浙江宁波市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（8套）-03解答题（较难题）

这是一份浙江宁波市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（8套）-03解答题（较难题），共56页。试卷主要包含了【基础巩固】，新定义等内容，欢迎下载使用。
浙江宁波市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（8套）-03解答题（较难题）
一．反比例函数综合题（共1小题）
1．（2023•鄞州区一模）如图1，有一块边角料ABCDE，其中AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形MNQP，其中M，N在AE上（点M在点N左侧），点P在线段BC上，点Q在曲线CD上．测量发现：∠A＝∠E＝90°，AE＝5，AB＝DE＝1，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4．
（1）小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为（﹣1，0）；点B的坐标为（﹣1，1）．
请你在图2中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE；
（2）求直线BC，曲线CD的解析式；
（3）求矩形MNQP的最大面积．

二．三角形综合题（共2小题）
2．（2023•海曙区一模）已知E在△ABC内部（如图①），等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC．
（1）求证：AE＝DC；
（2）当AE⊥BD时，求CD的长；
（3）将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点（如图②），求旋转过程中EF的取值范围．

3．（2023•北仑区一模）如图，△ABC内接于⊙O，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接BD，已知BC＝6，∠BAC＝α．
（1）求证：BD＝DI；
（2）若tan＝，连接IO，求IO的最小值；
（3）若tan＝，当AB为何值时，△ABE为等腰三角形．

三．四边形综合题（共4小题）
4．（2023•镇海区一模）如图，AD是锐角△ABC中BC边上的高，将△ABD沿AB所在的直线翻折得到△ABE，将△ADC沿AC所在的直线翻折得到△AFC，延长EB，FC相交于点P．
​
（1）如图1，若∠BAC＝45°，求证：四边形AEPF为正方形；
（2）如图2，若∠BAC＝55°，当△PBC是等腰三角形时，求∠BAD的度数；
（3）如图3，连结EF，分别交AB，AC于点G、H，连结BH交AD于点M，若∠BAC＝60°，
①求∠PEF＝　 　度；
②若AB＝10，CH＝1，求△ABM的面积．
5．（2023•江北区一模）【基础巩固】：
（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，E是AC的一个三等分点，且．连结AD，BE交于点G，则AG：GD＝　 　；BG：GE＝　 　．
【尝试应用】：
（2）如图2，在△ABC中，E为AC上一点，AB＝AE，∠BAD＝∠C，若AD⊥BE，CE＝1，AE＝3，求AD的长．
【拓展提高】：
（3）如图3，在平行四边形ABCD中，F为BC上一点，E为CD中点，BE与AC，AF分别交于点G，M，若∠BAF＝∠DAC，AB＝AG，BF＝2，BM＝2MG，求AM的长．

6．（2023•慈溪市一模）有一块形状如图1的四边形余料ABCD，AB＝6，AD＝2，∠A＝90°，∠D＝135°，tan∠B＝2，要在这块余料上截取一块矩形材料，其中一条边在AB上．
（1）如图2，若所截矩形材料的另一条边AE在AD上，设AE＝x，矩形AEFG的面积为y，
①求y关于x的函数表达式；
②求矩形面积y的最大值．
（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．

7．（2023•北仑区一模）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．
问题探究：
（1）如图1，等边△ABC边长为3，垂直于BC边的等积垂分线段长度为 　 　；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝8，，∠B＝30°，求垂直于BC边的等积垂分线段长度；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝6，AD＝3，求出它的等积垂分线段长．

四．圆的综合题（共7小题）
8．（2023•余姚市一模）如图1，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD交BA的延长线于点D，连结AC，BC．
（1）求证：∠DCA＝∠ABC．
（2）求证：AC•DC＝CB•DA．
（3）如图2，弦CE平分∠ACB交AB于点F．
①若点F为DB的中点，AB＝15，求CE的长．
②设tan∠DCA＝x，，求y关于x的函数表达式．

9．（2023•江北区一模）如图，等腰△ABC内接于⊙O，其中AB＝BC，点D在上运动，，DE分别交AB、BC于点P、Q，CD交AB于点M．
（1）求证：．
（2）连结AE，当AE为⊙O的直径时，
①求证：CD⊥AB．
②连结QM，若MQ∥AE，求tan∠EAC的值．
③连结CE，设，，请直接写出y关于x的函数表达式．

10．（2023•慈溪市一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，AC为直径，E为一动点，连结BE交AC于点G，交AD于点F，连结DE．
（1）设∠E为α，请用α表示∠BAC的度数．
（2）如图1，当BE⊥AD时，
①求证：DE＝BG．
②当，BG＝5时，求半径的长．
（3）如图2，当BE过圆心O时，设tan∠ABE＝x，，求y关于x的函数表达式．

11．（2023•鄞州区一模）如图1，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，点P为上的一点，连结PE并延长交⊙O于点Q，连结DQ，过点P画PF∥DQ交DC的延长线于点F．若⊙O的直径为10，OE＝3．

（1）求CD的长；
（2）如图2，当∠PQD＝90°时，求∠PEC的正切值；
（3）如图1，设PE＝x，DF＝y．
①求y关于x的函数解析式；
②若PF×DQ＝20，求y的值．
12．（2023•镇海区一模）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图1，△ABC的外接圆的圆心是点O，D是弧BC的中点，画一条弦AE把△ABC分成面积相等的两部分；
（2）如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，过点B画弦BD∥AO；
（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，弦AD∥BC，画∠BAC的平分线交BC于点E．

