还剩24页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
展开
这是一份山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题），共27页。试卷主要包含了，连接BC，，对称轴与x轴交于点P，，连接BE等内容，欢迎下载使用。
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
一．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
1．（2023•周村区一模）如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．
（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；
（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2023•临淄区一模）如图，抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）如图1，动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动，同时，动点Q从点B出发，在线段BC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒，问P、Q两点运动多久后△PBQ的面积S最大，最大面积是多少？
（3）如图2，点D为抛物线上一动点，直线AD交y轴于点E，直线BD交y轴于点F，求的值．
3．（2023•张店区一模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴正半轴于点C（0，3），连接BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连接DP，与BC交于点E，连接AE，AP，当△APE面积最大时，求点P的坐标及△APE面积的最大值；
（3）如图3，过点B作直线l，点M，N分别是线段AB和直线l上的动点，连接CM，CN，MN，∠CNM＝45°．
①连接AC，当△ABC与△CMN相似，且S△CMN最小时，求点N的坐标；
②在①的条件下，直线l上是否存在一动点Q，使得∠MQN＝45°，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2023•沂源县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为B（0，4），对称轴与x轴交于点P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴正半轴上的一个动点，连接AM，过点M作AM的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN．
①若△AMN与△AOB相似，求点M的坐标；
②若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时，△AMN有一边与线段AP相等，并且此时这一边与线段AP具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请直接写出“对称点”M的坐标．
三．含30度角的直角三角形（共1小题）
5．（2023•临淄区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
四．三角形综合题（共1小题）
6．（2023•沂源县一模）已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．
五．矩形的判定与性质（共1小题）
7．（2023•沂源县一模）有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB＝60cm，BC＝80cm，∠A＝120°，∠B＝60°，∠C＝150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？
六．四边形综合题（共2小题）
8．（2023•淄川区一模）综合与实践：如图1，已知点E是正方形ABCD对角线AC上一动点（点E不与点A，C重合），连接BE．
（1）实践与操作：在图1中，画出以点B为旋转中心，将线段BE逆时针旋转90°的线段BF，并且连接AF（补全图形，请标注字母）．
（2）观察与猜想：
猜想1，AF和CE之间的位置关系 ；
猜想2，AF和CE之间的数量关系 ．
（3）探究与发现：
①如图2，若点E在CA延长线上时，（2）中的两个猜想是否仍然成立，说明理由；
②如图3，若点B1为AB延长线上一点，以点B1为旋转中心，将线段B1E逆时针旋转90°得到线段B1F，连接AF，（2）中的两个结论是否仍然成立，说明理由．
9．（2023•博山区一模）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A′B′ED，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′．
（1）【观察发现】A′D与B′E是什么位置关系？
（2）【思考表达】连接B′C，判断∠DEC与∠B′CE 是否相等，并说明理由；
（3）如图（2），延长DC交A′B′于点G，连接EG，请探究∠DEG的度数，并说明理由；
（4）【综合运用】如图（3），当∠B＝60° 时，连接B′C，延长DC交A′B′于点G，连接EG，请写出B′C，EG，DG之间的数量关系，并说明理由．
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
参考答案与试题解析
一．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
1．（2023•周村区一模）如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．
（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；
（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B，
∴AB＝n，OB＝m，
