高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第二册 第4章 再练一课(范围：§4.3)(含解析)

再练一课(范围：§4.3)

1．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…，是等比数列，则实数a满足(　　)

A．a≠1   B．a≠0或a≠1

C．a≠0   D．a≠0且a≠1

答案　D

解析　由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…，是等比数列，则a需满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.

2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

答案　B

解析　3S3－3S2＝3a3＝a4－a3⇒a4＝4a3⇒q＝4.

3．在各项都为正数的等比数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝18，则a8等于(　　)

A．192   B．2 187

C．192或2 187   D.

答案　A

解析　由题意得an＝a1qn－1，a1>0，q>0,3＝a2＝a1q，

18＝a3＋a4＝a1q2＋a1q3＝a1q(q＋q2)＝3(q＋q2)，

∴0＝q2＋q－6＝(q＋3)(q－2)，

∴q＝2，a1＝＝，

∴a8＝a1q7＝×27＝3×26＝3×64＝192.

4．(多选)在等比数列{an}中，如果a3和a5是一元二次方程x2－5x＋4＝0的两个根，那么a2a4a6的值为(　　)

A．8  B．－8  C．16  D．－16

答案　AB

解析　因为a3和a5是一元二次方程x2－5x＋4＝0的两个根，

所以a3a5＝4，

即a＝4，

所以a4＝±2，故a2a4a6＝a＝(±2)3＝±8.

5．在等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为(　　)

A．580  B．585  C．590  D．595

答案　B

解析　设等比数列{an}的公比为q，

则由题意有得

∴S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)

＝a1q2·＝585.

6．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________，an＝________.

答案　－1　2·3n－1(n∈N*)

解析　由an＋1＝can知数列{an}为等比数列．

又∵Sn＝3n＋k，由等比数列前n项和的特点知k＝－1.

∵n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2·3n－1，

n＝1时，a1＝S1＝3－1＝2满足上式，

∴an＝2·3n－1，n∈N*.

7．若{an}是等比数列，其中a3，a7是方程2x2－3kx＋5＝0的两个根，且(a3＋a7)2＝2a2a8＋11，则k的值为_______________________．

答案　±

解析　由根与系数的关系可知a3a7＝，a3＋a7＝k，所以(a3＋a7)2＝2a2a8＋11＝2a3a7＋11＝16，所以a3＋a7＝±4＝，k＝±.

8．已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，则an＝________.

答案　(－1)n－1×(n∈N*)

解析　设等比数列{an}的公比为q，

由S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，

所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，

即4a5＝a3，

于是q2＝＝.

又{an}不是递减数列且a1＝，

所以q＝－.

故等比数列{an}的通项公式为

an＝×n－1＝(－1)n－1×(n∈N*)．

9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.

(1)若a3＋b3＝5，求数列{bn}的通项公式；

(2)若T3＝21，求S3.

解　设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，

则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.

由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①

(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②

联立①和②解得(舍去)，

因此数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*.

(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.

解得q＝－5或q＝4.

当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.

当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.故S3＝21或－6.

10．已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和公式．

解　(1)设数列{an}的公差为d，则

方法一　a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12.

又a1＝2，得d＝2，∴an＝2n，n∈N*.

方法二　∵a1＋a3＝2a2，

∴a2＝4.又a1＝2，

∴d＝4－2＝2.

∴an＝2n，n∈N*.

(2)由bn＝an·3n＝2n·3n，得

Sn＝2·3＋4·32＋…＋(2n－2)·3n－1＋2n·3n，①

3Sn＝2·32＋4·33＋…＋(2n－2)·3n＋2n·3n＋1，②

①－②得

－2Sn＝2(3＋32＋33＋…＋3n)－2n·3n＋1

＝3(3n－1)－2n·3n＋1，

∴Sn＝＋n·3n＋1，n∈N*.

11．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(　　)

A．16  B．26  C．30  D．80

答案　C

解析　由题意得q>0且q≠1，因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列．

设S2n＝x(x>0)，则2，x－2,14－x成等比数列，(x－2)2＝2(14－x)，解得x＝6.

由S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，可得(6－2)×(S4n－14)＝(14－6)2，解得S4n＝30.

12．已知数列{an}的前n项和为Sn，若首项为－1，且满足an＋1＝Sn－1，则Sn＝________.

答案　1－2n

解析　因为an＋1＝Sn－1，

所以Sn＋1－Sn＝Sn－1，即Sn＋1＝2Sn－1，

所以Sn＋1－1＝2(Sn－1)．

又S1＝a1＝－1，

所以数列{Sn－1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，

所以Sn－1＝(－2)·2n－1＝－2n，所以Sn＝1－2n.

13．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.

答案　－2　2n－1－

解析　∵q3＝＝－8，∴q＝－2，∴an＝×(－2)n－1，

∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＋1＋2＋…＋2n－2＝＝2n－1－.

14．设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)．若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

答案　1－

解析　令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)，

又an＝f(n)，∴＝＝f(1)＝a1＝，

∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，

∴Sn＝＝1－.

15．在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为________．

答案　

解析　在由正数组成的等比数列{an}中，a3a4a5＝3π，所以a＝3π，a4＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1·a2·a3·a4·a5·a6·a7)＝log3a＝7log3a4＝＝.所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝sin ＝sin＝sin ＝.

16．在数列{an}中，若an＝求数列{an}的前n项和．

解　当n＝1时，S1＝a1＝1.

当n≥2时，若a＝0，有an＝

则Sn＝1＋(n－1)＝.

若a＝1，有an＝

则Sn＝1＋(n－1)＝.

若a≠0且a≠1，

则Sn＝1＋＋＋…＋

＝1＋(n－1)＋(a＋a2＋…＋an－1)＝＋.

综上所述，Sn＝