13．（2023•镇海区一模）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．
先观察图，直线l1∥l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由．

【基础巩固】如图1，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，求阴影面积与圆面积的比值；
【尝试应用】如图2，在半径为5的⊙O中，BD＝CD，∠ACO＝2∠BDO，cos∠BOC＝x，用含x的代数式表示S△ABC
；
【拓展提高】如图3，AB是⊙O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD⊥AB于点P，点F是⊙O上的点，且满足CF＝CB，连接BF交CD于点E，若BF＝8EP，S△CEF＝10，求⊙O的半径．
​
14．（2023•海曙区一模）定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图①，在四边形ABCD中，若S△ABC＝S△ADC，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形． 　 　
②梯形是倍分四边形． 　 　
（2）如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB＝3，AD＝DC＝5，求BC；
（3）如图②，△ABC中BA＝BC，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形．
①求sinC；
②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E（如图③），若OF＝3，求DE．

五．相似形综合题（共2小题）
15．（2023•慈溪市一模）【证明体验】（1）如图1，在△ABC中，D为AB边上一点，连结CD，若∠ACD＝∠ABC，求证：AC2＝AD•AB．
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，D为AB边上一动点，连结CD，E为CD中点，连结BE．
【思考探究】①如图2，当∠ACD＝∠DBE时，求AD的长．
【拓展延伸】②如图3，当∠DEB＝30°时，求AD的长．

16．（2023•余姚市一模）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连结AD，E为AD上一点，连结CE，若∠BAD＝∠ACE，CD＝CE，求证：△ABD∽△CAE．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上一点，连结BE，∠CBE＝∠DCO，BE＝DO，若BD＝12，OE＝5，求AC的长．
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BC中点，F为DC上一点，连结OE、AF，∠AEO＝∠CAF，若，AC＝6，求菱形ABCD的边长．


浙江宁波市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（8套）-03解答题（较难题）
参考答案与试题解析
一．反比例函数综合题（共1小题）
1．（2023•鄞州区一模）如图1，有一块边角料ABCDE，其中AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形MNQP，其中M，N在AE上（点M在点N左侧），点P在线段BC上，点Q在曲线CD上．测量发现：∠A＝∠E＝90°，AE＝5，AB＝DE＝1，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4．
（1）小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为（﹣1，0）；点B的坐标为（﹣1，1）．
请你在图2中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE；
（2）求直线BC，曲线CD的解析式；
（3）求矩形MNQP的最大面积．

【答案】（1）见解答；（2）直线BC的解析式为：，CD的解析式为：；（3）．
【解答】解：（1）由题意，如图如下：


（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则，解得：，
则直线BC的解析式为：，
设曲线的表达式为：y＝，
由点C（1，4）得曲线CD的解析式得：m＝4×1＝4，
则反比例函数的表达式为：；

（3）如图，设点M的横坐标为m，则点P坐标为，

∴．
∵四边形MNQP是矩形，
∴，
∴点Q坐标为，
设矩形MNQP的面积为S．
则，
∴当时，矩形MNQP的面积的最大值为．
二．三角形综合题（共2小题）
2．（2023•海曙区一模）已知E在△ABC内部（如图①），等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC．
（1）求证：AE＝DC；
（2）当AE⊥BD时，求CD的长；
（3）将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点（如图②），求旋转过程中EF的取值范围．

【答案】（1）证明见解析部分；
（2）CD＝4﹣2；
（3）2﹣3≤EF≤2+3．
【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴BA＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；

（2）解：延长AE交BD于点J．

∵EJ⊥BD，EB＝ED，
∴BJ＝JD＝2，
∴EJ＝＝＝2，AJ＝＝＝4，
∴AE＝AJ﹣EJ＝4﹣2，
由（1）可知CD＝AE，
∴CD＝4﹣2；

（3）解：延长DE到P，使得EP＝DE＝4，连接BP，CP．

∵PE＝DE，DF＝CF，
∴EF＝PC，
∵BE＝DE＝PE，
∴∠DBP＝90°，
∴BP＝＝＝4，
∵BC＝6，
∴4﹣6≤PC≤4+6，
∴2﹣3≤EF≤2+3．
3．（2023•北仑区一模）如图，△ABC内接于⊙O，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接BD，已知BC＝6，∠BAC＝α．
（1）求证：BD＝DI；
（2）若tan＝，连接IO，求IO的最小值；
（3）若tan＝，当AB为何值时，△ABE为等腰三角形．

【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）如图1中，连接BI．

∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠IBE，
∵∠DIB＝∠BAI+∠ABI，∠DBI＝∠DBE+∠IBE，∠DBE＝∠CAI，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴DI＝DB．

（2）解：∵∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴点D是的中点，点D是一个定点，
∵BD＝DI，
∴点I在以点D为圆心，DB长为半径的圆上运动，
∴当I，O，D三点共线时，OI的值最小，如图2中，此时AD为⊙O的直径，且AD是BC的垂直平分线，∠CBD＝∠EAC＝∠BAE＝∠BAC＝α．

∵BC＝6，
∴BE＝CE＝BC＝3，
在Rt△BDE中，DE＝BE•tan∠CBD＝BE•tanα＝，
∴DI＝BD＝＝，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝4，
∴AD＝DE+AE＝，
∴OD＝AD＝，
∴OI的最小值＝DI＝OD＝﹣＝．