又∵△AOB的面积是3，
∴mn＝3，
∴mn＝6，
∵点A在双曲线y＝上，
∴k＝mn＝6；
（2）如图，延长DC交x轴于E，
由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，
∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°，
∵AB⊥x轴，
∴∠ABE＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴∠DEB＝90°，
∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n，
∴C（m+n，n﹣m），
∵点A，C都在双曲线上，
∴mn＝（m+n）（n﹣m），
即m2+mn﹣n2＝0，
方程两边同时除以n2，得
+﹣1＝0，
解得＝，
∵n＞m＞0，
∴＝．
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2023•临淄区一模）如图，抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）如图1，动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动，同时，动点Q从点B出发，在线段BC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒，问P、Q两点运动多久后△PBQ的面积S最大，最大面积是多少？
（3）如图2，点D为抛物线上一动点，直线AD交y轴于点E，直线BD交y轴于点F，求的值．
【答案】（1）A（﹣2，0）、B（4，0），C（0，﹣4）；
（2）运动t＝3秒时，S△PBQ有最大值，最大值为；
（3）．
【解答】解：（1）令y＝0，即有：，
利用因式分解法，求得：x1＝﹣2，x2＝4，
结合图形，可知A（﹣2，0）、B（4，0），
令x＝0，，
则有C点坐标为：C（0，﹣4），
即结果为：A（﹣2，0）、B（4，0），C（0，﹣4）；
（2）∵A（﹣2，0）、B（4，0），C（0，﹣4），
∴AO＝2、BO＝4＝CO，
∴△BOC是等腰直角三角形，AB＝AO+BO＝2+4＝6，
∴，
过Q点作QN⊥AB于N点，如图，
根据运动的特点，可得：AP＝t，，
∴BP＝6﹣t，
∵AB＝6，，
∴t的取值范围为：，
∵△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∵QN⊥AB，
∴∠QNB＝90°，
∴∠NQB＝∠OBC＝45°，
∴△QNB是等腰直角三角形，QN＝BN，
∵，，QN＝BN，
∴QN＝BN＝t，
∴，
∵0＜t≤4，
∴当t＝3时，S△PBQ有最大值，最大值为，
运动t＝3秒时，S△PBQ有最大值，最大值为；
（3）根据题意，设点D的坐标为：，
设直线AD的解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣2，0），
∴，
解得，
即直线AD的解析式为：，
∴令x＝0，，
∴E点坐标为：（0，m﹣4），
∵C（0，﹣4），
∴CE＝|m﹣4+4|＝|m|，
同理可求出直线BD的解析式为：，
∴令x＝0，，
∴F点坐标为：（0，﹣2m﹣4），
∵C（0，﹣4），
∴CF＝|﹣2m﹣4+4|＝|2m|，
根据题意可知：若m＝0，则可知E、F、D、C四点重合，
此时不符合题意，故m≠0，
∴，
即值为．
3．（2023•张店区一模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴正半轴于点C（0，3），连接BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连接DP，与BC交于点E，连接AE，AP，当△APE面积最大时，求点P的坐标及△APE面积的最大值；
（3）如图3，过点B作直线l，点M，N分别是线段AB和直线l上的动点，连接CM，CN，MN，∠CNM＝45°．
①连接AC，当△ABC与△CMN相似，且S△CMN最小时，求点N的坐标；
②在①的条件下，直线l上是否存在一动点Q，使得∠MQN＝45°，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，
（2）S△APE有最大值为，此时，点P（，）；
（3）N的坐标为（，）或（，）；点Q的坐标为：（，−）或（，﹣）．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
∴﹣3a＝3，则a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3①，
（2）由B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
∵AD∥BC，则直线AD的表达式为：y＝﹣x﹣1②，
联立①②并解得：，即点D的坐标为（4，﹣5）；
过点D作DF∥AP交x轴于点F，连接PF，
∵DF∥AP，BC∥AD，
∴S△DAP＝S△FAP，S△EAD＝S△BAD，
∴S△APE＝S△DAP﹣S△EAD＝S△FAP﹣S△BAD，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y＝（3﹣m）（x+1），
∵DF∥AP，则直线FD的表达式为：y＝（3﹣m）（x﹣4）﹣5，
令y＝（3﹣m）（x﹣4）﹣5，则x＝，
则AF＝5+，
则S△APE＝S△FAP﹣S△BAD＝FA•yP﹣AB•|yD|＝（5+）×（﹣m2+2m+3）﹣4×5＝﹣（m﹣）2+≤，
故S△APE有最大值为，此时，点P（，）；
（3）过M作MF⊥直线l于F，过G作GD⊥x轴于D，过N作NE⊥x轴于E，如图：
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AC＝，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝45°，
∵∠CNM＝45°，△ABC与△CMN相似，
∴∠ABC＝∠CNM，点N对应点B，边AC对应边CM，
∵S△CMN最小，且△CMN与△ABC相似，形状不变，
∴边CM最小，即CM⊥x轴，M与O重合，CM＝CO＝3，
分两种情况：
①△ABC∽△MNC时，，
∴，
∴MN＝，CN＝，
