2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第3节 函数的奇偶性与周期性

这是一份2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第3节 函数的奇偶性与周期性，共24页。试卷主要包含了函数的周期性，函数周期性常用结论，对称性的三个常用结论等内容，欢迎下载使用。

第3节　函数的奇偶性与周期性
考试要求　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.


1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.(　　)
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　)
(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(　　)
(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误.
2.下列函数中为偶函数的是(　　)
A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x
C.y＝|ln x| D.y＝2－x
答案　B
解析　根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项的定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.
3.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1
C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1
答案　B
解析　因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝.
对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)，故不是奇函数；
对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，故是奇函数；
对于C，f(x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称，故不是奇函数；
对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称，故不是奇函数.
4.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f＝，则f＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案　C
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，
所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)是以2为周期 的周期函数，f＝f＝f＝.
5.(易错题)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－3，则函数f(x)的解析式为___________________.
答案　f(x)＝
解析　设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－x－3.
又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)＝x＋3.
又f(0)＝0，∴f(x)＝
6.(2022·西安质检)已知f(x)＝ex＋eax是偶函数，则f(x)的最小值为________.
答案　2
解析　∵f(x)＝ex＋eax是偶函数，
∴f(1)＝f(－1)，得e＋ea＝e－1＋e－a，则a＝－1，
经检验，a＝－1时，符合题意.
所以f(x)＝ex＋e－x≥2＝2，
当且仅当x＝0时取等号.
故函数f(x)的最小值为2.

　考点一　函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝log2(x＋)；
(4)f(x)＝＋x.
解　(1)由得x2＝1，即x＝±1，
即函数f(x)的定义域为{－1，1}，
从而f(x)＝＋＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称.
∵x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；
∵x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝f(x).
综上，f(x)为偶函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝log2(－x＋)＝log2(－x)＝log2(＋x)－1
＝－log2(＋x)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数.
(4)由得
∴原函数的定义域为{x|－1 ∵f(x)＝＋x＝＋x＝＋x，
∴f(－x)＝－x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.
感悟提升　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
训练1 (1)(2021·百校联盟质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A.y＝xsin x
B.y＝xln x
C.y＝
D.y＝xln(－x)
(2)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，有f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)g(x)|是奇函数
C.|f(x)|g(x)是偶函数
D.f(|x|)g(x)是奇函数
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)A中，y＝xsin x为偶函数.
B中，函数y＝xln x的定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数.
C中，f(－x)＝＝＝－f(x)，则y＝为奇函数.
D中，函数的定义域为R，关于原点对称.
又f(－x)＝－xln(＋x)＝－xln ＝f(x)，
所以y＝xln(－x)为偶函数.
(2)令F1(x)＝f(x)g(x)，
∴F1(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F1(x)，
∴F1(x)为奇函数，故A错误；
令F2(x)＝|f(x)g(x)|，
∴F2(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝F2(x)，
∴F2(x)为偶函数，故B错误；
令F3(x)＝|f(x)|g(x)，
∴F3(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)＝F3(x)，
∴F3(x)为偶函数，故C正确；
令F4(x)＝f(|x|)g(x)，
∴F4(－x)＝f(|－x|)g(－x)＝f(|x|)g(x)＝F4(x)，
∴F4(x)为偶函数，故D错误.
考点二　函数奇偶性的应用
角度1　求函数值
例2 (2020·江苏卷改编)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x，则f(－8)的值是(　　)
A.8 B.－8 C.4 D.－4
答案　D
解析　f(8)＝8＝4，因为f(x)为奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－4.
角度2　求函数解析式
例3 设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A.e－x－1 B.e－x＋1
C.－e－x－1 D.－e－x＋1
答案　D
解析　当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
角度3　求参数的值
例4 (2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
答案　1
解析　法一　因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，
所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，
所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.
法二　因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
感悟提升　利用函数的奇偶性可以解决以下问题：
(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求参数值；(4)画函数图象；(5)求一些特殊结构式的值.
训练2 (1)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________.
(2)已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________.
答案　(1)－7　(2)4
解析　(1)因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，
故f(x)＝2x－1(x≥0)，
则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
(2)令g(x)＝asin x＋btan x，
则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1.
∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.
　考点三　函数的周期性及其应用
1.已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)，当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，则f等于(　　)
A. B. C.1 D.
答案　C
解析　因为f(x＋2π)＝f(x)，
所以f(x)的周期为2π，
所以f＝f＝f＝f.
又因为当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，
所以f＝2sin ＝1.
2.(2022·成都诊断)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 024)等于(　　)
A.5 B. C.2 D.－5
答案　D
解析　∵f(x)＝－f(x＋2)，
∴f(x)的周期为4，f(2 024)＝f(0)＝－f(2)＝－(22＋log22)＝－5.
3.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________.
答案　1
解析　由题意得，f＝f＝－4×＋2＝1.
4.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
答案　7
解析　因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.
又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
感悟提升　1.求解与函数的周期有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.
2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
考点四　函数性质的综合应用
角度1　单调性与奇偶性
例5 (1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a C.b (2)(2020·新高考卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3]
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，
∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.
又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.
(2)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.

