浙江宁波市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（8套）-02解答题（提升题）

这是一份浙江宁波市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（8套）-02解答题（提升题），共28页。试卷主要包含了计算，之间的函数关系如图所示，，与y轴相交于点C，，顶点为A，连结OA，【基础巩固】等内容，欢迎下载使用。
浙江宁波市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（8套）-02解答题（提升题）
一．解一元一次不等式组（共1小题）
1．（2023•镇海区一模）（1）计算：．
（2）解不等式组：．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2023•余姚市一模）甲开车从A地前往B地送货，同时，乙从C地出发骑车前往B地，C在A，B两地之间且距离A地15千米．甲到达B地后以相同的速度立马返回A地，在A地休息半小时后，又以相同的速度前往B地送第二批货，乙出发后4小时遇上送货的甲，乙让甲捎上自己（上下车时间忽略不计），甲载上乙后以原速前进．甲、乙两人距离B地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲第一次送货前往B地时，甲距离B地的路程y关于x的函数表达式．
（2）问在乙距离B地多远时，甲载上了乙？
（3）问乙比原计划早到多少时间？

三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
3．（2023•镇海区一模）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线 与直线y2＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B，S△ABO＝．
（1）求k的值；
（2）求A、C两点的坐标；
（3）根据图象直接写出y1＞y2时x的取值范围．

四．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
4．（2023•北仑区一模）抛物线y＝（x+1）（x﹣t）（t为常数）经过点A（4，5），B（m，n）．
（1）求t的值；
（2）若n＜5，求m的取值范围．
五．二次函数图象与几何变换（共1小题）
5．（2023•宁波一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点（﹣1，﹣7），点（3，1）．
（1）求二次函数的表达式和顶点坐标．
（2）点P（m，n）在该二次函数图象上，当m＝4时，求n的值．
（3）已知A（0，3），B（4，3），若将该二次函数的图象向上平移k（k＞0）个单位后与线段AB有交点，请结合图象，直接写出k的取值范围．

六．二次函数与不等式（组）（共1小题）
6．（2023•余姚市一模）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
（2）若一次函数y2＝kx+3的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当y1＞y2时x的取值范围．

七．二次函数的应用（共1小题）
7．（2023•镇海区一模）某景区有两个景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下：
方式1：只购买景点A，30元/人；
方式2：只购买景点B，50元/人；
方式3：景点A和B联票，70元/人．
预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有2万、1万和1万．为增加收入，对门票价格进行调整，发现当方式1和2的门票价格不变时，方式3的联票价格每下降1元，将有原计划只购买A门票的400人和原计划只购买B门票的600人改为购买联票．
（1）若联票价格下降5元，则购买方式1门票的人数有 　 　万人，购买方式2门票的人数有 　 　万人，购买方式3门票的人数有 　 　万人；并计算门票总收入有多少万元？
（2）当联票价格下降x（元）时，请求出四月份的门票总收入w（万元）与x（元）之间的函数关系式，并求出联票价格为多少元时，四月份的门票总收入最大？最大值是多少万元？
八．二次函数综合题（共1小题）
8．（2023•慈溪市一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣ax经过点（5，5），顶点为A，连结OA．
（1）求a的值；
（2）求A的坐标；
（3）P为x轴上的动点，当tan∠OPA＝时，请直接写出OP的长．

九．四边形综合题（共1小题）
9．（2023•鄞州区一模）【基础巩固】：
（1）如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB＝AD．
求证：∠ACB＝∠ACD；
【迁移运用】：
（2）如图2，在（1）的条件下，取AB的中点E，连结DE交AC于点F，若∠AFE＝∠ACD，，求DF的长；

【解决问题】：
（3）如图3，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，在BC上取点E，使得DE＝DC，恰有BE＝AB．若AD＝3，CE＝6，求四边形ABCD的面积．
一十．作图—复杂作图（共1小题）
10．（2023•海曙区一模）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，请按要求完成下列各题：
（1）在图①中找一格点D，连结BD，使∠ABD与∠BAC互补；
（2）在图②中找一格点E，连结BE，使∠ABE与∠BAC互余；
（3）在图③中找一格点F，连结BF，使∠ABF＝45°．

一十一．作图—应用与设计作图（共1小题）
11．（2023•北仑区一模）如图，在5×5的方格纸中，点A，B是方格中的两个格点，记顶点都在格点的四边形为格点四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中画出线段AB的中点O；
（2）在图2中画出一个平行四边形AMBN，使AM＝AB，且平行四边形AMBN为格点四边形．

