浙江温州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（7套）-03解答题（提升题）

这是一份浙江温州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（7套）-03解答题（提升题），共30页。试卷主要包含了计算，根据以下素材，探索完成任务，已知抛物线y＝x2+2cx+c，，与y轴交于点B等内容，欢迎下载使用。

浙江温州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（7套）-03解答题（提升题）
一．分式的加减法（共1小题）
1．（2023•龙湾区一模）（1）计算：．
（2）化简：．
二．二元一次方程组的应用（共1小题）
2．（2023•瓯海区一模）
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1
某包装公司承接到21600个旅行包的订单，策划部准备将其任务分配给甲、乙两个车间去完成．由于他们的设备与人数不同，甲车间每天生产的总数是乙车间每天生产总数的2倍，甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天．

素材2
经调查，甲车间每人每天生产60个旅行包，乙车间每人每天生产40个旅行包．为提高工作效率，人事部到甲、乙两车间抽走相等数量的工人．策划部为了使抽走后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变，余下的所有工人每天生产个数需要提高20%．因此，甲车间每天工资提高到3400元，乙车间每天工资提高到1560元．
问题解决
任务1
确定工作效率
求甲、乙车间原来每天分别生产多少个旅行包？
任务2
探究抽走人数
甲、乙每个车间被抽走了多少人？
任务3
拟定设计方案
甲、乙两车间抽走相等数量的工人后，按每人每天生产个数提高20%计算，如何安排甲、乙两车间工作的天数，使公司在完成该任务时支付的总工资最少？最少需要多少元？

三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2023•温州一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1
某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2
某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，
两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数．
素材3
学校花费400元后，文具店赠送m张（1＜m＜10）兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．

问题解决
任务1
探求商品单价
请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2
探究购买方案
探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
任务3
确定兑换方式
运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式．
四．二次函数的性质（共1小题）
4．（2023•龙湾区一模）如图，已知点C为二次函数y＝x2﹣4x+1的顶点，点P（0，n）为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图象于点A，B（点A在点B的左侧）．点M在射线PB上，且满足PM＝1+n．过点M作MN⊥AB交抛物线于点N，记点N的纵坐标为yN．
（1）求顶点C的坐标．
（2）①若n＝3，求MB的值．
②当0＜n≤4时，求yN的取值范围．

五．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
5．（2023•平阳县一模）已知抛物线y＝x2+2cx+c．
（1）若抛物线与y轴的交点为（0，3），求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点．若点A（m，n），B（m﹣4，n）在抛物线上，求c的取值范围及m的最大值．
六．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
6．（2023•温州一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣2的图象经过点（3，2）．
（1）求该函数的表达式，并在图中画出该函数的大致图象．
（2）P是该函数图象上一点，在对称轴右侧，过点P作PD⊥x轴于点D．当PD≤1时，求点P横坐标的取值范围．

七．抛物线与x轴的交点（共1小题）
7．（2023•鹿城区一模）如图，抛物线与x轴的一个交点为A（6，0），与y轴交于点B．
（1）求h的值及点B的坐标．
（2）将该抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度后，与y轴交于点C，且点A的对应点为D，若OC＝OD，求m的值．

八．全等三角形的判定与性质（共3小题）
8．（2023•鹿城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，延长BC至点E，使得∠DAE＝∠BAC，延长AD至点F，使得AF＝AE．
（1）求证：△ABF≌△ACE．
（2）若AD⊥BC，DF＝15，BC＝16，求CE的长．

9．（2023•龙湾区一模）如图，AB＝AC，CE∥AB，D是AC上的一点，且AD＝CE．
（1）求证：△ABD≌△CAE．
（2）若∠ABD＝25°，∠CBD＝40°，求∠BAE的度数．

10．（2023•龙港市一模）如图，△ABC是等边三角形，D是边AB上一点，以CD为边作E等边△CDE，DE交AC于点F，连接AE，
（1）求证：△BCD≌△ACE．
（2）若BC＝6，AE＝2，求CD的长．

九．平行四边形的性质（共1小题）
11．（2023•温州一模）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AF＝CE．
（2）若DF＝2，，∠DAE＝30°，求AC的长．

一十．平行四边形的判定与性质（共2小题）
12．（2023•平阳县一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，点G是AD的中点，点F是AC上一点，AF＝DF，延长BG交DF的延长线于点E，连接AE．
（1）证明：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若，，求CF的长．

13．（2023•龙港市一模）如图，在四边形ABCD中，E为BC上一点，AB＝AE，CD＝DE，且CD∥AE，F是边AE上一点，∠ABF＝∠DAE，连结CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）已知AD＝5，，当EF＝2AF时，求BC的长．