（3）解：∵tanα＝，
∴α＝60°，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝α＝30°，
连接OB，OD，设OD交BC于M．

∵＝，BC＝6，
∴OD⊥BC，BM＝CM＝BC＝3，∠BOD＝2∠BAD＝60°，
∴△BOD是等边三角形，
∴OB＝OD＝BD＝2，
①如图3中，当AB＝BE时，∵∠BEA＝∠BAE＝30°，∠CBD＝∠CAE＝30°，
∴∠CED＝∠BEA＝30°，
而∠CED＝∠CBD+∠BDE＝30°+∠BDA，矛盾，故此种情形不成立．
②如图4中，当AB＝AE时，作AN⊥BC于N，EH⊥BD于H．

此时∠BAE＝30°，∠ABE＝∠AEB＝75°，△ANE∽△DME，
∴∠CBD＝∠CAE＝30°，∠CED＝∠AEB＝75°，
∴∠EDB＝∠CED﹣∠CBD＝45°，
设DH＝x，则EH＝x，BH＝x，
∵BH+DH＝BD＝2，
∴x+x＝2，
∴x＝3﹣，
∴BE＝2EH＝6﹣2，DE＝EH＝3﹣，
∴EM＝BM﹣BE＝2﹣3，EN＝BE＝3﹣，
∵△ANE∽△DME，
∴＝，即＝，解得AE＝2，
∴AB＝AE＝2．
③如图5中，当BE＝AE时，此时∠EBA＝∠BAE＝30°，

∵△BOD是等边三角形，OD⊥BC，
∴∠EBO＝30°＝∠EBA，
∴点A，O，B三点共线，
∴AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝2BD＝4，
综上所述，AB＝2或4时，△ABE是等腰三角形．
三．四边形综合题（共4小题）
4．（2023•镇海区一模）如图，AD是锐角△ABC中BC边上的高，将△ABD沿AB所在的直线翻折得到△ABE，将△ADC沿AC所在的直线翻折得到△AFC，延长EB，FC相交于点P．
​
（1）如图1，若∠BAC＝45°，求证：四边形AEPF为正方形；
（2）如图2，若∠BAC＝55°，当△PBC是等腰三角形时，求∠BAD的度数；
（3）如图3，连结EF，分别交AB，AC于点G、H，连结BH交AD于点M，若∠BAC＝60°，
①求∠PEF＝　60　度；
②若AB＝10，CH＝1，求△ABM的面积．
【答案】（1）见解析过程；
（2）20°，27.5°，35°；
（3）①60；
②．
【解答】（1）证明：∵将△ABD沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AC翻折得到△ACF，
∴AE＝AD＝AF，BD＝BE＝4，DC＝CF＝6，∠BAD＝∠BAE，∠CAD＝∠CAF，∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝∠BAD+∠BAE+∠CAD+∠CAF＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
又∵AE＝AF，
∴四边形AEPF是正方形；
（2）解：由折叠可知：∠BAD＝∠BAE，∠CAD＝∠CAF，∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ABE；
∴∠EAF＝2∠BAC＝110°，
∴∠P＝360°﹣∠E﹣∠F﹣∠EAF＝70°，
当CB＝CP时，∠P＝∠CBP＝70°，
∴∠ABD＝∠ABE＝55°，
∴∠BAD＝35°；
同理，当BP＝PC时，∠BAD＝27.5°；
当BP＝BC时，∠BAD＝20°；
综上，∠BAD的度数为20°，27.5°，35°；
（3）解：①由折叠可知：AE＝AF＝AD，∠BAD＝∠BAE，∠CAD＝∠CAF，∠AEB＝∠ADB＝90°，∠AFC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ABE；
∴∠EAF＝2∠BAD＝120°，
∴∠P＝360°﹣∠AEB﹣∠AFC﹣∠EAF＝60°，∠AEF＝∠AFE＝30°，
∴∠PEF＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60；
②∵∠PEF＝∠BAC＝60°，
∴点A，点E，点B，点H四点共圆，
∴∠AHB+∠AEB＝180°，
∴∠AHB＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABH＝30°，
∴AH＝AB＝5，BH＝5，
∴BC＝＝＝2，
∵S△ABC＝×BC•AD＝×AC•BH，
∴AD＝，
∴BD＝＝，
∵∠DAC＝∠DAC，∠AHM＝∠ADC＝90°，
∴△AHM∽△ADC，
∴，
∴＝，
∴AM＝，
∴△ABM的面积＝×AM•BD＝．
5．（2023•江北区一模）【基础巩固】：
（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，E是AC的一个三等分点，且．连结AD，BE交于点G，则AG：GD＝　1：1　；BG：GE＝　3：1　．
【尝试应用】：
（2）如图2，在△ABC中，E为AC上一点，AB＝AE，∠BAD＝∠C，若AD⊥BE，CE＝1，AE＝3，求AD的长．
【拓展提高】：
（3）如图3，在平行四边形ABCD中，F为BC上一点，E为CD中点，BE与AC，AF分别交于点G，M，若∠BAF＝∠DAC，AB＝AG，BF＝2，BM＝2MG，求AM的长．