设N（m，n），而M（0，0），C（0，3），
∴，解得：（不合题意的值已舍去），
∴N（，）；
则OE＝，NE＝，
∴BE＝OE﹣OB＝，
Rt△BNE中，tan∠NBE＝＝＝2，
Rt△MFB中，tan∠MBF＝tan∠NBE＝2，即MF＝2BF，
∴cos∠MBF＝，tan∠MBF＝，
又BM＝3，
∴BF＝，MF＝，
∵∠MQN＝45°，MF⊥直线l于F，
∴QF＝MF＝，
∴BQ＝QF+BF＝，
Rt△BDQ中，tan∠MBF＝2，cos∠MBF＝，tan∠MBF＝，
∴BD＝BQ•＝，DQ＝BQ•＝，
∴MD＝MB﹣BD＝，
∴G（，−），
②△ABC∽△CNM时，，
∴，
∴CN＝，MN＝，
设N（s，r），方法同①可得N（，），
∴BE＝，NE＝，
∴tan∠NBE＝3，
同①方法可得Q（，﹣），
综上，点Q的坐标为：（，−）或（，﹣）．
综上，N的坐标为（，）或（，）；点Q的坐标为：（，−）或（，﹣）．
4．（2023•沂源县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为B（0，4），对称轴与x轴交于点P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴正半轴上的一个动点，连接AM，过点M作AM的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN．
①若△AMN与△AOB相似，求点M的坐标；
②若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时，△AMN有一边与线段AP相等，并且此时这一边与线段AP具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请直接写出“对称点”M的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（0，4）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）①抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝3，
作MD⊥直线x＝3于点D，作AE⊥MD于E，
∵∠AMN＝∠AOB，
∴当＝，即＝＝＝2，△AMN∽△BOA，如图1，
∵∠EAM+∠EMA＝90°，∠DMN+∠EMA＝90°．
∴∠EAM＝∠DMN
∵∠AEM＝∠MDN＝90°，
∴△AEM∽△MDN，
∴＝＝2，
而MD＝3，
∴AE＝6，
此时M点的坐标为（0，6）；
∴当＝，即＝＝＝，△AMN∽△AOB，如图2，
同理可得△AEM∽△MDN，
∴＝＝，
而MD＝3，
∴AE＝，
此时M点的坐标为（0，）；
综上所述，M点的坐标为（0，6）或（0，）；
②∵A（﹣2，0），P（3，0），
∴AP＝5，
当AM＝AP＝5时，OM＝＝，此时M点坐标为（0，）；
当AN＝AP＝5时，点N与点P重合，则OM2＝OA•OP，
∴OM＝＝，此时M点坐标为（0，）；
当MN＝5时，在Rt△MND中，DN＝＝4，
∵△AEM∽△MDN，
∴＝，即＝，解得AE＝，此时M点坐标为（0，），
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．
三．含30度角的直角三角形（共1小题）
5．（2023•临淄区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：连接CD．
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
四．三角形综合题（共1小题）
6．（2023•沂源县一模）已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．
理由：如图1中，
∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，
∴DF＝AF＝EF＝CF，
∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，
∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，
∴DF＝FC，DF⊥FC．
（2）结论不变．
理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．
∵BC⊥AM，AC＝CM，
∴BA＝BM，同法BE＝BN，
∵∠ABM＝∠EBN＝90°，
∴∠NBA＝∠EBM，
∴△ABN≌△MBE（SAS），
∴AN＝EM，
∴∠BAN＝∠BME，
∵AF＝FE，AC＝CM，
∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN，
∴FD＝FC，
∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，
∴∠BAN+∠AOH＝90°，
∴∠AHO＝90°，
∴AN⊥MH，FD⊥FC．
方法二：延长CF到M．使得CF＝FM，连接EM，CD，CE，DM，证明△CDM是等腰直角三角形即可解决问题．
（3）如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，最大值＝3
如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值＝．
综上所述，≤BF．
五．矩形的判定与性质（共1小题）
7．（2023•沂源县一模）有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB＝60cm，BC＝80cm，∠A＝120°，∠B＝60°，∠C＝150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
过C作CM∥AB，交AD于M，
∵∠A＝120°，∠B＝60°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AM∥BC，
∵AB∥CM，
∴四边形ABCM是平行四边形，
∴AB＝CM＝60cm，BC＝AM＝80cm，∠B＝∠AMC＝60°，
∵AD∥BC，∠C＝150°，
∴∠D＝180°﹣150°＝30°，
∴∠MCD＝60°﹣30°＝30°＝∠D，
