山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（14套）-03解答题（较难题）

这是一份山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（14套）-03解答题（较难题），共65页。试卷主要包含了，点B是线段AD的中点，，AC＝3，，与y轴交于点B，两点，交y轴于点C等内容，欢迎下载使用。
山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（14套）-03解答题（较难题）
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2023•长清区一模）如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．

二．反比例函数综合题（共5小题）
2．（2023•历城区一模）如图，在矩形OABC中，OA＝6，OC＝4，分别以AO，OC所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．反比例函数的图象交BC于点E，交AB于点F，BE＝4．
（1）求k的值与点F的坐标；
（2）在x轴上找一点M，使△EMF的周长最小，请求出点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，Q，使得以点P，Q，M，E为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2023•历下区一模）如图，直线OC：y＝3x的图象与反比例函数：的图象交于点C（2，c），点A在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，的图象经过线段AB的中点M．
（1）求c的值与k的值；
（2）求平行四边形OABC的面积；
（3）若点P是反比例函数图象上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，使得四边形AMPQ是矩形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2023•章丘区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．
（1）求k，b的值．
（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．
（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．


5．（2023•莱芜区一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，△ABC为直角三角形，AC∥x轴，AB∥y轴，A（8，4），AC＝3．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点M是y轴正半轴上的动点，连接MB、MC；
①求MB+MC的最小值；
②点N是反比例函数的图象上的一个点，若△CMN是以CN为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点N的坐标．
​

6．（2023•槐荫区一模）如图1，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，AC＝AD，连接CB．求△ABC的面积；
（3）如图2，以线段AB为对角线作正方形AFBG，H是线段BF（不与点B、F重合）上的一动点，M是HG的中点，MN⊥GH交AB于点N，当点H在BF上运动时，请直接写出线段MN长度的取值范围．

三．二次函数综合题（共8小题）
7．（2023•历城区一模）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C，与y轴相交于点D．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（0＜m＜3）．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，连接BD，PB，PD，若△PBD的面积为3，求m的值；
（3）连接AC，过点P作PM⊥AC于点M，是否存在点P，使得PM＝2CM．如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

8．（2023•历下区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+4过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式和对称轴；
（2）如图1，若点P是线段OC上的一动点，连接AP、BP，将△ABP沿直线BP翻折，得到△A′BP，当点A′落在该抛物线的对称轴上时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作直线BC的垂线，分别交直线BC、线段AC于点N、点E，过点E作EH⊥x轴，求的最大值．

9．（2023•莱芜区一模）抛物线与x轴交于A（b，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，c），点P是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．
（1）求a，b，c的值；
（2）如图1，连接BC、AP，交点为M，连接PB，若，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接EB，E′C，求的最小值．
​
10．（2023•济阳区一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣3）2+4过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求a的值，并直接写出A、B两点的坐标；
（2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且∠BOP＝45°，求点P的坐标；
（3）如图2，若C点为线段BD上一点，求3BC+5AC的最小值．
11．（2023•长清区一模）抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），与它的对称轴直线x＝1交于点B．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）E在直线AN上方的抛物线上，过点E作EH⊥AN，垂足为H，求EH的最大值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞﹣3，当m＜0时，表示向下平移|m|）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．

12．（2023•长清区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为　 　，抛物线的顶点坐标为　 　；
（2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（4）如图3，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标．

13．（2023•章丘区一模）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC．

（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点Q使得∠QCB＝∠CBO？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2023•平阴县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．


四．三角形综合题（共2小题）
15．（2023•济阳区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AB的中点，连接CD，CD＝6，以点D为顶点作△DEF，使∠EDF＝90°，DE＝DF＝10．
（1）连接BF，CE．线段BF和线段CE的数量关系为 　 　，直线BF和直线CE的位置关系为 　 　；
（2）如图2，当EC∥AB时，设AC与DE交于点G，求DG的长度；
（3）当E，C，B在同一条直线上时，请直接写出EC的长度．
16．（2023•槐荫区一模）小辰有如图1所示，含30°，60°角的三角板各两个，其中大小三角板的最短边分别为12cm和6cm，现小辰将同样大小的两个三角板等长的两边重合，进行如下组合和旋转操作．
（1）当小辰把四个三角板如图2拼接组合，△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD、CE．在旋转过程中，线段BD、CE的数量关系是 　 　，这两条线段的夹角中，锐角的度数是 　 　度；
（2）当小辰把四个三角板如图3拼接组合，△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD、CE．在旋转过程中，线段BD、CE的数量关系是 　 　，请说明理由；
（3）当小辰把四个三角板如图4拼接组合，△ADE绕A点逆时针旋转，连接CD，取CD中点N，连结GN、FN，求GN+FN的最小值．

五．平行四边形的性质（共1小题）
17．（2023•历城区一模）如图，在▱ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接DE，BF，求证：DE∥BF．

六．四边形综合题（共1小题）
18．（2023•历城区一模）某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：
（1）发现问题：如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，点M是边BC上任意一点，连接AM，以AM为腰作等腰△AMN，使AM＝AN，∠MAN＝∠BAC，连接CN．求证：∠ACN＝∠ABM；
（2）类比探究：如图2，在等腰△ABC中，∠B＝30°，AB＝BC，AC＝8，点M是边BC上任意一点，以AM为腰作等腰△AMN，使AM＝MN，∠AMN＝∠B．在点M运动过程中，AN是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由；
（3）拓展应用：如图3，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，以DE为边作正方形DEFG，H是正方形DEFG的中心，连接CH，DH．若正方形DEFG的边长为8，，求△CDH的面积．

