=,
    ∴M(﹣4,).
    六.菱形的性质(共1小题)
    9.(2022•南充)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.
    求证:(1)△ADE≌△CDF.
    (2)ME=NF.

    【答案】(1)证明过程见解答;
    (2)证明过程见解答.
    【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
    ∴DA=DC,∠DAE=∠DCF,AB=CB,
    ∵BE=BF,
    ∴AE=CF,
    在△ADE和△CDF中,

    ∴△ADE≌△CDF(SAS);
    (2)由(1)知△ADE≌△CDF,
    ∴∠ADM=∠CDN,DE=DF,
    ∵四边形ABCD是菱形,
    ∴∠DAM=∠DCN,
    ∵∠ADM=∠CDN,
    ∴∠DMA=∠DNC,
    ∴∠DMN=∠DNM,
    ∴DM=DN,
    ∴DE﹣DM=DF﹣DN,
    ∴ME=NF.
    七.四边形综合题(共2小题)
    10.(2023•南充)如图,正方形ABCD中,点M在边BC上,点E是AM的中点,连接ED,EC.
    (1)求证:ED=EC;
    (2)将BE绕点E逆时针旋转,使点B的对应点B′落在AC上,连接MB′.当点M在边BC上运动时(点M不与B,C重合),判断△CMB′的形状,并说明理由.
    (3)在(2)的条件下,已知AB=1,当∠DEB′=45°时,求BM的长.

    【答案】(1)证明见解析;
    (2)△CMB′是等腰直角三角形,理由见解析;
    (3)BM=.
    【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,AD=BC,∠BAD=∠ABC=90°,
    ∵E为AM的中点,
    ∴AE=BE,
    ∴∠EAB=∠EBA,
    ∴∠EAD=∠EBC,
    在△EAD和△EBC中,

    ∴△EAD≌△EBC(SAS),
    ∴ED=EC;
    (2)解:△CMB′是等腰直角三角形,理由如下:
    根据旋转的性质可得,EB′=EB,
    ∵EB=AE=ME,
    ∴EB′=AE=ME,
    ∴∠EAB′=∠EB′A,∠EMB′=∠EB′M,
    ∵∠EAB′+∠EB′A+∠EB′M+∠EMB′=180°,
    ∴∠AB′M=90°,
    ∴∠MB′C=90°,
    在正方形ABCD中,∠ACB=45°,
    ∴∠B′MC=45°,
    ∴B′M=B′C,
    ∴△CMB′是等腰直角三角形;
    (3)解:延长BE交AD于点F,如图所示:
    ∵∠BEM=2∠BAE,∠B′EM=2∠B′AE,
    ∵∠BAB′=45°,
    ∴∠BEB′=90°,
    ∴∠B′EF=90°,
    ∵∠DEB′=45°,
    ∴∠DEF=45°,
    ∵△EAD≌△EBC,
    ∴∠AED=∠BEC,
    ∵∠AEF=∠BEM,
    ∴∠CEM=∠DEF=45°,
    ∵∠MCA=45°,
    ∴∠CEM=∠MCA,
    又∵∠CME=∠AMC,
    ∴△CME∽△AMC,
    ∴CM:AM=EM:CM,
    ∵EM=AM,
    ∴,
    在正方形ABCD中,BC=AB=1,
    设BM=x,则CM=1﹣x,
    根据勾股定理,AM2=1+x2,
    ∴=(1﹣x)2,
    解得x=或x=2+(舍去),
    ∴BM=.

    11.(2022•南充)如图,在矩形ABCD中,点O是AB的中点,点M是射线DC上动点,点P在线段AM上(不与点A重合),OP=AB.
    (1)判断△ABP的形状,并说明理由.
    (2)当点M为边DC中点时,连接CP并延长交AD于点N.求证:PN=AN.
    (3)点Q在边AD上,AB=5,AD=4,DQ=,当∠CPQ=90°时,求DM的长.


    【答案】(1)△ABP是直角三角形,理由见解答;
    (2)证明见解答;
    (3)或12.
    【解答】(1)解:△ABP是直角三角形,理由如下:
    ∵点O是AB的中点,
    ∴AO=OB=AB,
    ∵OP=AB,
    ∴OP=OA=OB,
    ∴∠OBP=∠OPB,∠OAP=∠APO,
    ∵∠OAP+∠APO+∠OBP+∠BPO=180°,
    ∴∠APO+∠BPO=90°,
    ∴∠APB=90°,
    ∴△ABP是直角三角形;
    (2)证明:如图1,延长AM,BC交于点Q,

    ∵M是CD的中点,
    ∴DM=CM,
    ∵∠D=∠MCQ=90°,∠AMD=∠QMC,
    ∴△ADM≌△QCM(ASA),
    ∴AD=CQ=BC,
    ∵∠BPQ=90°,
    ∴PC=BQ=BC,
    ∴∠CPB=∠CBP,
    ∵∠OPB=∠OBP,
    ∴∠OBC=∠OPC=90°,
    ∴∠OPN=∠OPA+∠APN=90°,
    ∵∠OAP+∠PAN=90°,∠OAP=∠OPA,
    ∴∠APN=∠PAN,
    ∴PN=AN;
    (3)解:分两种情况:
    ①如图2,点M在CD上时,过点P作GH∥CD,交AD于G,交BC于H,