【答案】（1）1：1；3：1；
（2）AD的长为；
（3）AM的长为．
【解答】解：（1）如图1，作DH∥AC交BE于H，则∠EAG＝∠HDG，∠AEG＝∠DHG，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴＝＝1，
∴BH＝EH，
∴DH＝CE，
∵E是AC的一个三等分点，且CE＝AC，
∴AE＝CE，
∴AE＝DH，
∴△AGE≌△DGH（ASA），
∴AG＝GD，GE＝GH，
∴AG：GD＝1：1；
∵BH＝EH＝2GE，
∴BG＝BH+GH＝2GE+GE＝3GE，
∴BG：GE＝3：1，
故答案为：1：1；3：1．
（2）设BE交AD于点L，作EF∥AD交BC于点F，
∵CE＝1，AE＝3，
∴AB＝AE＝3，CA＝CE+AE＝4，＝＝，
∴FD＝3CF，
∵AD⊥BE于点L，
∴∠ALB＝∠ALE＝90°，
∵AL＝AL，
∴Rt△ALB≌Rt△ALE（HL），
∴BL＝EL，∠BAD＝∠CAD，
∴＝＝1，
∴BD＝FD＝3CF，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠CAD＝∠C，
∴∠CEF＝∠CAD＝∠C，
∴EF＝CF，
∵△CEF∽△CAD，
∴＝＝，
∵∠BAD＝∠C，∠DBA＝∠ABC，
∴△DBA∽△ABC，
∴＝，
∴BD•BC＝AB2＝32＝9，
设CF＝m，则BD＝3m，BC＝7m，
∴3m×7m＝9，
∴解得m1＝，m2＝（不符合题意，舍去），
∴AD＝4EF＝4CF＝4m＝4×＝，
∴AD的长为．
（3）如图3，作MN∥BC交CG于点N，设NG＝n，
∵BM＝2MG，
∴＝＝2，
∴CN＝2NG＝2n，
∵AB＝AG，
∴∠ABG＝∠AGB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CEG＝∠ABG＝∠AGB＝∠CGE，
∵E为CD中点，
∴DE＝CE＝CG＝CN+NG＝2n+n＝3n，
∴AB＝AG＝CD＝DE+CE＝3n+3n＝6n，
∴AN＝AG+NG＝6n+n＝7n，AC＝AG+CG＝6n+3n＝9n，
∵∠BAF＝∠DAC，∠BCA＝∠DAC，
∴∠BAF＝∠BCA，
∵∠FBA＝∠ABC，
∴△FBA∽△ABC，
∴＝，
∴AF＝•BF＝×2＝3，
∵＝＝＝，
∴AM＝AF＝×3＝，
∴AM的长为．



6．（2023•慈溪市一模）有一块形状如图1的四边形余料ABCD，AB＝6，AD＝2，∠A＝90°，∠D＝135°，tan∠B＝2，要在这块余料上截取一块矩形材料，其中一条边在AB上．
（1）如图2，若所截矩形材料的另一条边AE在AD上，设AE＝x，矩形AEFG的面积为y，
①求y关于x的函数表达式；
②求矩形面积y的最大值．
（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．

【答案】（1）①S＝﹣x2+6x；
②10；
（2）能截出比（1）中更大面积的矩形材料，这些矩形材料面积的最大值为．
【解答】解：（1）①如图2，
∵四边形AEFG是矩形，
∴AE＝FG，∠A＝∠FGB＝90°，
∵tan∠B＝＝2，
∴GB＝x，
∴AG＝AB﹣GB＝6﹣x，
∴S＝AE•AG＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x；
②∵点E在线段AE上，
∴0＜x≤2，
∵S＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣6）2+18，
∴当x＝2时，S的最大值为10；
（2）能，如图1，当点E在线段CD上时，过点DM⊥EF于M时，

∵四边形EFHN是矩形，
∴EF＝NH，EN＝FH，
∵tan∠B＝＝2，
∴HB＝NH，
∵∠A＝90°＝∠AFE，DM⊥EF，
∴四边形ADMF是矩形，
∴DM＝AF，AD＝MF＝2，
∵∠ADC＝135°，
∴∠EDM＝45°，
∴DM＝EM＝NH﹣2，
∴AF＝NH﹣2，
∴FH＝AB﹣AF﹣BH＝8﹣NH，
∴S＝FH•NH＝NH（8﹣NH）＝﹣（NH﹣）2+，
∴当NH＝时，S有最大值为，
∵＞10，
∴能截出比（1）中更大面积的矩形材料，这些矩形材料面积的最大值为．
7．（2023•北仑区一模）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．
问题探究：
（1）如图1，等边△ABC边长为3，垂直于BC边的等积垂分线段长度为 　　；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝8，，∠B＝30°，求垂直于BC边的等积垂分线段长度；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝6，AD＝3，求出它的等积垂分线段长．

【答案】（1）；
（2）BC边的等级垂分线段的长度为；
（3）．
【解答】解：（1）过A点作BC的垂线AD，AD为垂直于BC边的等积垂分线，

∴AD＝AB×sin60°＝3×＝．
故答案为：；

（2）作AH⊥BC于H，线段EF是垂直于BC边的等级垂分线，设EF＝x，

在Rt△ABH中，
∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍弃），
∴BC边的等级垂分线段的长度为．