七．几何变换综合题（共2小题）
19．（2023•章丘区一模）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，点D在BC上，且满足，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，连接CE，BE，以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF，且∠CFE＝90°，∠ECF＝60°，连接AF．
（1）如图1，当点E落在BC上时，直接写出线段BE与线段AF的数量关系；
（2）如图2，在线段DB旋转过程中，（1）中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由；
（3）如图3，连接DF，若AC＝3，求线段DF长度的最小值．

20．（2023•平阴县一模）如图1，已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段AB、AC上，∠C＝∠AED＝90°．
（1）观察猜想：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD、CE，BD的延长线交CE于点F．当BD的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，
①的值为 　 　；
②∠BFC的度数为 　 　度；
（2）类比探究：如图3，继续旋转△ADE，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：若AE＝DE＝，AC＝BC＝，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出线段BD的长．

八．相似形综合题（共1小题）
21．（2023•历下区一模）如图1，已知正方形AFEG与正方形ABCD有公共顶点A，点E在正方形ABCD的对角线AC上（AG＜AD）．

（1）如图2，正方形AFEG绕A点顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°），DG和BF的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　；
（2）如图3，正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），求的值以及直线CE和直线DG所夹锐角的度数；
（3）如图4，AB＝8，点N在对角线AC上，CN＝，将正方形AFEG绕A顺时针方向旋转α（0°＜α＜360°），点M是边CD的中点，过点M作MH∥DG交EC于点H；在旋转过程中，线段NH的长度是否变化？如果不变，请直接写出NH的长度；如果改变，请说明理由．
九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
22．（2023•长清区一模）如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB＝5米．
（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）
（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？
（参考数据：tan40°＝0.84，sin40°＝0.64，cos40°＝）


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参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2023•长清区一模）如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．

【答案】（1）y2＝；；
（2）；
（3）P（0，）．
【解答】解：（1）∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2＝的图象上，
∴k2＝2×（﹣3）＝﹣6，
∴y2＝；
如图，作DE⊥x轴于E，
∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，
∴A（﹣2，0），
∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1＝k1x+b的图象上，
，
解得k1＝﹣，b＝﹣，
∴；

（2）由，
解得，，
∴C（﹣4，），
∴S△COD＝S△AOC+S△AOD＝×2×+×2×3＝；

（3）如图，作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，
∴由C'和D的坐标可得，直线C'D为，
令x＝0，则y＝﹣，
∴当|PC﹣PD|的值最大时，点P的坐标为（0，）．


二．反比例函数综合题（共5小题）
2．（2023•历城区一模）如图，在矩形OABC中，OA＝6，OC＝4，分别以AO，OC所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．反比例函数的图象交BC于点E，交AB于点F，BE＝4．
（1）求k的值与点F的坐标；
（2）在x轴上找一点M，使△EMF的周长最小，请求出点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，Q，使得以点P，Q，M，E为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；
（2）M（5，0）；
（3）点P的坐标为（0，0）或（﹣1，0）或（10，0）或．
【解答】解：（1）∵在矩形OABC中，OA＝6，OC＝4，
∴AB＝4，BC＝6，
∵BE＝4，
∴点E（2，4），
把E（2，4）代入中，得，
∴k＝8，
当x＝6时，，
∴；
（2）作点F关于x轴的对称点G，则MF＝MG，
连接GE与x轴交于点M，连接EF，此时△EMF的周长最小，

设EG的函数关系式为y＝ax+b，
把E（2，4），代入y＝ax+b中，
得：，
解得，
∴，
当y＝0时，x＝5，
∴M（5，0）；
（3）设P（t，0），
∵E（2，4），M（5，0），
∴EM＝＝5，MP＝|5﹣t|，EP＝，
若EM为菱形的一边，则有两种情况，讨论如下：
①ME＝MP，即5＝|5﹣t|，
解得t＝0或t＝10，
∴P（0，0）或（10，0）；
②ME＝PE，5＝，
解得t＝﹣1或t＝5（不合题意舍去），
P（﹣1，0）；
若EM为菱形的对角线，则有MP＝EP，
即|5﹣t|＝，
解得t＝，
∴P（，0）；
综上，点P的坐标为（0，0）或（﹣1，0）或（10，0）或．
3．（2023•历下区一模）如图，直线OC：y＝3x的图象与反比例函数：的图象交于点C（2，c），点A在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，的图象经过线段AB的中点M．
（1）求c的值与k的值；
（2）求平行四边形OABC的面积；
（3）若点P是反比例函数图象上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，使得四边形AMPQ是矩形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）c＝6，k＝12；
（2）18；
（3）存在，点P的坐标为：（9，）．
【解答】解：（1）当x＝2时，y＝3x＝6＝c，
即点C（2，6），
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2×6＝12，
即c＝6，k＝12；

（2）由（1）知，反比例函数的表达式为：y＝，
设点A（m，0），则点B（m+2，6），
则点M的坐标为：（m+1，3），
将点M的坐标代入反比例函数表达式得：3（m+1）＝12，
解得：m＝3，
即点M（4，3），点B（5，6），
则四边形OABC的面积＝OA×yB＝3×6＝18；

（3）存在，理由：
设点P（s，t），则st＝12①，
过点M作GH∥x轴，交故点A和y轴的平行线于点G，交过点P和y轴的平行线于点H，

则△AGM、△MPH为直角三角形，
∵AMPQ是矩形，则∠AMP＝90°，
∵∠GMA+∠HMP＝90°，∠GMA+∠GAM＝90°，
∴∠GAM＝∠HMP，
∴tan∠GAM＝tan∠HMP，即
∵GM＝4﹣3＝1，AG＝3，MH＝s﹣4，PH＝3﹣t，
则②，
联立①②并解得：，
即点P的坐标为：（4，3）（舍去）或（9，）．
4．（2023•章丘区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．
（1）求k，b的值．
（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．
（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．