∴CM＝DM＝60cm，
∴AD＝60cm+80cm＝140cm．
六．四边形综合题（共2小题）
8．（2023•淄川区一模）综合与实践：如图1，已知点E是正方形ABCD对角线AC上一动点（点E不与点A，C重合），连接BE．
（1）实践与操作：在图1中，画出以点B为旋转中心，将线段BE逆时针旋转90°的线段BF，并且连接AF（补全图形，请标注字母）．
（2）观察与猜想：
猜想1，AF和CE之间的位置关系 AF⊥CE ；
猜想2，AF和CE之间的数量关系 AF＝CE ．
（3）探究与发现：
①如图2，若点E在CA延长线上时，（2）中的两个猜想是否仍然成立，说明理由；
②如图3，若点B1为AB延长线上一点，以点B1为旋转中心，将线段B1E逆时针旋转90°得到线段B1F，连接AF，（2）中的两个结论是否仍然成立，说明理由．
【答案】（1）图见解析；
（2）AF⊥CE，AF＝CE；
（3）①当点E在CA的延长线上时，
②中的两个猜想仍然成立．理由见解析；②猜想1成立，猜想2不成立．理由见解析．
【解答】解：（1）补充的图如下：
（2）猜想：AF⊥CE，AF＝CE；
由正方形ABCD，可得AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BAC＝45°，
∵∠EBF＝90°，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠EBF﹣∠ABE，
∴∠ABF＝∠CBE．
由旋转性质，可得BE＝BF，
∴△ABF≌△CBE（AAS），
∴∠BAF＝∠BCE＝45°，AF＝CE，
∴∠CAF＝∠BAC+∠BAF＝45°+45°＝90°，
∴AF⊥CE；
（3）①当点E在CA的延长线上时，（2）中的两个猜想仍然成立．
理由如下：
由正方形ABCD，可得AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BAC＝45°，
∵∠EBF＝90°，
∴∠ABC+∠ABE＝∠EBF+∠ABE，
∴∠ABF＝∠CBE．
由旋转性质，可得BE＝BF，
∴△ABF≌△CBE（AAS），
∴∠BAF＝∠BCE＝45°，AF＝CE，
∴∠CAF＝∠BAC+∠BAF＝45°+45°＝90°，
∴AF⊥CE；
②猜想1成立，猜想2不成立．
理由如下：
如图，过点B1作B1C1⊥AB1，与AC的延长线交于点C1．
∴BC∥B1C1，
∴∠AB1C1＝∠ABC＝90°，
∵∠B1AC1＝45°，
∴∠B1C1A＝45°，
∴AB1＝B1C1．
∵∠EB1F＝90°，
∴∠EB1F﹣∠AB1E＝∠AB1C1﹣∠AB1E，
∴∠AB1F＝∠C1B1E，
又B1E＝B1F，
∴△AB1F≌△C1B1E（AAS），
∴∠B1AF＝∠BC1E＝45°，AF＝C1E，
∴∠C1AF＝∠B1AC+∠B1AF＝45°+45°＝90°，
∴AF⊥CE，
又C1E＝CE+C1C，
∴AF≠CE．
即猜想1，AF⊥CE成立，猜想2，AF＝CE不成立．
9．（2023•博山区一模）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A′B′ED，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′．
（1）【观察发现】A′D与B′E是什么位置关系？
（2）【思考表达】连接B′C，判断∠DEC与∠B′CE 是否相等，并说明理由；
（3）如图（2），延长DC交A′B′于点G，连接EG，请探究∠DEG的度数，并说明理由；
（4）【综合运用】如图（3），当∠B＝60° 时，连接B′C，延长DC交A′B′于点G，连接EG，请写出B′C，EG，DG之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）A′D∥B′E；
（2）结论：∠DEC＝∠B'CE．理由见解析部分；
（3）结论：∠DEG＝90°．理由见解析部分；
（4）结论：DG2＝EG2+B′C2．理由见解析部分．
【解答】解：（1）如图（1）中，由翻折的性质可知，A′D∥B′E．
故答案为：A′D∥B′E；
（2）结论：∠DEC＝∠B'CE．
理由：如图（2）中，连接BB′．
∵EB＝EC＝EB′，
∴∠BB′C＝90°，
∴BB′⊥B′C，
由翻折变换的性质可知BB′⊥DE，
∴DE∥CB′，
∴∠DEC＝∠B′CE；
（3）结论：∠DEG＝90°．
理由：如图（2）中，连接DB，DB′，
由翻折的性质可知∠BDE＝∠B′DE，
设∠BDE＝∠B′DE＝x，∠A＝∠A′＝y．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB＝∠CDB＝∠B′DA′，
∴∠A′DG＝∠BDB′＝2x，
∴∠DGA′＝180°﹣2x﹣y，
∵∠BEB′＝∠EBD+∠EB′D+∠BDB′，
∴∠BEB′＝180°﹣y+2x，
∵EC＝EB′，
∴∠EB′C＝∠ECB′＝∠BEB′＝90°﹣y+x，
∴∠GB′C＝∠A′B′E﹣∠EB′C＝180°﹣y﹣（90°﹣y+x）＝90°﹣y﹣x，
∴∠CGA′＝2∠GB′C，
∵∠CGA′＝∠GB′C+∠GCB′，
∴∠GB′C＝∠GCB′，
∴GC＝GB′，
∵EB′＝EC，
∴EG⊥CB′，
∵DE∥CB′，
∴DE⊥EG，
∴∠DEG＝90°；
（4）结论：DG2＝EG2+B′C2．
理由：如图（3）中，延长DG交EB′的延长线于点T，过点D作DR⊥GA′交GA′的延长线于点R．
设GC＝GB′＝x，CD＝A′D＝A′B′＝2a，
∵∠B＝60°，
∴∠A＝∠DA′B′＝120°，
∴∠DA′R＝60°，
∴A′R＝A′D•cos60°＝a，DR＝a，
在Rt△DGR中，则有（2a+x）2＝（a）2+（3a﹣x）2，
∴x＝a，
∴GB′＝a，A′G＝a，
∵TB′∥DA′，
∴＝，
∴＝，
∴TB′＝a，
∵CB′∥DE，
∴＝＝＝，
∴DE＝CB′，
∵∠DEG＝90°，
∴DG2＝EG2+DE2，
∴DG2＝EG2+B′C2．
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
一．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
1．（2023•周村区一模）如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．