（3）①当线段EF是等积垂分线段时，作FG⊥BH于G，
设EF交BD于H．设DE＝x，

在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝6，
∴，
∵EF∥AB，
∴，
∴，
∴EH＝2x，，
∴，
∵∠A＝∠C＝90°，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠FHB＝∠HBA，
∴∠FHB＝∠FHB，
∴FH＝FB，
∵FG⊥BH，
∴，
∵△FGB∽△DAB，
∴，，
∴．
∵四边形EFCD的面积＝四边形EFBA的面积，△ABD的面积＝△BDC的面积，
∴△DEH的面积＝△BHF的面积，
∴，
解得：（负根已经舍弃），
∴．
②作EG⊥BD于G，EF交BD于H，当线段EF是等积垂分线段时，设FH＝y，
∴BF＝2y，．

∵EF∥AD，
∴∠ADH＝∠EHD，
∵∠ADB＝∠BDC，
∴∠EDH＝∠EHD，
∴ED＝EH，
∵EG⊥DH，
∴，
∵，
∴，，
∴．
由△DEH的面积＝△BHF的面积，
∴，
解得（负根已经舍弃），
∴．
综上所述，四边形ABCD的一条等积垂分线段的长为．
四．圆的综合题（共7小题）
8．（2023•余姚市一模）如图1，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD交BA的延长线于点D，连结AC，BC．
（1）求证：∠DCA＝∠ABC．
（2）求证：AC•DC＝CB•DA．
（3）如图2，弦CE平分∠ACB交AB于点F．
①若点F为DB的中点，AB＝15，求CE的长．
②设tan∠DCA＝x，，求y关于x的函数表达式．

【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）①；②y＝．
【解答】（1）证明：连结OC．

∵DC是⊙O的切线，
∴∠DCO＝90°，
即∠DCA+∠ACO＝∠DCO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠BCO+∠ACO＝∠ACB＝90°，
∴∠DCA＝∠BCO，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠BCO，
∴∠DCA＝∠ABC；
（2）证明：由（1）得∠DCA＝∠ABC，
∵∠D＝∠D，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴AC•DC＝CB•DA．
（3）解：①连结OE，BE．

∵弦CE平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴，
∵∠DCA＝∠ABC，
∴∠DCA+∠ACF＝∠FCB+∠ABC，
即∠DCF＝∠DFC，
∴DC＝DF，
∵点F为DB的中点，
∴，
由（2）得△ACD∽△CBD，
∴＝＝，
即，
∴，
∴，
∴DF＝DC＝10，
∴AF＝5，
∵，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴，
∵AB＝15，
∴，，
∵∠ECB＝45°，
∴∠EOB＝2∠ECB＝90°，
∵OE＝OB＝，
∴△OEB是等腰直角三角形，
∴，
∵∠ACF＝∠ECB，∠CAF＝∠CEB，
∴△ACF∽△ECB，
∴，
∴CE＝＝；
②∵∠ACB＝90°，∠ABC＝∠DCA，
∴，
设CB＝t，则AC＝xt，
∴AB2＝AC2+CB2＝（xt）2+t2＝（x2+1）t2，
∴，
∵∠BEF＝∠CEB，∠EBF＝∠ACF＝∠BCE，
∴△EBF∽△ECB，
∴，
∴EB2＝EC•EF，
∵△ACF∽△ECB，
∴，
∴AC•CB＝EC•CF，
∴，
∴，
∴y＝．
9．（2023•江北区一模）如图，等腰△ABC内接于⊙O，其中AB＝BC，点D在上运动，，DE分别交AB、BC于点P、Q，CD交AB于点M．
（1）求证：．
（2）连结AE，当AE为⊙O的直径时，
①求证：CD⊥AB．
②连结QM，若MQ∥AE，求tan∠EAC的值．
③连结CE，设，，请直接写出y关于x的函数表达式．

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1；③．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴，
∵，
∴，
即；
（2）①证明：连接BE，如图，

令∠AED＝α，
∵，
∴∠BAE＝∠AED＝α，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BEA＝90°﹣α，
∴∠BED＝∠BEA﹣∠AED＝90°﹣2α，
∴∠DCB＝∠BED＝90°﹣2α，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝90°﹣α，
∴∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴AB⊥DC；
②解：连结BD，EC，如图，

∵，
∴∠ABD＝∠EDB，∠PAE＝∠PEA，
∴BP＝DP．
∵MQ∥AE，
∴∠PMQ＝∠PAE，∠PQM＝∠PEA，
∴∠PQM＝∠PMQ，
∴PQ＝PM．
在△PBQ和△PDM中，
，
∴△PBQ≌△PDM（SAS），
∴∠PBQ＝∠QDC，
∴，
∴AC＝EC，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠EAC＝45°，
∴tan∠EAC＝1；
③解：y关于x的函数表达式为：，理由如下：
连接BE，AD，如图，