一十一．矩形的性质（共1小题）
14．（2023•龙湾区一模）如图，在矩形ABCD中，点E，O分别为BC，BD的中点，过点A作AF∥BD交EO的延长线于点F，连结CF交BD于点G．
（1）求证：四边形ABOF为平行四边形．
（2）若CF⊥BD，且AB＝6，求OG的长．

一十二．切线的性质（共1小题）
15．（2023•温州一模）如图，在△ABC中，D是BC上一点，BD＝AD，以AD为直径的⊙O经过点C，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交BD于点F．
（1）求证：EF⊥BC．
（2）若CD＝5，，求DF的长．

一十三．圆的综合题（共1小题）
16．（2023•平阳县一模）根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷．素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度AB＝2m，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β．如图2，小浩设计直角形遮阳篷BCD，点C在AB的延长线上，CD⊥AC，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与BD平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与AD平行）；素材2：小浩查阅资料，计算出，（∠EAM＝α，∠DAM＝β，如图2）；素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（弧CD延伸后经过点B，DF段可伸缩，F为的中点），BC，CD的长保持不变．

【任务1】如图2，求BC，CD的长；
【任务2】如图3，求弧CD的弓高；
【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角γ的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点D上升高度的最小值（点D′到CD的距离）．
一十四．作图—应用与设计作图（共1小题）
17．（2023•龙港市一模）如图，在7×5的方格纸ABCD中，有一格点P，请按要求作图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．

（1）在图1中画一个格点△PQR，使点Q，R分别落在边BC，CD上，且∠PQR＝90°．
（2）在图2中画一个有两边相等的格点四边形EFGH，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且点P在边EH上．

浙江温州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（7套）-03解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．分式的加减法（共1小题）
1．（2023•龙湾区一模）（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）﹣3；（2）m+2．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝﹣
＝
＝
＝m+2．
二．二元一次方程组的应用（共1小题）
2．（2023•瓯海区一模）
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1
某包装公司承接到21600个旅行包的订单，策划部准备将其任务分配给甲、乙两个车间去完成．由于他们的设备与人数不同，甲车间每天生产的总数是乙车间每天生产总数的2倍，甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天．

素材2
经调查，甲车间每人每天生产60个旅行包，乙车间每人每天生产40个旅行包．为提高工作效率，人事部到甲、乙两车间抽走相等数量的工人．策划部为了使抽走后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变，余下的所有工人每天生产个数需要提高20%．因此，甲车间每天工资提高到3400元，乙车间每天工资提高到1560元．
问题解决
任务1
确定工作效率
求甲、乙车间原来每天分别生产多少个旅行包？
任务2
探究抽走人数
甲、乙每个车间被抽走了多少人？
任务3
拟定设计方案
甲、乙两车间抽走相等数量的工人后，按每人每天生产个数提高20%计算，如何安排甲、乙两车间工作的天数，使公司在完成该任务时支付的总工资最少？最少需要多少元？

【答案】（1）甲车间每天能生成1200个，乙车间每天能生成600个；
（2）甲、乙每个车间各被抽走了3人；
（3）甲车间安排4天，乙车间安排29天，公司在完成该任务时支付的总工资最少，最少需要58840元．
【解答】解：（1）设乙车间每天能生成x个旅行包，则甲车间每天能生成2x个旅行包，
由题意得：，
解得x＝600，
经检验，x＝600是原方程的解，也符合题意，
∴2x＝1200，
∴甲车间每天能生成1200个，乙车间每天能生成600个；
（2）由题意知：甲车间共有1200÷60＝20（人），乙车间共有600÷40＝15（人），
设甲乙车间各被抽走a人，
根据题意得：（20﹣a）×60×（1+20%）+（15﹣a）×40×（1+20%）＝1200+600，
解得a＝3，
∴甲、乙每个车间各被抽走了3人；
（3）设甲车间工作m天，乙车间工作n天，
根据题意得：60×（1+20%）×（20﹣3）m+40×（1+20%）×（15﹣3）n＝21600，
整理得：17m+8n＝300，
∴m＝﹣n+，
设总费用为W元，则W＝3400m+1560n＝3400×（﹣n+）+1560n＝﹣40n+60000，
∵﹣40＜0，
∴W随n的增大而减少，
∵17m+8n＝300，
∴m为4的倍数，即m最小为4，
∴n最大值为29，
∴当n＝29时，总费用W最小值为﹣40×29+60000＝58840（元），
∴甲车间安排4天，乙车间安排29天，公司在完成该任务时支付的总工资最少，最少需要58840元．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2023•温州一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1
某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2
某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，
两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数．
素材3
学校花费400元后，文具店赠送m张（1＜m＜10）兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．