（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；
（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2023•临淄区一模）如图，抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）如图1，动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动，同时，动点Q从点B出发，在线段BC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒，问P、Q两点运动多久后△PBQ的面积S最大，最大面积是多少？
（3）如图2，点D为抛物线上一动点，直线AD交y轴于点E，直线BD交y轴于点F，求的值．
3．（2023•张店区一模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴正半轴于点C（0，3），连接BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连接DP，与BC交于点E，连接AE，AP，当△APE面积最大时，求点P的坐标及△APE面积的最大值；
（3）如图3，过点B作直线l，点M，N分别是线段AB和直线l上的动点，连接CM，CN，MN，∠CNM＝45°．
①连接AC，当△ABC与△CMN相似，且S△CMN最小时，求点N的坐标；
②在①的条件下，直线l上是否存在一动点Q，使得∠MQN＝45°，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2023•沂源县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为B（0，4），对称轴与x轴交于点P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴正半轴上的一个动点，连接AM，过点M作AM的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN．
①若△AMN与△AOB相似，求点M的坐标；
②若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时，△AMN有一边与线段AP相等，并且此时这一边与线段AP具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请直接写出“对称点”M的坐标．
三．含30度角的直角三角形（共1小题）
5．（2023•临淄区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
四．三角形综合题（共1小题）
6．（2023•沂源县一模）已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．
五．矩形的判定与性质（共1小题）
7．（2023•沂源县一模）有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB＝60cm，BC＝80cm，∠A＝120°，∠B＝60°，∠C＝150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？
六．四边形综合题（共2小题）
8．（2023•淄川区一模）综合与实践：如图1，已知点E是正方形ABCD对角线AC上一动点（点E不与点A，C重合），连接BE．
（1）实践与操作：在图1中，画出以点B为旋转中心，将线段BE逆时针旋转90°的线段BF，并且连接AF（补全图形，请标注字母）．
（2）观察与猜想：
猜想1，AF和CE之间的位置关系 ；
猜想2，AF和CE之间的数量关系 ．
（3）探究与发现：
①如图2，若点E在CA延长线上时，（2）中的两个猜想是否仍然成立，说明理由；
②如图3，若点B1为AB延长线上一点，以点B1为旋转中心，将线段B1E逆时针旋转90°得到线段B1F，连接AF，（2）中的两个结论是否仍然成立，说明理由．
9．（2023•博山区一模）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A′B′ED，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′．
（1）【观察发现】A′D与B′E是什么位置关系？
（2）【思考表达】连接B′C，判断∠DEC与∠B′CE 是否相等，并说明理由；
（3）如图（2），延长DC交A′B′于点G，连接EG，请探究∠DEG的度数，并说明理由；
（4）【综合运用】如图（3），当∠B＝60° 时，连接B′C，延长DC交A′B′于点G，连接EG，请写出B′C，EG，DG之间的数量关系，并说明理由．
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）
参考答案与试题解析
一．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
1．（2023•周村区一模）如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．
（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；
（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B，
∴AB＝n，OB＝m，
又∵△AOB的面积是3，
∴mn＝3，
∴mn＝6，
∵点A在双曲线y＝上，
∴k＝mn＝6；
（2）如图，延长DC交x轴于E，
由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，
∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°，
∵AB⊥x轴，
∴∠ABE＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴∠DEB＝90°，
∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n，
∴C（m+n，n﹣m），
∵点A，C都在双曲线上，
