2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第9节 函数模型及其应用

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第9节　函数模型及其应用
考试要求　1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.


1.指数、对数、幂函数模型性质比较

　　函数
性质　
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
2.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函
数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数
模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关的模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.(　　)
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　)
(3)不存在x0，使ax00)的增长速度.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99(元).
∴每件赔1元，(1)错误.
(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.
(3)中，如a＝x0＝，n＝，不等式成立，因此(3)错误.
2.(易错题)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　)
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
D.f(x)>h(x)>g(x)
答案　B
解析　在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为g(x)>f(x)>h(x).
3.(易错题)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
答案　C
解析　设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由