当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].
感悟提升　1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解.
训练3 (1)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x＋ex.若a＝f(－π)，b＝f(log23)，c＝f(2－0.2)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.b>a>c B.c>b>a
C.a>b>c D.a>c>b
(2)(2021·汕头联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其在区间[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为________________.
答案　(1)C　(2)∪(4，＋∞)
解析　(1)当x>0时，f(x)＝ln x＋ex为增函数，f(x)的图象关于y轴对称，
则a＝f(－π)＝f(π).
又π>3>log23>1>2－0.2>0，
∴f(π)>f(log23)>f(2－0.2)，
∴a>b>c.
(2)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(|x|).
又f(2)＝0，所以不等式f(log2x)>0等价于f(|log2x|)>f(2).
又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
所以|log2x|>2，
所以log2x>2或log2x<－2，
所以x>4或0 角度2　奇偶性与周期性
例6 (1)(2021·贵阳调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当－1≤x<0时，f(x)＝2x－1，则f(log220)＝(　　)
A. B. C.－ D.－
(2)(2022·长春模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且满足f(－x)＝f(2＋x)，若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝________.
答案　(1)B　(2)3
解析　(1)依题意，知f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4.
又2 所以f(log220)＝f(2＋log25)＝f(log25－2)＝－f(2－log25)＝－(22－log25－1)
＝－＝.
(2)∵f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)的周期为4.
由f(－x)＝f(2＋x)，令x＝0，
得f(0)＝f(2)＝0，∴f(4)＝f(0)＝0.
又f(1)＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3，
∴f(－1＋4)＝f(3)＝f(－1)＝－3，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝3.
感悟提升　周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
训练4 (1)(2022·昆明诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x－4)，且x∈[0，4]时，f(x)＝则f(11)＋f(15)＝________.
(2)(2021·成都质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝x2，则f＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案　(1)　(2)A
解析　(1)∵f(0)＝20＋a＝0，∴a＝－1.
∵f(x＋4)＝f(x－4)，
∴f(x＋4＋4)＝f(x＋4－4)＝f(x)，
∴f(x)的周期为8，
∴f(11)＝f(3＋8)＝f(3)＝，
f(15)＝f(7＋8)＝f(7)＝f(－1＋8)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(11)＋f(15)＝.
(2)由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f＝f＝f＝－f＝－.
角度3　奇偶性与对称性
例7 函数f(x)满足f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，则下列说法正确的是________(填序号).
①f(x)的周期为8；
②f(x)关于点(－1，0)对称；
③f(x)为偶函数；
④f(x＋7)为奇函数.
答案　①②④
解析　∵f(x－1)为奇函数，
∴f(x－1)的图象关于(0，0)对称，
∴f(x)的图象关于点(－1，0)对称.
又f(x＋1)为偶函数，
∴f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(x)的图象关于点(－1，0)和直线x＝1对称，
∴f(x)的周期为8，∴①②正确，③不正确.
∵T＝8，∴f(x＋7)＝f(x－1)，
又f(x－1)为奇函数，∴f(x＋7)为奇函数，故④正确.
感悟提升　函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
训练5 已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数
f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－5)＝2，则f(2 021)＝________.
答案　2
解析　由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数.
由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函数，所以f(2 021)＝f(5＋252×8)＝f(5)＝f(－5)＝2.
角度4　奇偶性、周期性、对称性、单调性的综合应用
例8 已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝2x＋1，则下列结论正确的是________(填序号).
①f(x)为偶函数；
②f(x)在[－6，－3]上单调递减；
③f(x)关于直线x＝3对称；
④f(100)＝5.
答案　①③④
解析　f(x)的图象关于直线x＝－3对称，
则f(－x)＝f(x－6).
又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，
∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故①正确；
当x∈[0，3]时，f(x)＝2x＋1单调递增，
∵T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故②不正确；
f(x)关于直线x＝－3对称且T＝6，
∴f(x)关于直线x＝3对称，故③正确；
f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝5，故④正确.
感悟提升　函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.
训练6 函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，f(x－4)＝f(－x)，且当x∈[0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(－80)，f(－25)，f(11)的大小关系为________.
答案　f(－25) 解析　依题意，f(x)的周期为8，且f(x)是奇函数，其图象关于x＝2对称，当x∈[0，2]时，f(x)单调递增，
∴f(x)在[－2，2]上单调递增.
又f(－80)＝f(0)，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝f(1)，
∴f(－1) 即f(－25) 抽象函数
我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特殊的性质称为抽象函数，一般用y＝f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.
例1 若函数f(2x)的定义域是[－1，1]，则f(log2x)的定义域为________.
答案　[，4]
解析　对于函数y＝f(2x)，－1≤x≤1，
∴2－1≤2x≤2.则对于函数y＝f(log2x)，2－1≤log2x≤2，∴≤x≤4.
故y＝f(log2x)的定义域为[，4].
例2 已知函数f(x)对任意正实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立.
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)求证：f＝－f(x)；
(3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q均为常数)，求f(36)的值.
(1)解　令a＝1，b＝1，
得f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
令a＝b＝－1，
∴f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝0.
(2)证明　令a＝，b＝x，
得f(1)＝f＋f(x)＝0，
∴f＝－f(x).
(3)解　令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p，
令a＝b＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，
令a＝4，b＝9，得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q.
例3 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围.
解　(1)因为对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
所以f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
f(x)的定义域关于原点对称，
令x1＝x2＝－1，
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，
得f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数.
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知f(x)是偶函数，
所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|) 又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴0<|x－1|<16，∴－15 ∴x的取值范围为(－15，1)∪(1，17).
函数性质中的二级结论
函数这一章，常见的二级结论比较多，如果我们能够灵活地运用这些结论解决数学问题，可优化数学运算的过程，提高解题速度和准确性.
一、奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
例1 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
答案　2
解析　函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数.
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
所以M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
二、函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
例2 已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)＋2，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(1)＝2，则f(17)＝________.
答案　2
解析　由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数.由f(x＋4)＝－f(x)＋2，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋2＝f(x)，所以f(x)是最小正周期为8的偶函数，所以f(17)＝f(1＋2×8)＝f(1)＝2.
三、函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数.
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.
例3 设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则下面关于f(x)的判定中正确命题的个数为(　　)
①f(4)＝0；
②f(x)是以4为周期的函数；
③f(x)的图象关于直线x＝1对称；
④f(x)的图象关于直线x＝2对称.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　因为f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.
因为f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即f(x)是以4为周期的周期函数，f(4)＝f(0)＝0.
因为f(x＋2)＝－f(x)，
所以f[(x＋1)＋1]＝f(－x)，
令t＝x＋1，则f(t＋1)＝f(1－t)，
所以f(x＋1)＝f(1－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，
而f(2＋x)＝f(2－x)显然不成立.
故正确的命题是①②③.