【答案】（1）k＝3，b＝﹣2；
（2）（，）；
（3）P（2，）或（1，3），（2﹣3，2+3）．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+b过点B（0，﹣2），
∴0+b＝﹣2，
∴b＝﹣2，
∵直线y＝x﹣2过点A（3，n），
∴n＝3﹣2＝1，
∴A（3，1），
∵y＝过点A（3，1），
∴k＝xy＝3×1＝3；
（2）∵P（t，），Q（t，t﹣2），A（3，1），B（0，﹣2），
∴PQ＝，
∵S△APB＝S△APQ+S△BPQ＝（xA﹣xB），
∴×3＝3，
∴t＝，
∴P（，）；
（3）如图1，

∵P（t，），Q（t，t﹣2），
∴C（t，），
当BC是边，点D在x轴正半轴上，
作CF⊥OB于F，作DG⊥CF于G，
∴∠BFC＝∠G＝90°，
∴∠FBC+∠FCB＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCG+∠FCB＝90°，
∴∠FBC＝∠DCG，
∵BC＝CD，
∴△BFC≌△CGD（AAS），
∴CF＝DG，
∵OF＝DG，
∴OF＝CF，
∴，
∴t1＝1，t2＝﹣3（舍去），
∴P（1，3）
如图2，

当点D在x轴的负半轴上时，
由上知：BG＝DF＝2，
∴t＝2，
∴P（2，），
当BC是对角线时，

当BC是对角线时，点D在x轴负半轴上时，
可得：CF＝OD，DF＝OB＝2，
∴＝2﹣t，
∴t＝1，
∴P（1，3），
如图4，

CG＝DF＝2，DG＝BF，
∴t+2＝，
∴t1＝2﹣3，t2＝﹣2﹣3（舍去），
当t＝2﹣3时，y＝＝2+3，
∴P（2﹣3，2+3），
综上所述：P（2，）或（1，3），（2﹣3，2+3）．
5．（2023•莱芜区一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，△ABC为直角三角形，AC∥x轴，AB∥y轴，A（8，4），AC＝3．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点M是y轴正半轴上的动点，连接MB、MC；
①求MB+MC的最小值；
②点N是反比例函数的图象上的一个点，若△CMN是以CN为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点N的坐标．
​

【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝，B的坐标为（8，）；
（2）①MB+MC的最小值是；
②N的坐标为（，9）或（2﹣2，2+2）．
【解答】解：（1）∵A（8，4），AC＝3，
∴C（5，4），
将C（5，4）代入y＝得：
4＝，
解得k＝20，
∴反比例函数的表达式为y＝，
在y＝中，令x＝8得y＝，
∴B的坐标为（8，）；
（2）①作C关于y轴的对称点C'，连接BC'交y轴于M，此时MB+MC最小，如图：

∵C，C'关于y轴对称，
∴MB+MC＝MB+MC'，
当B，M，C'共线时，MB+MC'最小，即MB+MC最小，最小值为BC'的长度，
由（1）知C（5，4），B（8，），
∴C'（﹣5，4），
∴BC'＝＝，
∴MB+MC的最小值是；
②设M（0，m），N（n，），
当C为直角顶点时，过C作TK∥y轴，过N作NT⊥TK于T，过M作MK⊥TK于K，如图：

∵△CMN的等腰直角三角形，
∴CM＝CN，∠MCK＝90°﹣∠NCT＝∠CNT，
∵∠K＝90°＝∠T，
∴△CMK≌△NCT（AAS），
∴CK＝NT，MK＝CT，
∴，
解得n＝，
∴N（，9）；
当N为直角顶点时，过N作RS⊥y轴于S，过C作CR⊥RS于R，如图：

同理可得SN＝RC，SM＝NR，
∴，
解得n＝2﹣2或n＝﹣2﹣2（舍去），
∴N（2﹣2，2+2）；
综上所述，N的坐标为（，9）或（2﹣2，2+2）．
6．（2023•槐荫区一模）如图1，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，AC＝AD，连接CB．求△ABC的面积；
（3）如图2，以线段AB为对角线作正方形AFBG，H是线段BF（不与点B、F重合）上的一动点，M是HG的中点，MN⊥GH交AB于点N，当点H在BF上运动时，请直接写出线段MN长度的取值范围．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将A（a，3）代入，
∴a+1＝3，
解得a＝4，
∴A（4，3），
将A（4，3）代入，
∴k＝12；
（2）过点C作CG⊥x轴交于点G，连接BD，
∵AC＝AD，
∴A点是CD的中点，
∵A（4，3），D点在x轴上，
∴C点的纵坐标是6，
∵C点在反比例函数y＝上，
∴C（2，6），
∴D（6，0），
直线y＝x+1与y轴的交点为B（0，1），
∴S△BCD＝S梯形BOGC+S△DCG﹣S△BOD
＝×（1+6）×2+4×6﹣×6×1
＝16，
∴S△ABC＝S△BCD＝8；
（3）过点A作AL⊥x轴交于点L，连接NF，NH，NG，
∵四边形AGBF是正方形，
∴AG＝BG，∠AGB＝90°，
∴∠AGL+∠BGO＝90°，
∵∠AGL+∠GAL＝90°，
∴∠BGO＝∠GAL，
∴△BGO≌△GAL（AAS），
∴AL＝BG，BO＝GL，
∵OB＝1，AL＝3，
∴G（3，0），
∵AF＝AG，∠FAN＝∠NAG＝45°，AN＝AN，
∴△AFN≌△AGN（SAS），
∴FN＝NG，
∵M是HG的中点，MN⊥HG，
∴HN＝NG，
∴FN＝HN，
∵∠FHN＝45°+∠BNH，
∴∠FNH＝90°﹣2∠BNH，
∴∠FNB＝90°﹣∠BNH，
∵∠FNB＝∠GNB，
∴∠HNG＝∠BNH+90°﹣∠BNH＝90°，
∴△HNG是等腰直角三角形，
∴MN＝HG，
过点F作FK⊥y轴交于点F，
同理可证△BKF≌△GOB（SAS），
∴BK＝3，KF＝1，
∴F（1，4），
∵BG＝，GF＝2，
∴＜MN＜．