令∠DEA＝α，
∵，
∴∠BAE＝∠DEA＝α，
∴∠BPE＝∠BAE+∠DEA＝2α，
∵AE为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠ABC＝2∠AED＝2α，
∴∠PBQ＝∠BPQ＝2a，
∴QP＝QB，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BPQ+∠BEP＝90°，∠PBQ+∠EBQ＝90°，
∴∠BEP＝∠EBQ，
∴QE＝BQ，
∴QE＝PQ．
∵，
∴设QP＝xk，PD＝k，
∴QE＝PQ＝xk，
∴DE＝EQ+PQ+PD＝2xk+k＝（2x+1）k，PE＝PQ+EQ＝2xk，
∵∠PAE＝∠PEA，
∴PA＝PE＝2xk，
∵AE为直径，
∴∠PDA＝90°，
∴AD＝＝k，
在Rt△AED中：
AE＝＝k＝2k．
∵DC⊥AB，
∴∠DMP＝90°，
∵AE为直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠DMP＝∠ACE＝90°，
∵∠EDC＝∠EAC，
∴△DMP∽△ACE
∴，
即．
10．（2023•慈溪市一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，AC为直径，E为一动点，连结BE交AC于点G，交AD于点F，连结DE．
（1）设∠E为α，请用α表示∠BAC的度数．
（2）如图1，当BE⊥AD时，
①求证：DE＝BG．
②当，BG＝5时，求半径的长．
（3）如图2，当BE过圆心O时，设tan∠ABE＝x，，求y关于x的函数表达式．

【答案】（1）∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝α；
（2）①证明见解答；
②⊙O的半径的长为；
（3）y关于x的函数表达式为y＝．
【解答】解：（1）∵AB＝AD，
∴＝，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠BAD＝∠E＝α，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝α．
（2）①证明：如图1，连结BD，
∵BE⊥AD于点F，
∴∠AFB＝∠ADC＝90°，
∴BE∥CD，
∴∠DBE＝∠BDC，
∴＝，
∴DE＝BC，
∵∠BGC＝∠ACD＝∠ACB，
∴BC＝BG，
∴DE＝BG．
②如图1，作GL⊥AB于点L，则GL＝GF，∠BLG＝90°，
∴＝tan∠ABE＝，
设GL＝GF＝3m，BL＝4m，则BG＝＝5m，
∴BF＝5m+3m＝8m，
∴AF＝BF•tan∠ABE＝8m×＝6m，
∴＝tan∠BAC＝tan∠DAC＝＝＝，
∵BC＝BG＝5，
∴AB＝2BC＝2×5＝10，
∴AC＝＝5，
∴OA＝AC＝×5＝，
∴⊙O的半径的长为．
（3）如图2，连结BD交AC于点M，
∵AC是⊙O的直径，＝，
∴AC⊥BD，MB＝MD，
∵OB＝OE，
∴OM∥ED，ED＝2OM，
∵OA∥ED，
∴△AOF∽△DEF，
∴＝，
∴+1＝+1，
∴＝，
∵OA＝OB＝OE，
∴y＝＝＝+＝+＝+1＝+1，
∵∠AMB＝∠BMC＝90°，∠ABE＝∠BAC＝∠DAC＝∠DBC，
∴＝tan∠BAC＝tan∠DBC＝＝tan∠ABE＝x，
设AM＝a，则BM＝ax，CM＝x•BM＝ax2，
∴AC＝AM+CM＝a+ax2，
∴OA＝，OM＝AM﹣OA＝a﹣＝，
∴y＝+1＝+1＝，
∴y关于x的函数表达式为y＝．


11．（2023•鄞州区一模）如图1，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，点P为上的一点，连结PE并延长交⊙O于点Q，连结DQ，过点P画PF∥DQ交DC的延长线于点F．若⊙O的直径为10，OE＝3．

（1）求CD的长；
（2）如图2，当∠PQD＝90°时，求∠PEC的正切值；
（3）如图1，设PE＝x，DF＝y．
①求y关于x的函数解析式；
②若PF×DQ＝20，求y的值．
【答案】（1）CD＝8；
（2）tan∠PEC＝；
（3）①y＝+4；
②y的值为．
【解答】解：（1）如图，连结OD．

∵直径AB⊥CD，
∴∠AED＝90°，CE＝DE，
∴OD2＝DE2+OE2，即52＝DE2+32，
∴DE＝4＝CE，
∴CD＝8；
（2）如图，连结PD，PC，

∵∠PQD＝90°，
∴AB是直径，
∴∠PCD＝90°．
在Rt△PCD中，
，
∴tan∠PEC＝＝＝；
（3）①如图，连结CP．

∵PF∥DQ，
∴∠D＝∠F，
∵∠D＝∠CPE，
∴∠CPE＝∠F，
∵∠PEF＝∠CEP，
∴△PCE∽△FPE，
∴，
∴PE2＝CE•EF，
∴x2＝4（y﹣4），
∴y＝+4；
②如图，连结BC，BP，PA，OC，过点P作PH⊥AB于点H，

∵△PCE∽△FPE，
∴（Ⅰ），
∵∠PQD＝∠PCE，∠PEC＝∠DEQ，
∴△PCE∽△DQE，
∴（Ⅱ），
（Ⅰ）×（Ⅱ）得，．
∵CE＝DE，
∴PC2＝PF×DQ＝20，
∴，
在Rt△BCE中，，
∴PC＝BC，
∴，
∴∠PAB＝∠COE，
∵cos∠COE＝＝，
∴cos∠PAB＝，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴＝，
∴PA＝AB×cosA＝6，
∴，
∴PH＝＝，
∴，
在Rt△PHE中，
，
把x2＝代入y＝+4得：
y＝+4＝，
∴y的值为．
12．（2023•镇海区一模）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图1，△ABC的外接圆的圆心是点O，D是弧BC的中点，画一条弦AE把△ABC分成面积相等的两部分；
（2）如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，过点B画弦BD∥AO；
（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，弦AD∥BC，画∠BAC的平分线交BC于点E．