∴mn＝（m+n）（n﹣m），
即m2+mn﹣n2＝0，
方程两边同时除以n2，得
+﹣1＝0，
解得＝，
∵n＞m＞0，
∴＝．
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2023•临淄区一模）如图，抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）如图1，动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动，同时，动点Q从点B出发，在线段BC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒，问P、Q两点运动多久后△PBQ的面积S最大，最大面积是多少？
（3）如图2，点D为抛物线上一动点，直线AD交y轴于点E，直线BD交y轴于点F，求的值．
【答案】（1）A（﹣2，0）、B（4，0），C（0，﹣4）；
（2）运动t＝3秒时，S△PBQ有最大值，最大值为；
（3）．
【解答】解：（1）令y＝0，即有：，
利用因式分解法，求得：x1＝﹣2，x2＝4，
结合图形，可知A（﹣2，0）、B（4，0），
令x＝0，，
则有C点坐标为：C（0，﹣4），
即结果为：A（﹣2，0）、B（4，0），C（0，﹣4）；
（2）∵A（﹣2，0）、B（4，0），C（0，﹣4），
∴AO＝2、BO＝4＝CO，
∴△BOC是等腰直角三角形，AB＝AO+BO＝2+4＝6，
∴，
过Q点作QN⊥AB于N点，如图，
根据运动的特点，可得：AP＝t，，
∴BP＝6﹣t，
∵AB＝6，，
∴t的取值范围为：，
∵△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∵QN⊥AB，
∴∠QNB＝90°，
∴∠NQB＝∠OBC＝45°，
∴△QNB是等腰直角三角形，QN＝BN，
∵，，QN＝BN，
∴QN＝BN＝t，
∴，
∵0＜t≤4，
∴当t＝3时，S△PBQ有最大值，最大值为，
运动t＝3秒时，S△PBQ有最大值，最大值为；
（3）根据题意，设点D的坐标为：，
设直线AD的解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣2，0），
∴，
解得，
即直线AD的解析式为：，
∴令x＝0，，
∴E点坐标为：（0，m﹣4），
∵C（0，﹣4），
∴CE＝|m﹣4+4|＝|m|，
同理可求出直线BD的解析式为：，
∴令x＝0，，
∴F点坐标为：（0，﹣2m﹣4），
∵C（0，﹣4），
∴CF＝|﹣2m﹣4+4|＝|2m|，
根据题意可知：若m＝0，则可知E、F、D、C四点重合，
此时不符合题意，故m≠0，
∴，
即值为．
3．（2023•张店区一模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴正半轴于点C（0，3），连接BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连接DP，与BC交于点E，连接AE，AP，当△APE面积最大时，求点P的坐标及△APE面积的最大值；
（3）如图3，过点B作直线l，点M，N分别是线段AB和直线l上的动点，连接CM，CN，MN，∠CNM＝45°．
①连接AC，当△ABC与△CMN相似，且S△CMN最小时，求点N的坐标；
②在①的条件下，直线l上是否存在一动点Q，使得∠MQN＝45°，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，
（2）S△APE有最大值为，此时，点P（，）；
（3）N的坐标为（，）或（，）；点Q的坐标为：（，−）或（，﹣）．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
∴﹣3a＝3，则a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3①，
（2）由B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
∵AD∥BC，则直线AD的表达式为：y＝﹣x﹣1②，
联立①②并解得：，即点D的坐标为（4，﹣5）；
过点D作DF∥AP交x轴于点F，连接PF，
∵DF∥AP，BC∥AD，
∴S△DAP＝S△FAP，S△EAD＝S△BAD，
∴S△APE＝S△DAP﹣S△EAD＝S△FAP﹣S△BAD，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y＝（3﹣m）（x+1），
∵DF∥AP，则直线FD的表达式为：y＝（3﹣m）（x﹣4）﹣5，
令y＝（3﹣m）（x﹣4）﹣5，则x＝，
则AF＝5+，
则S△APE＝S△FAP﹣S△BAD＝FA•yP﹣AB•|yD|＝（5+）×（﹣m2+2m+3）﹣4×5＝﹣（m﹣）2+≤，
故S△APE有最大值为，此时，点P（，）；
（3）过M作MF⊥直线l于F，过G作GD⊥x轴于D，过N作NE⊥x轴于E，如图：
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AC＝，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝45°，
∵∠CNM＝45°，△ABC与△CMN相似，
∴∠ABC＝∠CNM，点N对应点B，边AC对应边CM，
∵S△CMN最小，且△CMN与△ABC相似，形状不变，
∴边CM最小，即CM⊥x轴，M与O重合，CM＝CO＝3，
分两种情况：
①△ABC∽△MNC时，，
∴，
∴MN＝，CN＝，
设N（m，n），而M（0，0），C（0，3），
∴，解得：（不合题意的值已舍去），
∴N（，）；
则OE＝，NE＝，
∴BE＝OE﹣OB＝，
Rt△BNE中，tan∠NBE＝＝＝2，
Rt△MFB中，tan∠MBF＝tan∠NBE＝2，即MF＝2BF，
∴cos∠MBF＝，tan∠MBF＝，
又BM＝3，
∴BF＝，MF＝，
∵∠MQN＝45°，MF⊥直线l于F，
∴QF＝MF＝，
∴BQ＝QF+BF＝，
Rt△BDQ中，tan∠MBF＝2，cos∠MBF＝，tan∠MBF＝，
∴BD＝BQ•＝，DQ＝BQ•＝，
∴MD＝MB﹣BD＝，
∴G（，−），
②△ABC∽△CNM时，，
∴，
∴CN＝，MN＝，
设N（s，r），方法同①可得N（，），
∴BE＝，NE＝，