问题解决
任务1
探求商品单价
请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2
探究购买方案
探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案．
任务3
确定兑换方式
运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式．
【答案】（1）笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
（2）可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本．
（3）文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．（答案不唯一）
【解答】解：任务1：设笔记本的单价为x元，根据题意，得，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原方程的根，
这时2x＝10．
∴笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；
任务2：设购买钢笔为a支，笔记本为b本，根据题意，得10a+5b＝400，化简得，
由题意，a≥20，b≥20，且b是10的倍数，
∴或或，
∴可购买钢笔30支，笔记本20本；或购买钢笔25支，笔记本30本；或购买钢笔20支，笔记本40本．
任务3：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有y张兑换券兑换钢笔，根据题意，得30+10y＝20+20（m﹣y），整理得，
∵1＜m＜10，且m，y均为正整数，
∴经尝试检验得，
∴文具店赠送5张兑换券，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本．（答案不唯一）
四．二次函数的性质（共1小题）
4．（2023•龙湾区一模）如图，已知点C为二次函数y＝x2﹣4x+1的顶点，点P（0，n）为y轴正半轴上一点，过点P作y轴的垂线交函数图象于点A，B（点A在点B的左侧）．点M在射线PB上，且满足PM＝1+n．过点M作MN⊥AB交抛物线于点N，记点N的纵坐标为yN．
（1）求顶点C的坐标．
（2）①若n＝3，求MB的值．
②当0＜n≤4时，求yN的取值范围．

【答案】（1）顶点C的坐标为（2，﹣3）．
（2）①﹣2；②﹣3≤yN≤6．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴顶点C的坐标为（2，﹣3）．
（2）①当n＝3时，则PM＝1+3＝4，
令y＝3，则x2﹣4x+1＝3，
解得，，
∴B（2+，3），
∴．
②∵xN＝xM＝1+n，
∴．
∴当n＝1时，yN的最小值为﹣3．
当n＝4时，yN的最大值为6．
∴﹣3≤yN≤6．

五．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
5．（2023•平阳县一模）已知抛物线y＝x2+2cx+c．
（1）若抛物线与y轴的交点为（0，3），求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点．若点A（m，n），B（m﹣4，n）在抛物线上，求c的取值范围及m的最大值．
【答案】（1）y＝x2+6x+3，顶点为（﹣3，﹣6）．
（2）c≥1，m的最大值为1．
【解答】解：（1）将（0，3）代入y＝x2+2cx+c得c＝3，
∴y＝x2+6x+3＝（x+3）2﹣6，
∴抛物线的顶点为（﹣3，﹣6）．
（2）将x＝0代入y＝x2+2cx+c得y＝c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴c＞0，
∵抛物线与x轴有交点，
∴（2c）2﹣4c≥0，
∴c≥1或c≤0（舍）．
∵y＝x2+2cx+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣c，
∵点A（m，n），B（m﹣4，n）在抛物线上，
∴m+m﹣4＝2m﹣4＝﹣2c，
∵c≥1，
∴﹣2c≤﹣2，
∴2m﹣4≤﹣2，
解得m≤1，
∴m的最大值为1．
六．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
6．（2023•温州一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣2的图象经过点（3，2）．
（1）求该函数的表达式，并在图中画出该函数的大致图象．
（2）P是该函数图象上一点，在对称轴右侧，过点P作PD⊥x轴于点D．当PD≤1时，求点P横坐标的取值范围．

【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣2，见解析；
（2）．
【解答】解：（1）把（3，2）代入y＝a（x﹣1）2﹣2，得2＝a（3﹣1）2﹣2，解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣2，
大致图象如图：

（2）由（1）得，对称轴为直线x＝1
∵P是该函数图象一点，且在对称轴右侧，
∴xP＞1，
当y＝1时，（x﹣1）2﹣2＝1，解得，
∴，
当y＝﹣1时，（x﹣1）2﹣2＝﹣1，解得x1＝0，x1＝2，
∴x＝2，
∴．
七．抛物线与x轴的交点（共1小题）
7．（2023•鹿城区一模）如图，抛物线与x轴的一个交点为A（6，0），与y轴交于点B．
（1）求h的值及点B的坐标．
（2）将该抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度后，与y轴交于点C，且点A的对应点为D，若OC＝OD，求m的值．

