2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第8讲函数与方程课件

这是一份2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第8讲函数与方程课件，共60页。PPT课件主要包含了fx＝0，fc＝0，一分为二，函数的零点，－12，f025等内容，欢迎下载使用。

知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一　函数的零点1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．
2．几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_____有交点⇔函数y＝f(x)有________.3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
f(a)f(b)＜0
知识点二　二分法1．对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间____________，使区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
f(a)f(b)<0
2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4)．
归 纳 拓 展1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
双 基 自 测题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( 　　)(2)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根．( 　　)(3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( 　　)
(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内没有零点．( 　　)(5)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．( 　　)(6)函数y＝2x与y＝x2只有两个交点．( 　　)
[解析]　(1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．(2)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根．(3)函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f(b)>0.(4)若在区间[a，b]内有多个零点，f(a)·f(b)>0也可以．(5)f(x)＝2x在R上单调递增没有零点．(6)y＝x2与y＝2x在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如在x＝2和x＝4处都有交点．
题组二　走进教材2．(必修1P155T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是( 　　)[解析]　对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解．
4．(必修1P155T2改编)函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为( )A．2 B．3C．4 D．5[解析]　由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点．
5．(必修1P146T2改编)(多选题)用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，则方程的近似解为(精确度0.1)( )A．0.625 B．0.75C．0.687 5 D．0.65
题组三　走向高考6．(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( 　　)A．y＝cs x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1[解析]　y＝cs x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A.
7．方程lg2(x＋4)＝3x的实根的个数为( 　　)A．0 B．1C．2 D．3[解析]　在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg2(x＋4)与y＝3x的大致图象，如图．由图象可观察出两个函数图象共有两个不同的交点，故方程lg2(x＋4)＝3x有两个根．
考点突破 · 互动探究
考向1　确定函数零点所在区间——自主练透1.(2022·天津一模)函数f(x)＝ex＋2x－6的零点所在的区间是( 　　)A．(3,4) 　B．(2,3)C．(1,2) D．(0,1)[解析]　易知f(x)＝ex＋2x－6是R上的增函数，且f(1)＝e－4<0，f(2)＝e2－2>0，所以f(1)f(2)<0，所以f(x)的零点所在的区间是(1,2)．
2．(多选题)若a0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选BC.
3．已知函数f(x)＝lgax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2lga3>1，f(2)＝lga2＋2－b<3－b<0，f(3)＝lga3＋3－b>4－b>0，f(4)＝lga4＋4－b>0，所以f(2)·f(3)<0，x0∈(2,3)，所以函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.
名师点拨：确定函数零点所在区间的方法1．解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．2．利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．3．数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
2．已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数g(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( 　　)A．9 B．10C．11 D．18[解析]　由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再作出函数y＝|lg x|的图象，由图可知，y＝f(x)与y＝|lg x|共有10个交点，故原函数有10个零点．
名师点拨：函数零点个数的判定有下列几种方法1．直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．2．零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．3．数形结合法：利用函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( 　　)A．1 B．2 C．3 D．4
[引申2]本例2条件变为“若f(x)恰好有2个零点”，求实数m的取值范围．[解析]　由例题知m＝－1或m>2时，f(x)恰好有2个零点．即实数m的取值范围是{－1}∪(2，＋∞)．
名师点拨：1．比较零点大小常用方法：(1)确定零点取值范围，进而比较大小．(2)数形结合法．2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．
【变式训练】1．(角度1)(2023·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( 　　)A．ab>c D．c>a>b
解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出y＝3x、y＝lg3x、y＝－x的图象，结合图象及c＝0可知a0，a<0，c＝0，∴b最大，选B.
[解析]　本题是已知零点个数求参数范围．函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出函数f(x)的图象，并平移直线y＝－x，如图所示，由图可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，故选C.
二分法及其应用——自主练透
二分法及其应用——自主练透 1.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈____________，第二次应计算________.
2．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可判定该根所在的区间为__________.
3．在用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是______.
名师点拨：1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．2．利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的.
名师讲坛 · 素养提升
一、嵌套函数的零点问题函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函数t＝f(x)＋1的图象，直线t＝t1，t＝－2，t＝0如图所示，由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交点．综上，函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数为5.
[解析]　y＝f[f(x)]－1＝0，即f[f(x)]＝1.当f(x)≤0时，f(x)＋1＝1，即f(x)＝0时，此时lg2x＝0，计算得出x＝1，或者x＋1＝0，计算得出x＝－1.当f(x)>0时，lg2f(x)＝1，即f(x)＝2时，若x＋1＝2，计算得出x＝1(舍去)，若lg2x＝2，计算得出x＝4.综上所述，函数y＝f[f(x)]－1的图象与x轴的交点个数为3.故选A.
名师点拨：以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系，快速解决该问题．