∴tan∠NBE＝3，
同①方法可得Q（，﹣），
综上，点Q的坐标为：（，−）或（，﹣）．
综上，N的坐标为（，）或（，）；点Q的坐标为：（，−）或（，﹣）．
4．（2023•沂源县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为B（0，4），对称轴与x轴交于点P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴正半轴上的一个动点，连接AM，过点M作AM的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN．
①若△AMN与△AOB相似，求点M的坐标；
②若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时，△AMN有一边与线段AP相等，并且此时这一边与线段AP具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请直接写出“对称点”M的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（0，4）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）①抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝3，
作MD⊥直线x＝3于点D，作AE⊥MD于E，
∵∠AMN＝∠AOB，
∴当＝，即＝＝＝2，△AMN∽△BOA，如图1，
∵∠EAM+∠EMA＝90°，∠DMN+∠EMA＝90°．
∴∠EAM＝∠DMN
∵∠AEM＝∠MDN＝90°，
∴△AEM∽△MDN，
∴＝＝2，
而MD＝3，
∴AE＝6，
此时M点的坐标为（0，6）；
∴当＝，即＝＝＝，△AMN∽△AOB，如图2，
同理可得△AEM∽△MDN，
∴＝＝，
而MD＝3，
∴AE＝，
此时M点的坐标为（0，）；
综上所述，M点的坐标为（0，6）或（0，）；
②∵A（﹣2，0），P（3，0），
∴AP＝5，
当AM＝AP＝5时，OM＝＝，此时M点坐标为（0，）；
当AN＝AP＝5时，点N与点P重合，则OM2＝OA•OP，
∴OM＝＝，此时M点坐标为（0，）；
当MN＝5时，在Rt△MND中，DN＝＝4，
∵△AEM∽△MDN，
∴＝，即＝，解得AE＝，此时M点坐标为（0，），
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．
三．含30度角的直角三角形（共1小题）
5．（2023•临淄区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：连接CD．
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
四．三角形综合题（共1小题）
6．（2023•沂源县一模）已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．
理由：如图1中，
∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，
∴DF＝AF＝EF＝CF，
∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，
∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，
∴DF＝FC，DF⊥FC．
（2）结论不变．
理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．
∵BC⊥AM，AC＝CM，
∴BA＝BM，同法BE＝BN，
∵∠ABM＝∠EBN＝90°，
∴∠NBA＝∠EBM，
∴△ABN≌△MBE（SAS），
∴AN＝EM，
∴∠BAN＝∠BME，
∵AF＝FE，AC＝CM，
∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN，
∴FD＝FC，
∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，
∴∠BAN+∠AOH＝90°，
∴∠AHO＝90°，
∴AN⊥MH，FD⊥FC．
方法二：延长CF到M．使得CF＝FM，连接EM，CD，CE，DM，证明△CDM是等腰直角三角形即可解决问题．
（3）如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，最大值＝3
如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值＝．
综上所述，≤BF．
五．矩形的判定与性质（共1小题）
7．（2023•沂源县一模）有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB＝60cm，BC＝80cm，∠A＝120°，∠B＝60°，∠C＝150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
过C作CM∥AB，交AD于M，
∵∠A＝120°，∠B＝60°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AM∥BC，
∵AB∥CM，
∴四边形ABCM是平行四边形，
∴AB＝CM＝60cm，BC＝AM＝80cm，∠B＝∠AMC＝60°，
∵AD∥BC，∠C＝150°，
∴∠D＝180°﹣150°＝30°，
∴∠MCD＝60°﹣30°＝30°＝∠D，
∴CM＝DM＝60cm，
∴AD＝60cm+80cm＝140cm．
六．四边形综合题（共2小题）
8．（2023•淄川区一模）综合与实践：如图1，已知点E是正方形ABCD对角线AC上一动点（点E不与点A，C重合），连接BE．
（1）实践与操作：在图1中，画出以点B为旋转中心，将线段BE逆时针旋转90°的线段BF，并且连接AF（补全图形，请标注字母）．
（2）观察与猜想：
猜想1，AF和CE之间的位置关系 AF⊥CE ；
猜想2，AF和CE之间的数量关系 AF＝CE ．
（3）探究与发现：
①如图2，若点E在CA延长线上时，（2）中的两个猜想是否仍然成立，说明理由；
②如图3，若点B1为AB延长线上一点，以点B1为旋转中心，将线段B1E逆时针旋转90°得到线段B1F，连接AF，（2）中的两个结论是否仍然成立，说明理由．