【答案】（1）h＝﹣，B（0，4）；
（2）m＝1．
【解答】解•：（1）把A（6，0）代入解析式得：（6﹣4）2+h＝0，
解得h＝﹣，
∴y＝（x﹣4）2﹣，
令x＝0，则y＝×42﹣＝4，
∴B（0，4）；
（2）抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度后所得新抛物线为y＝（x﹣4﹣m）2﹣，
令x＝0，则y＝（﹣4﹣m）2﹣＝，
∴C（0，），
∴OC＝，
∵平移后点A的对应点为D，
∴D（6+m，0），
∴OD＝6+m，
∵OD＝OC，
∴6+m＝，
解得m＝1或m＝﹣6，
∵m＞0，
∴m＝1．
八．全等三角形的判定与性质（共3小题）
8．（2023•鹿城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，延长BC至点E，使得∠DAE＝∠BAC，延长AD至点F，使得AF＝AE．
（1）求证：△ABF≌△ACE．
（2）若AD⊥BC，DF＝15，BC＝16，求CE的长．

【答案】（1）证明见解析；
（2）17．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠CAE﹣∠DAC，
即∠BAF＝∠CAE，
在△ABF与△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝8，
由勾股定理可得，BF＝，
∵△ABF≌△ACE，
∴CE＝BF＝17．
9．（2023•龙湾区一模）如图，AB＝AC，CE∥AB，D是AC上的一点，且AD＝CE．
（1）求证：△ABD≌△CAE．
（2）若∠ABD＝25°，∠CBD＝40°，求∠BAE的度数．

【答案】（1）证明见解答；
（2）∠BAE的度数是75°．
【解答】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS）．
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠CAE＝25°，
∵∠CBD＝40°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝25°+40°＝65°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝50°+25°＝75°，
∴∠BAE的度数是75°．
10．（2023•龙港市一模）如图，△ABC是等边三角形，D是边AB上一点，以CD为边作E等边△CDE，DE交AC于点F，连接AE，
（1）求证：△BCD≌△ACE．
（2）若BC＝6，AE＝2，求CD的长．

【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵△ABC与△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）解：如图，作DG⊥BC于点G，

∵△BCD≌△ACE，
∴BD＝AE＝2．
∵∠B＝60°，
∴BG＝1，，
∴CG＝BC﹣BG＝6﹣1＝5，
∴．
九．平行四边形的性质（共1小题）
11．（2023•温州一模）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AF＝CE．
（2）若DF＝2，，∠DAE＝30°，求AC的长．

【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠BCE，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠CEB＝∠AFD＝90°，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AF＝CE；
（2）在Rt△ADF中，
∵∠DAF＝30°，DF＝2，
∴．
在Rt△DFC中，
∵，DF＝2，
∴，
∴．
一十．平行四边形的判定与性质（共2小题）
12．（2023•平阳县一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，点G是AD的中点，点F是AC上一点，AF＝DF，延长BG交DF的延长线于点E，连接AE．
（1）证明：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若，，求CF的长．

【答案】（1）证明见解析；
（2）8．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AF＝DF，
∴∠CAD＝∠ADF，
∴∠BAD＝∠ADF，
∵点G是AD的中点，
∴AG＝DG，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（ASA），
∴BG＝EG，
又∵AG＝DG，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB∥DE，
∴∠CDF＝∠ABC，
∴sin∠CDF＝＝，
设CF＝2x，则AF＝DF＝3x，
∵∠C＝90°，
∴CD＝＝＝x，
∵AE∥BC，
∴△CDF∽△AEF，
∴＝＝＝，
即＝，
解得：x＝4，
∴CF＝2x＝8，
即CF的长为8．
13．（2023•龙港市一模）如图，在四边形ABCD中，E为BC上一点，AB＝AE，CD＝DE，且CD∥AE，F是边AE上一点，∠ABF＝∠DAE，连结CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）已知AD＝5，，当EF＝2AF时，求BC的长．

【答案】（1）见解析；
（2）8．
【解答】（1）证明：∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
同理，∠DEC＝∠DCE，
∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠DCE，
∴∠ABE＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∴∠BAF＝∠AED，
∵∠ABF＝∠DAE，
∴△ABF≌△EAD（ASA），
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）解：如图，作AG⊥BC于点G，FH⊥BC于点H，则EG＝BG，

在平行四边形ADCF中，AD＝CF＝5，
∵△ABF≌△EAD，
∴BF＝AD＝CF＝5，
∴BH＝CH，
∵EF＝2AF，AG∥FH，
∴，
∴EH＝2GH，
设GH＝x，则EH＝2x，EG＝BG＝3x，
∴BH＝CH＝4x，
∵，
∴，
∴FH＝3x，
∴，
∴5x＝5，即x＝1，
∴BC＝8x＝8．
一十一．矩形的性质（共1小题）
14．（2023•龙湾区一模）如图，在矩形ABCD中，点E，O分别为BC，BD的中点，过点A作AF∥BD交EO的延长线于点F，连结CF交BD于点G．
（1）求证：四边形ABOF为平行四边形．
（2）若CF⊥BD，且AB＝6，求OG的长．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）3．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，
∵点E，O分别为BC，BD的中点，
∴OE∥CD∥AB，即OF∥AB，
又∵AF∥BD，
∴四边形ABOF为平行四边形；