1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是(　　)
A.y＝|log3x| B.y＝x3
C.y＝e|x| D.y＝cos |x|
答案　C
解析　对于A，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，对于B，y＝x3是奇函数.
对于C，函数的定义域是R，是偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，
对于D，y＝cos |x|在(0，1)上单调递减.
2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2 022)＝(　　)
A.－3 B.0 C.1 D.3
答案　B
解析　由于f(x)为奇函数，且f(x)＝f(3－x)，
∴f(3＋x)＝f(－x)＝－f(x)，
从而知周期T＝6，
∴f(2 022)＝f(0)＝0.
3.若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k的值为(　　)
A.－2 B.0 C.1或－1 D.2
答案　C
解析　因为f(x)在定义域上为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
即＝，
即＝，
根据等式恒成立，可得k＝±1.
4.已知函数f(x＋1)是偶函数，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)单调递减，设a＝f，b＝f(3)，c＝f(0)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.b C.b 答案　A
解析　∵f(x＋1)为偶函数，
∴f(x＋1)的图象关于y轴对称，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称.
∵x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，
∴x∈(－∞，1)时，f(x)单调递增，
又f(3)＝f(－1)且－1<－<0，
∴f(－1) 5.(2021·昆明诊断)已知函数f(x)＝cos＋－1，若f(a)＝－，则f(－a)＝(　　)
A. B. C.－ D.－
答案　D
解析　f(x)＝－sin 2x＋－1，
设g(x)＝f(x)＋1＝－sin 2x＋，易知g(x)为奇函数，
∴g(a)＝f(a)＋1＝，
则g(－a)＝－g(a)＝－，
因此f(－a)＋1＝－，故f(－a)＝－.
6.(2022·成都诊断)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋1)＋2x－a，则满足f(x2－3x－1)＋2<0的实数x的取值范围为(　　)
A.(－3，0) B.(－1，0)
C.(0，3) D.(1，2)
答案　C
解析　函数f(x)是定义域为R的奇函数，则有f(0)＝0，即f(0)＝log21＋20－a＝0，解得a＝1，则当x≥0时，f(x)＝log2(x＋1)＋2x－1，则有f(1)＝log22＋21－1＝2.而函数y＝log2(x＋1)和函数y＝2x－1都是增函数，则函数f(x)＝log2(x＋1)＋2x－1在[0，＋∞)上单调递增.
又函数f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(x)在区间(－∞，0]上也单调递增，
故函数f(x)在R上为增函数.
f(x2－3x－1)＋2<0⇒f(x2－3x－1)＋f(1)<0⇒f(x2－3x－1)<－f(1)
⇒f(x2－3x－1) 7.已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则
f(－16)＝________.
答案　2
解析　根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x).
又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
则f(x)＝－f(－x)＝－f(6＋x)，
则f(x)的最小正周期是12，
故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.
8.(2022·西安模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－2)＝2f(8)＋1，则f(2 023)＝________.
答案　
解析　由题意，f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)，
f(8)＝f(9－1)＝f(－1)＝－f(1).
又∵f(－2)＝2f(8)＋1，
∴f(1)＝－2f(1)＋1，∴f(1)＝，
∴f(2 023)＝f(674×3＋1)＝f(1)＝.
9.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝________.
答案　2.5
解析　由f(x＋1)＝f(x－1)，
得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[(x＋1)－1]＝f(x)，
所以f(x)是周期为2的周期函数.
又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，
即－1＋a＝1.5，解得a＝2.5.
10.已知函数f(x)＝是奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
解　(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)
＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1 故实数a的取值范围是(1，3].
11.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式.
(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)解　∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0，2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.