【答案】（1）过程详见解答；
（2）过程详见解答；
（3）过程详见解答．
【解答】解：（1）如图1，
连接OD，交BC于E，连接AE，
则AE将△ABC分成面积相等的两部分，
理由是：∵D是的中点，
∴OD⊥BC，
∴点E是BC的中点，
∴AE平分△ABC的面积；
（2）如图2，
作直径CD，连接BD，则BD∥AO；
理由是：连接OB，
∵OB＝OC，AB＝AC，
∴AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠AFC＝∠CBD，
∴BD∥AO；
（3）连接BD，交AC于G，作射线GO，交⊙O于H，连接AH，交BC于E，则AE平分∠BAC，
连接CD，
∵AD∥BC，
∴＝，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴BG＝CG，
由上可知：点H是的中点，
∴AE平分∠BAC．

13．（2023•镇海区一模）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．
先观察图，直线l1∥l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由．

【基础巩固】如图1，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，求阴影面积与圆面积的比值；
【尝试应用】如图2，在半径为5的⊙O中，BD＝CD，∠ACO＝2∠BDO，cos∠BOC＝x，用含x的代数式表示S△ABC
；
【拓展提高】如图3，AB是⊙O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD⊥AB于点P，点F是⊙O上的点，且满足CF＝CB，连接BF交CD于点E，若BF＝8EP，S△CEF＝10，求⊙O的半径．
​
【答案】【教材呈现】△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4的面积相等；
【基础巩固】；
【尝试应用】S△ABC＝25x；
【拓展提高】6．
【解答】【教材呈现】
解：△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4的面积相等，
∵直线l1∥l2，点A，B在直线l2上，
∴点C1，C2，C3，C4到AB的距离相等，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积相等；
【基础巩固】
解：如图1，

连接OC，OD，
∵MN∥AD∥BC，
∴S△BON＝S△CON，S△DON＝S△AON，
∵S扇形COD＝＝，
∴阴影面积与圆面积的比值为：；
【尝试应用】
解：如图2，

连接OA，作OE⊥AB于E，
∵BD＝CD，OB＝OC，
∴OD⊥BC，
∴∠BDC＝2∠BDO＝2∠CDO，
∴∠BAC＝∠BDC＝2∠BDO，
∵∠ACO＝2∠BDO，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴AB∥OC，
∴S△AOB＝S△ABC，
∵∠BDC＝∠BOC＝α，
∴∠ACO＝∠BAC＝∠BDC＝α，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO＝α，
∴∠BAO＝∠OAC+∠BAC＝2α，
∴AE＝AO•sin∠BAO＝5•sin2α，AE＝AO•cos∠BAO＝5•cos2α，
∴AB＝2AE＝10•sin2α，
∴＝＝25•sin2α•cos2α＝25x•，
∴S△ABC＝25x；
【拓展提高】解：如图3，

连接OC，
设EP＝a，则BF＝8a，
∵CF＝CB，
∴＝，
∴OC⊥BF，
∴FG＝BG＝BF＝4a，
∵OB＝OC，CP⊥OB，
∴EG＝EP＝a，CE＝BE＝BG﹣EG＝4a﹣a＝3a，EF＝FG+EG＝5a，
∴CG＝＝＝2a，
由得，
，
∴a＝，
∴EP＝，BE＝3a＝3，CG＝4，CP＝BG＝4a＝4，
∵cos∠PCO＝，
∴，
∴OC＝6，
∴⊙O的半径为：6．
14．（2023•海曙区一模）定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图①，在四边形ABCD中，若S△ABC＝S△ADC，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形． 　√　
②梯形是倍分四边形． 　×　
（2）如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB＝3，AD＝DC＝5，求BC；
（3）如图②，△ABC中BA＝BC，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形．
①求sinC；
②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E（如图③），若OF＝3，求DE．

【答案】（1）①√；②×；
（2）BC的长为；
（3）①sin∠ACB＝；
②DE＝．
【解答】解：（1）①平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，故平行四边形是倍分四边形，①是真命题；
故答案为：√；
②梯形的对角线不平分梯形的面积，故梯形不是倍分四边形，②是假命题；
故答案为：×；
（2）过D作DE⊥AC于E，如图：

∵AC是四边形ABCD的倍分线，AC⊥AB，
∴AB•AC＝DE•AC，
∴DE＝AB＝3，
在Rt△ADE中，
AE＝＝＝4，
∵AD＝DC，DE⊥AC，
∴AC＝2AE＝8，
在Rt△ABC中，
BC＝＝＝，
∴BC的长为；
（3）①连接BM，CN，OM，设CN交OM于H，如图：

∵BC为⊙O的直径，
∴∠BNC＝∠BMC＝90°，
∵BA＝BC，
∴AM＝CM，
∴S△BCM＝S△BAM＞S△BNM，
∴倍分四边形BCMN中，CN是倍分线，即S△BCN＝S△MCN，
∵∠ANC＝180°﹣∠BNC＝90°，AM＝CM，
∴MN＝AM＝CM＝AC，
∴＝，
∴OM⊥CN，NH＝CH，
设OH＝m，则BN＝2m，
∵S△BCN＝S△MCN，
∴BN•CN＝MH•CN，
∴MH＝BN＝2m，
∴OM＝OH+MH＝3m，
∴OC＝OM＝3m，BC＝2OC＝6m，
在Rt△OCH中，CH2＝OC2﹣OH2＝8m2，
在Rt△CMH中，CM＝＝＝2m，
在Rt△BMC中，BM＝＝＝2m，
∴sin∠ACB＝＝＝；
②连接OM交CN于H，作MF中点P，连接DP，如图：