（2）解：连结OC，

由（1）得，四边形ABOF为平行四边形，
∴AB＝OF＝CD，AB∥OF∥CD，
∴∠OFG＝∠DCG，
在△OFG和△DCG中，
，
∴△OFG≌△DCG（AAS），
∴OG＝DG，
∵CF⊥BD，
∴CO＝CD，
∵OC为Rt△BCD斜边BD上的中线，
∴OC＝OD，
即△OCD为等边三角形．
∴OD＝CD＝AB＝6，
∴．
一十二．切线的性质（共1小题）
15．（2023•温州一模）如图，在△ABC中，D是BC上一点，BD＝AD，以AD为直径的⊙O经过点C，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交BD于点F．
（1）求证：EF⊥BC．
（2）若CD＝5，，求DF的长．

【答案】（1）见解析；
（2）4．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，

∵EF是⊙O切线，
∴OE⊥EF，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∵BD＝AD，
∴∠B＝∠OAE，
∴∠B＝∠OEA，
∴OE∥BC，
∴EF⊥BC．
（2）解：如图，连接OE，

∵OE∥BC，
∴，即AE＝BE，
∵AD是⊙O直径，
∴AC⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴EF∥AC，
∴，即BF＝CF，
∴AC＝2EF（三角形的中位线定理），
∵CD＝5，，
∴设EF＝2x，则CF＝BF＝3x，AC＝4x，∴AD＝BD＝BF+CF﹣CD＝6x﹣5，
在Rt△ACD中，AC2+CD2＝AD2，即（4x）2+52＝（6x﹣5）2，
解得x＝3或x＝0（不符合题意，舍去），
则DF＝CF﹣CD＝3x﹣5＝3×3﹣5＝4．
一十三．圆的综合题（共1小题）
16．（2023•平阳县一模）根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷．素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度AB＝2m，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β．如图2，小浩设计直角形遮阳篷BCD，点C在AB的延长线上，CD⊥AC，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与BD平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与AD平行）；素材2：小浩查阅资料，计算出，（∠EAM＝α，∠DAM＝β，如图2）；素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（弧CD延伸后经过点B，DF段可伸缩，F为的中点），BC，CD的长保持不变．

【任务1】如图2，求BC，CD的长；
【任务2】如图3，求弧CD的弓高；
【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角γ的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点D上升高度的最小值（点D′到CD的距离）．
【答案】【任务1】BC＝，CD＝2；
【任务2】；
【任务3】m．
【解答】解：【任务1】如图，

由题意得，∠CDB＝∠EAM，∠CDA＝∠DAM，
∴tan∠CDB＝，
∴tan，
设BC＝x，则CD＝3x，AC＝4x，
∴AB＝4x﹣x＝3x＝2，
∴x＝，
∴BC＝x＝，CD＝3x＝2；
【任务2】如图，取BD的中点O，连接OF交CD于点E，则OF⊥CD，CE＝DE＝1，
∵∠BCD＝90°，
∴BD为直径，
∴点O为圆心，

∴OE是△BCD的中位线，
∴OE＝，
∴OF＝OD＝，
∴弧CD的弓高EF＝OF﹣OE＝；
【任务3】如图，连接BD'交CD于点G，作D'H⊥CD于点H，

由题意得，此时BD'与太阳光线平行，则∠D'GH＝∠CGB＝γ，
∴tan∠GD'H＝tan∠CGB＝tanγ＝，
∴CG＝，
∴点G为CD的中点，
∵∠BGC＝∠DGD'，∠CBD'＝∠CDD'，
∴△CBG∽△D'DG，
∴，
∴，
∴D'G＝，
∴D'H＝D'G＝，
∴点D′到CD的距离为m，
即遮阳篷点D上升高度的最小值为m．
一十四．作图—应用与设计作图（共1小题）
17．（2023•龙港市一模）如图，在7×5的方格纸ABCD中，有一格点P，请按要求作图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．

（1）在图1中画一个格点△PQR，使点Q，R分别落在边BC，CD上，且∠PQR＝90°．
（2）在图2中画一个有两边相等的格点四边形EFGH，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且点P在边EH上．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】解：
（1）参考图如下．

（2）参考图如下．