12.(2022·东北三省三校联考)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案　D
解析　由于f(x＋1)为奇函数，
所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，
即有f(x)＋f(2－x)＝0，
所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，
即a＋b＝0　①.
由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
即有f(x)－f(4－x)＝0，
所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6　②.
根据①②可得a＝－2，b＝2，
所以当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2.
根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，
所以f＝f＝－f＝2×－2＝.
13.已知定义在R上的函数f(x)满足条件：
①对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；②对任意的x1，x2∈[0，2]且x1 A.f(7) B.f(7) C.f(4.5) D.f(4.5) 答案　C
解析　∵对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数.
∵f(x＋2)的图象关于y轴对称，
∴函数f(x)的图象关于x＝2对称.
∵x1，x2∈[0，2]且x1 ∴函数f(x)在[0，2]上为增函数，则函数f(x)在[2，4]上为减函数，且f(7)＝f(3)，f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)＝f(3.5)，
∴f(3.5) 14.已知函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f＝1，且当x>0时，f(x)>0.
(1)求f(0)的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)判断函数的单调性，并解不等式f(x)＋f(2＋x)<2.
解　(1)令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
(2)f(x)是奇函数，证明如下：
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
故函数f(x)是R上的奇函数.
(3)f(x)是R上的增函数，证明如下：
任取x1，x2∈R，x10，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，
∴f(x1) 故f(x)是R上的增函数.
∵f＝1，
∴f＝f＝f＋f＝2，
∴f(x)＋f(2＋x)＝f(x＋(2＋x))＝f(2x＋2) 又由y＝f(x)是定义在R上的增函数，得2x＋2<，
解得x<－，故x∈.