三．二次函数综合题（共8小题）
7．（2023•历城区一模）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C，与y轴相交于点D．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（0＜m＜3）．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，连接BD，PB，PD，若△PBD的面积为3，求m的值；
（3）连接AC，过点P作PM⊥AC于点M，是否存在点P，使得PM＝2CM．如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；顶点C（1，4）；
（2）m的值为1或2；
（3）P（，）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得．
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点C（1，4）；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝4，
∴点D（0，3），
设直线BD的解析式为y＝sx+t，
∵点B（3，0），
∴，
解得．
∴直线BD解析式为y＝﹣x+3，
过点P作PQ∥y轴交BD于点Q，

设点P（m，﹣m2+2m+3），点Q（m，﹣m+3），
∴S△PBD＝×PQ×OB＝×3（﹣m2+2m+3+m﹣3）＝+，
∵△PBD的面积为3，
∴﹣+m＝3，
∴m1＝1，m2＝2，
∴m的值为1或2；
（3）∵在Rt△CMP中，PM＝2CM，
∴tan∠MCP＝＝2，
设AC交y轴于点F，延长CP交x轴于G，连接GF，过点C作CE⊥x轴于点E，如图3，

∵A（﹣1，0），C（1，4），
∴AE＝2，CE＝4，
∴OA＝1，OE＝1，CE＝4．
∴OA＝OE，AC＝＝．
Rt△AEC中，tan∠CAE＝2，tan∠ACE＝，
∵tan∠MCP＝tan∠CAE，
∴∠MCP＝∠CAE，
∴GA＝GC，
∴△GAC是等腰三角形，
∵FO⊥AB，CE⊥AB，
∴FO∥CE，
∴OF＝CE＝2，F为AC的中点．
∵△GAC是等腰三角形，GA＝GC，
∴GF⊥AC．
∵FO⊥AG，
∴△AFO∽△FGO．
∴，
∴，
∴OG＝4．
∴G（4，0），
设直线CG的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得．
∴直线CG的解析式为y＝﹣x+．
∴，
解得，，
∴P（，）．
8．（2023•历下区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+4过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式和对称轴；
（2）如图1，若点P是线段OC上的一动点，连接AP、BP，将△ABP沿直线BP翻折，得到△A′BP，当点A′落在该抛物线的对称轴上时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作直线BC的垂线，分别交直线BC、线段AC于点N、点E，过点E作EH⊥x轴，求的最大值．

【答案】（1）抛物线的表达式y＝﹣x2+3x+4，其对称轴为：x＝；
（2）点P的坐标为：（0，）；
（3）EH+EM有最大值为．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4①，
其对称轴为：x＝；

（2）将△ABP沿直线BP翻折，得到△A′BP，则AB＝AB′＝5，PA＝PA′，

由抛物线的对称轴为：x＝知，BH＝AH＝4﹣＝＝A′B，
则∠HA′B＝30°，则∠A′BH＝60°，
∴A′H＝A′Bsin60°＝，则点A′（，），
设点P的坐标为（0，y），点A（﹣1，0），
由PA＝PA′得：1+y2＝（）2+（y﹣）2，
解得：y＝，
即点P的坐标为：（0，）；

（3）由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝4x+4，
由B、C的坐标知，BC和x轴负半轴的夹角为45°，
∵MN⊥BC，则直线MN和x轴的夹角为45°，设点M的坐标为：（m，﹣m2+3m+4），
则设直线MN的表达式为：y＝（x﹣m）﹣m2+3m+4＝x﹣m2+2m+4，
联立y＝4x+4和y＝x﹣m2+2m+4并解得：x＝（﹣m2+2m），
则y＝4x+4＝（﹣4m2+8m）+4＝EH，
则EM＝（xM﹣xE）＝2[m﹣（﹣m2+2m）]＝2m﹣（﹣2m2+4m），
则＝（﹣4m2+8m）+4+2m﹣（﹣2m2+4m）＝﹣（m﹣）2+≤，
故EH+EM有最大值为．
9．（2023•莱芜区一模）抛物线与x轴交于A（b，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，c），点P是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．
（1）求a，b，c的值；
（2）如图1，连接BC、AP，交点为M，连接PB，若，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接EB，E′C，求的最小值．
​
【答案】（1）a＝2，c＝4，b＝﹣2；
（2）P（3，）；
（3）最小值为：BF＝＝．
【解答】解：（1）将B（4，0）代入，
得﹣8+4（a﹣1）+2a＝0，
∴a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4，
令x＝0，则y＝4，
∴c＝4，
令y＝0，则0＝﹣x2+x+4，
∴x1＝4，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），即b＝﹣2；
（2）过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点A作y轴的平行线交BC的延长线于H，