∵F为OC的中点，
∴OC＝2OF＝6，BC＝2OC＝12，BF＝9，
在Rt△BCM中，BM＝BC•sin∠ACB＝12×＝4，
∴CM＝＝＝4，
由①知，BN＝MH，
∵∠BND＝∠MHD＝90°，∠BND＝∠MDH，
∴△BDN≌△MDH（AAS），
∴DM＝BD＝BM＝2，
∴CD＝＝＝6，
∵P为MF的中点，
∴DP是△MBF的中位线，
∴DP＝BF＝，DP∥BC，
∴△DPE∽△CFE，
∴＝＝＝，
∴DE＝CD＝×6＝．
五．相似形综合题（共2小题）
15．（2023•慈溪市一模）【证明体验】（1）如图1，在△ABC中，D为AB边上一点，连结CD，若∠ACD＝∠ABC，求证：AC2＝AD•AB．
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，D为AB边上一动点，连结CD，E为CD中点，连结BE．
【思考探究】①如图2，当∠ACD＝∠DBE时，求AD的长．
【拓展延伸】②如图3，当∠DEB＝30°时，求AD的长．

【答案】（1）证明见解答；
（2）①AD的长为2．
②AD的长为7﹣．
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠ABC，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AD•AB．
（2）解：①如图，延长AB至F，使BF＝BD，连接CF，
则B为DF的中点，

∵E为CD中点，
∴BE是△CDF的中位线，
∴BE∥CF，BE＝CF，
∴∠F＝∠DBE，
∵∠ACD＝∠DBE，
∴∠ACD＝∠F，
∵∠CAD＝∠FAC，
∴△ACD∽△AFC，
∴＝，
∴AC2＝AD•AF，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，
则∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4，AC＝AB•cosA＝4•cos30°＝2，
设AD＝x，则BF＝BD＝4﹣x，
∴AF＝AB+BF＝4+4﹣x＝8﹣x，
∴（2）2＝x（8﹣x），
解得：x1＝2，x2＝6，
∵AB＝4＜6，
∴x＝6不符合题意，舍去，
∴AD的长为2．
②如图，延长AB至F，使BF＝BD，连接CF，过点C作CG⊥AB于点G，
则B为DF的中点，

∵E为CD中点，
∴BE是△CDF的中位线，
∴BE∥CF，BE＝CF，
∵∠DEB＝30°，
∴∠FCD＝∠DEB＝30°，
由①知∠A＝30°，AB＝4，AC＝2，
∴∠A＝∠FCD，
∵∠CFD＝∠AFC，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝，
∴FC2＝FA•FD，
设AD＝x，则BF＝BD＝4﹣x，
∴FA＝AB+BF＝4+4﹣x＝8﹣x，FD＝2BD＝8﹣2x，
∴FC2＝（8﹣x）（8﹣2x），
在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠A＝30°，AC＝2，
∴CG＝AC＝，AG＝AC•cosA＝2cos30°＝3，
∴BG＝AB﹣AG＝4﹣3＝1，
∴FG＝FB+BG＝4﹣x+1＝5﹣x，
在Rt△CFG中，FC2＝CG2+FG2，
即（8﹣x）（8﹣2x）＝（）2+（5﹣x）2，
解得：x1＝7﹣，x2＝7+，
∵AD＜AB＝4，
∴x＝7+不符合题意，舍去，
∴AD的长为7﹣．
16．（2023•余姚市一模）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连结AD，E为AD上一点，连结CE，若∠BAD＝∠ACE，CD＝CE，求证：△ABD∽△CAE．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上一点，连结BE，∠CBE＝∠DCO，BE＝DO，若BD＝12，OE＝5，求AC的长．
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BC中点，F为DC上一点，连结OE、AF，∠AEO＝∠CAF，若，AC＝6，求菱形ABCD的边长．

【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）18；
（3）2．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴180°﹣∠CDE＝180°﹣∠CED，
∴∠ADB＝∠CEA，
∵∠BAD＝∠ACE，
∴△ABD∽△CAE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴BE＝DO＝BO＝6．
∴∠BEO＝∠BOE，
∴180°﹣∠BEO＝180°﹣∠BOE，
∴∠BEC＝∠COD．
∵∠CBE＝∠DCO，
∴△BEC∽△COD，
∴，
设OC＝x，则CE＝OC﹣OE＝x﹣5，
∴，
∴x1＝9，x2＝﹣4（舍去），
∴OC＝9，
∴AC＝2OC＝18；
（3）解：如图，

延长AG，BC，交于点G．
∵，
∴设DF＝5t，FC＝3t，则CD＝8t，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝8t，AD∥BC，，AC⊥BD，
∴△CGF∽△DAF，
∴，
即，
∴．
在Rt△BOC中，
∵E为BC的中点，
∴OE＝CE＝BC＝4t．
∴∠COE＝∠ACE，
∴∠AOE＝∠ACG，
∵∠AEO＝∠CAF，
∴△AOE∽△GCA，
∴，
即，
∴t1＝，t2＝﹣（舍去），
∴，
即菱形ABCD的边长为．