    设DM=x,QG=a,则CH=a+,BH=AG=4﹣﹣a=﹣a,
    ∵PG∥DM,
    ∴△AGP∽△ADM,
    ∴=,即,
    ∴PG=x﹣ax,
    ∵∠CPQ=90°,
    ∴∠CPH+∠QPG=90°,
    ∵∠CPH+∠PCH=90°,
    ∴∠QPG=∠PCH,
    ∴tan∠QPG=tan∠PCH,即=,
    ∴PH•PG=QG•CH,
    同理得:∠APG=∠PBH,
    ∴tan∠APG=tan∠PBH,即=,
    ∴PG•PH=AG•BH=AG2,
    ∴AG2=QG•CH,即(﹣a)2=a(+a),
    ∴a=,
    ∵PG•PH=AG2,
    ∴(x﹣x)•(5﹣x+x)=(﹣)2,
    解得:x1=12(舍),x2=,
    ∴DM=;
    ②如图3,当M在DC的延长线上时,同理得:DM=12,

    综上,DM的长是或12.
    八.切线的性质(共1小题)
    12.(2023•南充)如图,AB与⊙O相切于点A,半径OC∥AB,BC与⊙O相交于点D,连接AD.
    (1)求证:∠OCA=∠ADC;
    (2)若AD=2,tanB=,求OC的长.

    【答案】(1)证明过程见解答;
    (2)OC=.
    【解答】(1)证明:连接OA交BC于点F,
    ∵AB是⊙O的切线,
    ∴∠OAB=90°,
    ∵OC∥AB,
    ∴∠AOC=∠OAB=90°,
    ∵CO=OA,
    ∴∠OCA=45°,
    ∴∠ADC=∠AOC=45°,
    ∴∠OCA=∠ADC;
    (2)解:过点A作AE⊥BC于点E,
    ∵∠ADE=45°,
    ∴△ADE是等腰直角三角形,
    ∴AE=DE=AD=,
    ∵tanB==,
    ∴BE=3AE=3,
    ∴AB===2,
    在Rt△ABF中,tanB==,
    ∴AF=AB=,
    ∵OC∥AB,
    ∴∠OCF=∠B,
    ∴tan∠OCF==,
    设OC=r,则OF=OA﹣AF=r﹣,
    ∴3 (r﹣)=r,
    解得r=,
    ∴OC=.

    九.列表法与树状图法(共2小题)
    13.(2023•南充)为培养学生劳动习惯,提升学生劳动技能,某校在五月第二周开展了劳动教育实践周活动.七(1)班提供了四类活动:A.物品整理,B.环境美化,C.植物栽培,D.工具制作.要求每个学生选择其中一项活动参加,该班数学科代表对全班学生参与四类活动情况进行了统计,并绘制成统计图(如图).
    (1)已知该班有15人参加A类活动,则参加C类活动有多少人?
    (2)该班参加D类活动的学生中有2名女生和2名男生获得一等奖,其中一名女生叫王丽,若从获得一等奖的学生中随机抽取两人参加学校“工具制作”比赛,求刚好抽中王丽和1名男生的概率.

    【答案】(1)参加C类活动有10人;
    (2).
    【解答】解:(1)该班总人数为:15÷30%=50(人),
    ∴参加C类活动有:50×(1﹣30%﹣28%﹣22%)=50×20%=10(人),
    答:参加C类活动有10人;
    (2)把2名女生分别记为A、B(其中A为王丽),2名男生分别记为C、D,
    画树状图如下:

    共有12种等可能的结果,其中刚好抽中王丽和1名男生的结果有4种,
    ∴刚好抽中王丽和1名男生的概率为=.
    14.(2022•南充)为传播数学文化,激发学生学习兴趣,学校开展数学学科月活动,七年级开展了四个项目:A.阅读数学名著;B.讲述数学故事;C.制作数学模型;D.挑战数学游戏.要求七年级学生每人只能参加一项.为了解学生参加各项目情况,随机调查了部分学生,将调查结果制作成统计表和扇形统计图(如图),请根据图表信息解答下列问题:
    项目
    A
    B
    C
    D
    人数/人
    5
    15
    a
    b
    (1)a= 20 ,b= 10 .
    (2)扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为  108 度.
    (3)在月末的展示活动中,“C”项目中七(1)班有3人获得一等奖,七(2)班有2人获得一等奖,现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛,请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率.

    【答案】见试题解答内容
    【解答】解:(1)被调查的总人数为5÷10%=50(人),
    ∴b=50×20%=10(人),
    则a=50﹣(5+15+10)=20,
    故答案为:20,10;
    (2)扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为360°×=108°,
    故答案为:108;
    (3)七(1)班3人分别用A、B、C表示,七(2)班2人分别D、E表示,
    根据题意列表如下:

    A
    B
    C
    D
    E
    A

    (B,A)
    (C,A)
    (D,A)
    (E,A)
    B
    (A,B)

    (C,B)
    (D,B)
    (E,B)
    C
    (A,C)
    (B,C)

    (D,C)
    (E,C)
    D
    (A,D)
    (B,D)
    (C,D)

    (E,D)
    E
    (A,E)
    (B,E)
    (C,E)
    (D,E)

    共有20种等可能的情况数,其中这两人来自不同班级的有12种,
    则这两人来自不同班级的概率是=.

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