2025高考数学一轮复习第2章基本初等函数03第7讲函数的奇偶性与周期性（课件+解析试卷）

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3．若函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b是偶函数，定义域为[a，2b]，则a＝_______，b＝______．
5．(人A必一P86T11改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在R上的解析式为______________________．
f(－x)＝f(x)　
f(－x)＝－f(x)　
f(x＋T)＝f(x)　
　　　判断下列函数的奇偶性．
　　　　 显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．因为当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数．
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
　　　(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝_______；当x＜0时，f(x)＝_______________．
　　　　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1，所以当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1．当x＜0时，则－x＞0，所以f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－2－x－2x＋1．
(－∞，－2)∪(0，2)　
又f(x)为偶函数，且f(2)＝0，所以可作出y＝f(x)的大致图象如图所示．由图可知x＜－2或0＜x＜2．
根据奇函数的对称性知g(x)在x∈[－2 023，2 023]上的最大和最小值关于原点对称，则g(x)max＋g(x)min＝M－7＋m－7＝0，故M＋m＝14．
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
1．(2023·玉林三模)已知函数f(x)＝ax3－bx－tan x＋2，若f(m)＝1，则f(－m)＝_____．
　　　　由题得f(m)＝am3－bm－tan m＋2＝1，所以am3－bm－tan m＝－1，所以f(－m)＝－am3＋bm＋tan m＋2＝－(am3－bm－tan m)＋2＝1＋2＝3．
2．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(x)＋g(x)＝2·3x，则函数f(x)＝__________．
　　　　因为f(－x)＝(－x)sin (－x)＋cs(－x)＋(－x)2＝x sin x＋cs x＋x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．又f′(x)＝sin x＋x cs x－sin x＋2x＝x(cs x＋2)，所以当x＞0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
4．若定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(－5)＝0，则满足 xf(x)＜0的解集是(　　)A．(－∞，－5)∪(5，＋∞)B．(－∞，－5)∪(0，5)C．(－5，0)∪(5，＋∞)D．(－5，0)∪(0，5)
　　　　令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)·f(1)＝f(x)⇒f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)，消去f(x＋2)和f(x＋1)得到f(x＋3)＝－f(x)，故f(x)的周期为6．
令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)⇒f(0)＝2，f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1，f(5)＝f(4)－f(3)＝－1－(－2)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝1－(－1)＝2，…，
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
2．(2024·嘉兴期初)已知函数f(x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，则f(a)的值是(　　)A．0B．－12C．12D．10
　　　　因为函数f(x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，且定义域为R，所以f(0)＝0，即(a－2)(a－1)＝0，所以a＝2或a＝1．当a＝2时，f(x)＝x(x2＋1)，从而有f(－x)＝－x(x2＋1)＝－f(x)，符合题意；当a＝1时，f(x)＝x2(x－1)，但f(－1)＝－2≠－f(1)＝0，不合题意，所以a＝2，即f(x)＝x(x2＋1)．故f(a)＝f(2)＝2×(22＋1)＝10．
3．设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1；当x∈(0，2]时，f(x)＝lg2x，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝(　　)A．403B．406C．806D．809
　　　　由f(x＋5)＝f(x)得f(x)是周期函数，且周期是5．又f(1)＝lg21＝0，f(2)＝lg22＝1，f(3)＝f(－2)＝－(－2)－1＝1，f(4)＝f(－1)＝－(－1)－1＝0，f(5)＝f(0)＝－0－1＝－1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝1，f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝404×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝406．
4．(2023·长沙一模)已知函数f(x)＝ax3＋bx5＋2．若f(x)在区间[－t，t]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝_____．
　　　　令g(x)＝ax3＋bx5，则g(x)为奇函数，所以当x∈[－t，t]时，g(x)max＋g(x)min＝0．又f(x)＝g(x)＋2，所以M＝g(x)max＋2，m＝g(x)min＋2，所以M＋m＝g(x)max＋2＋g(x)min＋2＝4．
A组　巩固练1．已知f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋4，则f(－3)的值是(　　)A．19B．7C．－7D．－19
　　　　因为当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋4，所以f(3)＝32－2×3＋4＝7．又f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－7．
又因为x不恒为0，所以ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．(2023·青岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，若f(2)＝0，且函数f(x－1)为偶函数，则不等式xf(x)＞0的解集为(　　)A．(2，＋∞)B．(－4，－1)∪(0，＋∞)C．(－4，＋∞)D．(－4，0)∪(2，＋∞)
　　　　因为函数f(x－1)为偶函数，则f(－x－1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称．因为函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(－∞，－1]上单调递减．
5．(2024·南通海安期初)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，则f(x)为奇函数的必要不充分条件是(　　　)A．f(0)＝0B．y＝f(－x)＋f(x)为奇函数C．存在无数个x，使得f(－x)＝－f(x)
　　　　由f(0)＝0不能得到f(x)为奇函数，而f(x)为奇函数一定有f(0)＝0，所以“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数的必要不充分条件，故A符合．设g(x)＝f(－x)＋f(x)，则g(－x)＝f(x)＋f(－x)＝g(x)，故g(x)既是奇函数，又是偶函数，则g(x)＝0，所以f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)为奇函数，可知B是充要条件，B不符合．有无数个x，使得f(－x)＝－f(x)，但不一定有f(x)为奇函数，不满足充分性，若f(x)为奇函数，则一定有无数个x，使得f(－x)＝－f(x)，满足必要性，故C符合．
　　　　对于A，因为f(x)是定义R上的奇函数，所以f(0)＝0，故A错误．
此时f(x)＝(x－1)2＋2x＋cs x＝x2＋1＋cs x，因为f(－x)＝(－x)2＋1＋cs (－x)＝x2＋1＋cs x＝f(x)，定义域为R，所以f(x)为偶函数，所以a＝2符合题意．
(1) 求函数f(x)的表达式；
(2) 判断并证明函数f(x)在区间[0，1]上的单调性；
　　　　函数f(x)在区间[0，1]上单调递减．
因为0≤x1＜x2≤1，所以x1－x2＜0，x1x2＜1，所以f(x1)－f(x2)＞0⇒f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在区间[0，1]上单调递减．
(3) 解不等式f(1－a)－f(3＋a)＜0．
12．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x．(1) 求f(π)的值；
　　　　由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4．
12．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x．(2) 当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
　　　　由f(x)是奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)在[－4，4]上的图象如图所示．
(1) 当a＝4时，求m，n的值．
　　　　a＝4，当x≥0时，f(x)＝－x2＋4x，当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2－4x＝－x2－4x．因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，故－f(x)＝－x2－4x，所以f(x)＝x2＋4x，所以m＝1，n＝4．
(2) 若函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减．①求实数a的取值范围；
(2) 若函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减．②若对任意实数u，不等式f(u－1)＋f(u2＋t)＜0恒成立，求实数t的取值范围．
　　　　因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(u－1)＋f(u2＋t)＜0⇒f(u2＋t)＜－f(u－1)＝f(1－u)．