【答案】（1）图见解析；
（2）AF⊥CE，AF＝CE；
（3）①当点E在CA的延长线上时，
②中的两个猜想仍然成立．理由见解析；②猜想1成立，猜想2不成立．理由见解析．
【解答】解：（1）补充的图如下：
（2）猜想：AF⊥CE，AF＝CE；
由正方形ABCD，可得AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BAC＝45°，
∵∠EBF＝90°，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠EBF﹣∠ABE，
∴∠ABF＝∠CBE．
由旋转性质，可得BE＝BF，
∴△ABF≌△CBE（AAS），
∴∠BAF＝∠BCE＝45°，AF＝CE，
∴∠CAF＝∠BAC+∠BAF＝45°+45°＝90°，
∴AF⊥CE；
（3）①当点E在CA的延长线上时，（2）中的两个猜想仍然成立．
理由如下：
由正方形ABCD，可得AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BAC＝45°，
∵∠EBF＝90°，
∴∠ABC+∠ABE＝∠EBF+∠ABE，
∴∠ABF＝∠CBE．
由旋转性质，可得BE＝BF，
∴△ABF≌△CBE（AAS），
∴∠BAF＝∠BCE＝45°，AF＝CE，
∴∠CAF＝∠BAC+∠BAF＝45°+45°＝90°，
∴AF⊥CE；
②猜想1成立，猜想2不成立．
理由如下：
如图，过点B1作B1C1⊥AB1，与AC的延长线交于点C1．
∴BC∥B1C1，
∴∠AB1C1＝∠ABC＝90°，
∵∠B1AC1＝45°，
∴∠B1C1A＝45°，
∴AB1＝B1C1．
∵∠EB1F＝90°，
∴∠EB1F﹣∠AB1E＝∠AB1C1﹣∠AB1E，
∴∠AB1F＝∠C1B1E，
又B1E＝B1F，
∴△AB1F≌△C1B1E（AAS），
∴∠B1AF＝∠BC1E＝45°，AF＝C1E，
∴∠C1AF＝∠B1AC+∠B1AF＝45°+45°＝90°，
∴AF⊥CE，
又C1E＝CE+C1C，
∴AF≠CE．
即猜想1，AF⊥CE成立，猜想2，AF＝CE不成立．
9．（2023•博山区一模）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A′B′ED，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′．
（1）【观察发现】A′D与B′E是什么位置关系？
（2）【思考表达】连接B′C，判断∠DEC与∠B′CE 是否相等，并说明理由；
（3）如图（2），延长DC交A′B′于点G，连接EG，请探究∠DEG的度数，并说明理由；
（4）【综合运用】如图（3），当∠B＝60° 时，连接B′C，延长DC交A′B′于点G，连接EG，请写出B′C，EG，DG之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）A′D∥B′E；
（2）结论：∠DEC＝∠B'CE．理由见解析部分；
（3）结论：∠DEG＝90°．理由见解析部分；
（4）结论：DG2＝EG2+B′C2．理由见解析部分．
【解答】解：（1）如图（1）中，由翻折的性质可知，A′D∥B′E．
故答案为：A′D∥B′E；
（2）结论：∠DEC＝∠B'CE．
理由：如图（2）中，连接BB′．
∵EB＝EC＝EB′，
∴∠BB′C＝90°，
∴BB′⊥B′C，
由翻折变换的性质可知BB′⊥DE，
∴DE∥CB′，
∴∠DEC＝∠B′CE；
（3）结论：∠DEG＝90°．
理由：如图（2）中，连接DB，DB′，
由翻折的性质可知∠BDE＝∠B′DE，
设∠BDE＝∠B′DE＝x，∠A＝∠A′＝y．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB＝∠CDB＝∠B′DA′，
∴∠A′DG＝∠BDB′＝2x，
∴∠DGA′＝180°﹣2x﹣y，
∵∠BEB′＝∠EBD+∠EB′D+∠BDB′，
∴∠BEB′＝180°﹣y+2x，
∵EC＝EB′，
∴∠EB′C＝∠ECB′＝∠BEB′＝90°﹣y+x，
∴∠GB′C＝∠A′B′E﹣∠EB′C＝180°﹣y﹣（90°﹣y+x）＝90°﹣y﹣x，
∴∠CGA′＝2∠GB′C，
∵∠CGA′＝∠GB′C+∠GCB′，
∴∠GB′C＝∠GCB′，
∴GC＝GB′，
∵EB′＝EC，
∴EG⊥CB′，
∵DE∥CB′，
∴DE⊥EG，
∴∠DEG＝90°；
（4）结论：DG2＝EG2+B′C2．
理由：如图（3）中，延长DG交EB′的延长线于点T，过点D作DR⊥GA′交GA′的延长线于点R．
设GC＝GB′＝x，CD＝A′D＝A′B′＝2a，
∵∠B＝60°，
∴∠A＝∠DA′B′＝120°，
∴∠DA′R＝60°，
∴A′R＝A′D•cos60°＝a，DR＝a，
在Rt△DGR中，则有（2a+x）2＝（a）2+（3a﹣x）2，
∴x＝a，
∴GB′＝a，A′G＝a，
∵TB′∥DA′，
∴＝，
∴＝，
∴TB′＝a，
∵CB′∥DE，
∴＝＝＝，
∴DE＝CB′，
∵∠DEG＝90°，
∴DG2＝EG2+DE2，
∴DG2＝EG2+B′C2．
相关试卷
山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）： 这是一份山东省淄博市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题），共30页。试卷主要包含了，交y轴于点C，动直线l，与y轴交于点C，，交y轴于点C，综合与探究等内容，欢迎下载使用。
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）： 这是一份山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题），共30页。试卷主要包含了，连接AC，BC，综合与实践等内容，欢迎下载使用。
山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）： 这是一份山东省泰安市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题），共30页。试卷主要包含了，连接AC，BC，综合与实践等内容，欢迎下载使用。