设lBC：y＝kx+b，将（0，4），（4，0）代入得b＝4，k＝﹣1，
∴lBC：y＝﹣x+4，
设P（m，﹣m2+m+4），则D（m，﹣m+4），
PD＝yP﹣yD＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+1）＝﹣m2+2m，
∵PD∥HA，
∴△AMH∽△PMD，
∴，
将x＝﹣2代入y＝﹣x+4，
∴HA＝6，
∵，
∴，
∴PD＝，
∴＝m2+2m，
∴m1＝1（舍），m2＝3，
∴P（3，）；
（3）在y轴上取一点F，使得OF＝，连接BF，在BF上取一点E′，使得OE′＝OE，

∵OE′＝3，OF•OC＝4＝9，
∴OE2＝OF•OC，
∴，
∵∠COE′＝∠FOE，
∴△FOE′∽△E′OC，
∴，
∴FE′＝，
∴E′B+E′C＝BE′+E′F＝BF，此时最小，
最小值为：BF＝＝．
10．（2023•济阳区一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣3）2+4过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求a的值，并直接写出A、B两点的坐标；
（2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且∠BOP＝45°，求点P的坐标；
（3）如图2，若C点为线段BD上一点，求3BC+5AC的最小值．
【答案】（1）a＝﹣，点B（3，4），点A（6，0）；
（2）点P的坐标为：（3，）；
（3）24．
【解答】解：（1）将点O的坐标代入抛物线表达式得：0＝a（0﹣3）2+4，
解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣3）2+4，
则点B（3，4），
由抛物线的对称性知，点A（6，0）；

（2）过点P作PH⊥OB于点H，

在Rt△OBD中，由点B的坐标得，OB＝5，
则tan∠OBD＝＝tanα，则sinα＝，
设PH＝3x，则BH＝4x，PB＝5x，
∵∠BOP＝45°，则PH＝OH＝3x，
则OB＝5＝BH+OH＝3x+4x，则x＝，
则PD＝BD﹣BP＝4﹣5x＝，
即点P的坐标为：（3，）；

（3）由（2）知，sin∠OBD＝sinα＝，
如图2，过点C作CN⊥OB于点N，
则CN＝BCsinα＝BC，
则AC+BC＝AC+CN，
即当A、C、N共线时，AC+BC最小，
则3BC+5AC＝5（AC+BC）最小，
∵S△OAB＝OA•BD＝OB×AN，
即6×4＝5×AN，
解得：AN＝，
故3BC+5AC最小值＝5（AC+BC）＝5AN＝24．
11．（2023•长清区一模）抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），与它的对称轴直线x＝1交于点B．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）E在直线AN上方的抛物线上，过点E作EH⊥AN，垂足为H，求EH的最大值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞﹣3，当m＜0时，表示向下平移|m|）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）；
（3）当m＝2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；当m＝0时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）过点E作ET∥y轴交AN于点T，

由抛物线的表达式知，点N（3，0），
则ON＝OA＝3，则∠OAN＝45°，
由点A、N的坐标得，直线AN的表达式为：y＝﹣x+3，
∵ET∥y轴，则∠HET＝∠OAN＝45°，
则EH＝ET，
设点E（x，﹣x2+2x+3），则点T（x，﹣x+3），
则ET＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣（x﹣）2+≤，
即ET的最大值为：，
故EH的最大值为：；

（3）如图2，设抛物线L1的解析式为y＝﹣x2+2x+3+m，
∴C（0，3+m）、D（2，3+m）、F（1，0），
设P（0，t），
①当△PCD∽△FOP时，，
∴，
∴t2﹣（3+m）t+2＝0①；
②当△PCD∽△POF时，，
∴，
∴t＝（m+3）②；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
Δ＝（3+m）2﹣8＝0，
解得：m＝2﹣3（不合题意的值已舍去），
此时方程①有两个相等实数根t1＝t2＝，
方程②有一个实数根t＝，
∴m＝2﹣1，
此时点P的坐标为（0，）和（0，）；
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：（m+3）2﹣（m+3）2+2＝0，
解得：m＝0（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t1＝1、t2＝2，
方程②有一个实数根t＝1，
∴m＝0，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m＝2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；
当m＝0时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
12．（2023•长清区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为　y＝﹣x2﹣2x+3　，抛物线的顶点坐标为　（﹣1，4）　；
（2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（4）如图3，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
即：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1．
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
顶点坐标为（﹣1，4）；
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3；（﹣1，4）；

（2）不存在，理由：
如答图1，连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，

直线BC的表达式为：y＝x+3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），
则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，
整理得：3x2+9x+7＝0，
解得：Δ＜0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P；

（3）∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，
∴BD＝BC＝×3＝2，yD＝BDsin∠CBO＝2，
则点D（﹣1，2）；

（4）如答图2，设直线PE交x轴于点H，

∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝45°，
∴OH＝OE＝1，
则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1，
联立方程，得
解得：x＝（舍去正值），
故点P（，）．
13．（2023•章丘区一模）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC．

（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点Q使得∠QCB＝∠CBO？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）P（﹣3，﹣7）
（3）存在，（3，2）或（，﹣）．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴；
（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴，
∴OD＝4，
∴D（0，﹣4），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣4，
联立方程组，
解得或，
∴P（﹣3，﹣7）；
（3）如图所示，当点Q在第一象限抛物线上时，

∵∠QCB＝∠CBO，
∴CQ∥OB，
∴点Q和点C关于对称轴对称，
∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴抛物线的对称轴为，
∵C（0，2），
∴点Q的坐标为（3，2）；
如图所示，当点Q在第四象限的抛物线上时，设CQ与x轴交于点E

∵∠QCB＝∠CBO，
∴EC＝EB，
∴设EC＝EB＝x，
∵C（0，2），B（4，0），
∴OC＝2，OE＝4﹣x，
∴在Rt△OEC中，OC2+OE2＝CE2，即22+（4﹣x）2＝x2，
∴解得，
∴OE＝，
∴E（，0），
∴设直线CE的解析式为y＝k1x+b1，
将C（0，2），E（，0）代入得，，
解得；
∴y＝﹣x+2，
联立直线CE和抛物线得，，
解得或

∴点Q的坐标为（，﹣）．
综上所述，点Q的坐标为（3，2）或（，﹣）．
14．（2023•平阴县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．


【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；
（2），（，﹣）；
（3）（，）或（﹣，）或（﹣，）．
【解答】解：（1）把A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；

（2）设直线AB解析式为y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入得：
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝x﹣4，
设P（m，m2﹣m﹣4），则PD＝﹣m2+m+4，
在y＝x﹣4中，令y＝m2﹣m﹣4得x＝m2﹣m，
∴C（m2﹣m，m2﹣m﹣4），
∴PC＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，
∴PC+PD＝﹣m2+2m﹣m2+m+4＝﹣m2+3m+4＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PC+PD取最大值，
此时m2﹣m﹣4＝×（）2﹣﹣4＝﹣，
∴P（，﹣）；
答：PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，﹣）；

（3）∵将抛物线y＝x2﹣x﹣4向左平移5个单位得抛物线y＝（x+5）2﹣（x+5）﹣4＝x2+4x+，
∴新抛物线对称轴是直线x＝﹣＝﹣4，
在y＝x2+4x+中，令x＝0得y＝，
∴F（0，），
将P（，﹣）向左平移5个单位得E（﹣，﹣），
设M（﹣4，n），N（r，r2+4r+），
①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，
∴，
解得r＝，
∴r2+4r+＝×（）2+4×+＝，
∴N（，）；
②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，
∴，
解得r＝﹣，
∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，
∴N（﹣，）；
③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，
∴，
解得r＝﹣，
∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，
∴N（﹣，）；
综上所述，N的坐标为：（，）或（﹣，）或（﹣，）．
四．三角形综合题（共2小题）
15．（2023•济阳区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AB的中点，连接CD，CD＝6，以点D为顶点作△DEF，使∠EDF＝90°，DE＝DF＝10．
（1）连接BF，CE．线段BF和线段CE的数量关系为 　BF＝CE　，直线BF和直线CE的位置关系为 　BF⊥CE　；
（2）如图2，当EC∥AB时，设AC与DE交于点G，求DG的长度；
（3）当E，C，B在同一条直线上时，请直接写出EC的长度．
【答案】（1）BF＝CE，BF⊥CE；
（2）DG的长度是；
（3）EC的长为﹣3或+3．
【解答】解：（1）如图1，延长EC交BF于点H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AB的中点，
∴CD＝AD＝BD＝AB＝6，CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，DE＝DF＝10，
∴∠BDF＝∠CDE＝90°﹣∠CDF，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴BF＝CE，∠BFD＝∠CED，
∴∠EFH+∠FEH＝∠FEH+∠BFD+∠DFE＝∠FEH+∠CED+∠DFE＝∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠EHF＝90°，
∴BF⊥CE，
故答案为：BF＝CE，BF⊥CE．
（2）∵EC∥AB，
∴∠DCE＝∠CDB＝90°，
∴CE＝＝＝8，
∵△CGE∽△AGD，
∴＝＝＝，
∴DG＝DE＝×10＝，
∴DG的长度是．
（3）如图3，E，C，B在同一条直线上，且点E在BC的延长线上，
由（1）得BF＝EC，BF⊥CE，
∴∠EBF＝90°，
∵∠EDF＝90°，DE＝DF＝10，∠CDB＝90°，CD＝BD＝6，
∴EF2＝DE2+DF2＝102+102＝200，BC＝＝＝6，
∵BF2+BE2＝EF2，BE＝EC+6，
∴EC2+（EC+6）2＝200，
解得EC＝﹣3或EC＝﹣﹣3（不符合题意，舍去）；
如图4，E，C，B在同一条直线上，且点E在CB的延长线上，
∵BF2+BE2＝EF2，BE＝EC﹣6，
∴EC2+（EC﹣6）2＝200，
解得EC＝+3或EC＝﹣+3（不符合题意，舍去），
综上所述，EC的长为﹣3或+3．



16．（2023•槐荫区一模）小辰有如图1所示，含30°，60°角的三角板各两个，其中大小三角板的最短边分别为12cm和6cm，现小辰将同样大小的两个三角板等长的两边重合，进行如下组合和旋转操作．
（1）当小辰把四个三角板如图2拼接组合，△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD、CE．在旋转过程中，线段BD、CE的数量关系是 　CE＝BD　，这两条线段的夹角中，锐角的度数是 　60　度；
（2）当小辰把四个三角板如图3拼接组合，△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD、CE．在旋转过程中，线段BD、CE的数量关系是 　BD＝AC　，请说明理由；
（3）当小辰把四个三角板如图4拼接组合，△ADE绕A点逆时针旋转，连接CD，取CD中点N，连结GN、FN，求GN+FN的最小值．

【答案】（1）CE＝BD，60；
（2）BD＝EC；
（3）12．
【解答】解：（1）如图2中，设BD交AC于点O，EC交AD于点J．

由题意△ADE，△ABC都是等边三角形，
∴AE＝AD，AC＝AB，∠EAD＝∠CAB＝60°，
∴∠EAC＝∠DAB，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴EC＝BD，∠AEC＝∠ADB，
∵∠AJE＝∠DJO，
∴∠DOJ＝∠EAJ＝60°．
故答案为：EC＝BD，60；

（2）如图3中，

由题意，AE＝ED，CA＝CB，∠AED＝∠ACB＝120°，
∴∠EAD＝∠CAB＝30°，AC＝AE，AB＝AC，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵＝＝，
∴△EAC∽△DAB，
∴＝＝，
∴BD＝EC．
故答案为：BD＝EC；
（3）如图4中，连接BD，EC．

∵∠DAE＝∠BAC＝120°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
∵DG＝EG，DN＝CN，
∴GN＝EC，
∵CN＝ND，CF＝FB，
∴FN＝BD，
∴GN+FN＝（EC+BD）＝EC，
∵AE＝2AG＝12，AC＝2AF＝24，
∴EC≥AC﹣AE＝12，
∴GN+FN≥12，
∴GN+FN的最小值为12．
五．平行四边形的性质（共1小题）
17．（2023•历城区一模）如图，在▱ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接DE，BF，求证：DE∥BF．

【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AE＝CD，
∴AF＝CE，
在△DEC和△BFA中
，
∴△DEC≌△BFA（SAS），
∴∠DEF＝∠BFA，
∴DE∥BF．
六．四边形综合题（共1小题）
18．（2023•历城区一模）某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：
（1）发现问题：如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，点M是边BC上任意一点，连接AM，以AM为腰作等腰△AMN，使AM＝AN，∠MAN＝∠BAC，连接CN．求证：∠ACN＝∠ABM；
（2）类比探究：如图2，在等腰△ABC中，∠B＝30°，AB＝BC，AC＝8，点M是边BC上任意一点，以AM为腰作等腰△AMN，使AM＝MN，∠AMN＝∠B．在点M运动过程中，AN是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由；
（3）拓展应用：如图3，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，以DE为边作正方形DEFG，H是正方形DEFG的中心，连接CH，DH．若正方形DEFG的边长为8，，求△CDH的面积．

【答案】（1）证明见解析；
（2）AN存在最小值，最小值为4；
（3）．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠MAN，
∴∠BAC﹣∠CAM＝∠MAN﹣∠CAM，即∠BAM＝∠CAN，
∵AB＝AC，AM＝AN，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠ACN＝∠ABM；

（2）解：AN存在最小值，理由如下：
如图2，连接CN，

∵AM＝MN，AB＝BC，
∴，
又∵∠AMN＝∠B，
∴△ABC∽△AMN，
∴，∠BAC＝∠MAN，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，
∴△ABM∽△ACN，
∴∠ACN＝∠B＝30°，
如图2，连接CN，过点A作AH⊥CN，交CN延长线于点H，
此时AN最小，最小值为AH，
Rt△ACH中，∠ACN＝30°，
∴AH＝AC＝＝4，
故AN存在最小值，最小值为4；

（3）解：连接BD，EH，过H作HQ⊥CD于Q，

∵H为正方形DEFG的中心，
∴DH＝EH，∠DHE＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠BDE+∠CDE＝∠CDH+∠CDE＝45°，
∴∠BDE＝∠CDH，
∵，
∴△BDE∽△CDH，
∴∠DCH＝∠DBC＝45°，BE＝，
设CE＝x，则CD＝x+6，
∵DE＝8，
由勾股定理得：x2+（x+6）2＝82，
解得：x＝或x＝（舍），
∴CD＝，
在Rt△CDH中，CQ＝QH＝3，
∴△CDH的面积为．
七．几何变换综合题（共2小题）
19．（2023•章丘区一模）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，点D在BC上，且满足，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，连接CE，BE，以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF，且∠CFE＝90°，∠ECF＝60°，连接AF．
（1）如图1，当点E落在BC上时，直接写出线段BE与线段AF的数量关系；
（2）如图2，在线段DB旋转过程中，（1）中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由；
（3）如图3，连接DF，若AC＝3，求线段DF长度的最小值．

【答案】（1）BE＝2AF；
（2）结论仍然成立，BE＝2AF；
（3）．
【解答】解：（1）BE＝2AF，理由如下：
∵∠BAC＝∠EFC，
∴EF∥AB，
∴，
∴，
∵∠ECF＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴CE＝2CF，
∴BE＝2AF；
（2）结论仍然成立，BE＝2AF；
证明：理由如下：
在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，

∴，∠ACB＝60°，
同理可证，
∴
∵∠BCA＝∠ECF＝60°，
∴∠BCA﹣∠ACE＝∠ECF﹣∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACF，
∴△CBE∽△CAF，
∴，
∴BE＝2AF；
（3）在CA上截取CG，使，连接GF，

∴，
∵由（2）知，∠DCE＝∠GCF，
∴，
∴△DCE∽△GCF，
∴
∵∠BAC＝90°，∠ACE＝30°，AC＝3，D，G分别是BC，AC三等分点，BD＝DE，
∴BC＝6，，BD＝DE＝CG＝2，
∴GF＝1，
∴点F在以G为圆心，以1为半径的圆上运动，
∴当D，G，F三点共线，且点F在DG之间时，DF取得最小值，最小值为DG﹣1，
∵，∠DCG＝∠BCA，
∴△DCG∽△BCA，
∴，
∴，
∴线段DF长度的最小值为．
20．（2023•平阴县一模）如图1，已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段AB、AC上，∠C＝∠AED＝90°．
（1）观察猜想：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD、CE，BD的延长线交CE于点F．当BD的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，
①的值为 　　；
②∠BFC的度数为 　45　度；
（2）类比探究：如图3，继续旋转△ADE，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：若AE＝DE＝，AC＝BC＝，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出线段BD的长．

【答案】（1）①；②45；
（2），∠BFC＝45°；
（3）BD的长为4或2．
【解答】解：（1）如图（2）中，设AC交BE于点O．

∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝∠CAB＝45°，AD＝AE，AB＝AC，
∴∠EAC＝∠DAB，＝，
∴△DAB∽△EAC，
∴＝，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AOB＝∠EOC，
∴∠BAO＝∠CEO＝45°，
故答案为：，45；
（2）如图（3）中，设AC交BF于点O．

∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝∠CAB＝45°，AD＝AE，AB＝AC，
∴∠EAC＝∠DAB，＝，
∴△DAB∽△EAC，
∴＝，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AOB＝∠FOC，
∴∠BAO＝∠CFO＝45°，
∴＝，∠BFC＝45°；
（3）如图（4）﹣1中，当CE⊥AD于O时，

∵AE＝DE＝，AC＝BC＝，∠AED＝∠ACB＝90°，
∴AD＝AE＝2，
∵EO⊥AD，
∴OD＝OA＝OE＝1，
∴OC＝＝＝3，
∴EC＝OE+OC＝4，
∵BD＝EC，
∴BD＝4．
如图（4）﹣2中，当EC⊥AD时，延长CE交AD于O．

同法可得OD＝OA＝OE＝1，OC＝3，EC＝3﹣1＝2，
∴BD＝EC＝2，
综上所述，BD的长为4或2．
八．相似形综合题（共1小题）
21．（2023•历下区一模）如图1，已知正方形AFEG与正方形ABCD有公共顶点A，点E在正方形ABCD的对角线AC上（AG＜AD）．

（1）如图2，正方形AFEG绕A点顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°），DG和BF的数量关系是 　DG＝BF　，位置关系是 　DG⊥BF　；
（2）如图3，正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），求的值以及直线CE和直线DG所夹锐角的度数；
（3）如图4，AB＝8，点N在对角线AC上，CN＝，将正方形AFEG绕A顺时针方向旋转α（0°＜α＜360°），点M是边CD的中点，过点M作MH∥DG交EC于点H；在旋转过程中，线段NH的长度是否变化？如果不变，请直接写出NH的长度；如果改变，请说明理由．
【答案】（1）DG＝BF，DG⊥BF；
（2）；∠DOC＝45°；
（3）不变，线段NH是一个定值，NH＝CN＝2．
【解答】解：（1）如图所示，过点P作PB∥DG交DC于点P，

∵正方形AFEG与正方形ABCD，
∴AG＝AF，AD＝AB，∠DAB＝∠GAF＝90°，
∴∠DAG+∠GAB＝∠GAB+∠BAF＝90°，
∴∠DAG＝∠BAF．
∴△DAG≌△BAF（SAS），
∴DG＝BF，∠ADG＝∠ABF，
∵PB∥DG，
∴∠CDG＝∠CPB，
即90°﹣∠ADG＝90°﹣∠PCB＝∠PBA．
又∵∠ADG＝∠ABF，
∴∠PBA+∠ADG＝∠PBA+∠ABF＝90°，
∴BF⊥PB，
∴BF⊥DG，
∴DG和BF的数量关系是相等（DG＝BF），位置关系是垂直（DG⊥BF），
方法二：延长DG至BF交BF于点N，交AB于点M，
∴∠ADG＝∠ABF，
又∠DMA＝∠NMB，
∴∠DNB＝90°，
∴DG⊥BF；
故答案为：DG＝BF，DG⊥BF；
（2）连接AE，

由旋转性质知∠CAE＝∠DAG＝α，
在Rt△AEG和Rt△ACD中，
＝cos45°＝，＝，
∴，
∴△ADG∽△ACE，
∴，
∴，
∵△ADG∽△ACE，
∴∠ADG＝∠ACE．
延长DG、CE交于点O，
∵∠DPO＝∠CPA，
∴∠DOC＝∠DAC＝45°；
（3）∵AB＝8，点M是边CD的中点，点N在对角线AC上，CN＝2，
∴MC＝4，∠MCN＝45°，
过点M作MN'⊥AC，

在Rt△MCN'中，CN＝MC×cos45°＝2，
∴CN＝CN'，
即点N，N重合，
∴MN⊥NC，
∴∠MNC＝90°，
设∠ADG＝θ，则∠GDC＝90°﹣θ．
∵MH∥DG，
∴∠HMC＝90°﹣θ，
如图所示，连接AE，过点M作MO⊥DC交AC于点O，
∴MO∥AD，
∴∠MOC＝∠DAC＝45°，
∴△MOC是等腰直角三角形，
又∵MN⊥OC，
∴MN＝NC＝NO，
∴＝cos45°＝，∠DAG＝∠CAE＝α，
∴△ADG∽△ACE，
∴∠ADG＝∠ACE＝θ，
∴∠MCH＝45°+θ，
∴∠MHC＝180°﹣∠HMC﹣∠HCM＝180°﹣（90°﹣θ）﹣（45°+θ）＝45°，
∴∠MOC＝∠MHC＝45°，
∴M、C、H、O四点共圆，
∴线段NH是一个定值，NH＝CN＝2．
九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
22．（2023•长清区一模）如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB＝5米．
（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）
（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？
（参考数据：tan40°＝0.84，sin40°＝0.64，cos40°＝）

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在Rt△BCD中，，
∴≈6.7；（3分）

（2）在Rt△BCD中，BC＝5，∴BD＝5tan40°＝4.2．（4分）
过E作AB的垂线，垂足为F，
在Rt△AFE中，AE＝1.6，∠EAF＝180°﹣120°＝60°，
AF＝＝0.8（6分）
∴FB＝AF+AD+BD＝0.8+2+4.20＝7米．（7分）
答：钢缆CD的长度为6.7米，灯的顶端E距离地面7米．（8分）