一十二．利用旋转设计图案（共1小题）
12．（2023•余姚市一模）图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影．请在余下的空白小正三角形中，分别按下列要求选取1个涂上阴影：

（1）使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形．
（2）使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
一十三．相似三角形的应用（共1小题）
13．（2023•慈溪市一模）如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧形成线段CE，O的对应点为D，测得MC＝4m，CE＝16m，此时太阳的与地面的夹角为30°（即∠ODM＝30°）．
（1）求旋转中心到地面的距离OM的值；
（2）风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于2.5米，请判断此风车是否符合要求．

一十四．解直角三角形的应用（共2小题）
14．（2023•鄞州区一模）如图1，是一个自动伸缩晾衣架的实物图，图2是它的支架左侧平面示意图，当C，D在上滑槽MN上左右滑动时，A，B同时在与MN平行的下滑槽EF上滑动，带动整个支架改变菱形内角度数，从而调节支架的高度，图2中PA＝PB＝OC＝OD＝15cm，中间7个菱形的边长均为15cm．

（1）当∠APB调节至120°时，求两滑槽间的距离（即MN与EF之间的距离）；
（2）根据生活经验，当一个身高160cm的人，头顶与下滑槽EF的距离不超过30cm时，晒衣服比较方便，若上滑槽MN距离地面270cm，那么∠ABP至少调整到多少度？
（参考数据：sin19.5°＝0.33，cos70.5°＝0.33，tan70.5°＝2.82）
15．（2023•镇海区一模）如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）．经测量，∠ADC可在20°和160°之间发生变化（包含20°和160°），AD＝40cm．
​（1）当∠ADC＝120°时，求此时BD的长；
（2）当∠ADC从20°变为160°时，这个千斤顶升高了多少cm？（sin80°＝0.98，cos80°＝0.17，tan80°＝5.67 ）

一十五．频数（率）分布直方图（共1小题）
16．（2023•海曙区一模）为了让学生更好地掌握疫情防控知识，增强疫情防控意识，某市中学生举行了一次“疫情防控知识竞赛”，共有16000名中学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如表并绘制如图所示不完整的统计图．
分组
分数段
频数
频率
A
50≤x＜60
40
0.08
B
60≤x＜70
80
0.16
C
70≤x＜80
100
0.2
D
80≤x＜90
a
0.32
E
90≤x≤100
120
b
根据上面提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　；补全频数分布直方图；
（2）被抽取学生的成绩的中位数落在分数段 　 　上；
（3）若竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生为优秀．请估计该市参加“疫情防控知识竞赛”成绩为优秀的学生人数．


浙江宁波市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（8套）-02解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．解一元一次不等式组（共1小题）
1．（2023•镇海区一模）（1）计算：．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）9；
（2）﹣4＜x≤1．
【解答】解：（1）原式＝9﹣2×+1
＝9﹣1+1
＝9；
（2），
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣4，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤1．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2023•余姚市一模）甲开车从A地前往B地送货，同时，乙从C地出发骑车前往B地，C在A，B两地之间且距离A地15千米．甲到达B地后以相同的速度立马返回A地，在A地休息半小时后，又以相同的速度前往B地送第二批货，乙出发后4小时遇上送货的甲，乙让甲捎上自己（上下车时间忽略不计），甲载上乙后以原速前进．甲、乙两人距离B地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲第一次送货前往B地时，甲距离B地的路程y关于x的函数表达式．
（2）问在乙距离B地多远时，甲载上了乙？
（3）问乙比原计划早到多少时间？

【答案】（1）y关于x的函数表达式为y＝﹣60x+75（0≤x≤1.25）；
（2）在乙距离B地15km时，甲载上了乙；
（3）乙比原计划早到小时．
【解答】解：（1）由题意得，A、B两地间的路程为60+15＝75千米，
甲第一次到达B地用时2.5÷2＝1.25小时．
∴甲第一次送货去B地的函数图象经过（0，75），（1.25，0），
设甲第一次送货去B地的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（0，75），（1.25，0）代入解析式得：
，
解得，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣60x+75（0≤x≤1.25）；
（2）甲第二次送货的函数图象经过（3，75），
∵甲送货的速度不变，
∴设甲第二次送货的函数表达式为y＝﹣60x+m．
把（3，75）代入y＝﹣60x+m，得75＝﹣60×3+m，
解得m＝255，
∴甲第二次送货的函数表达式为y＝﹣60x+255，
当x＝4时，y＝15，
答：在乙距离B地15km时，甲载上了乙；
（3）把y＝0代入y＝﹣60x+255，
得0＝﹣60x+255，
解得，
∵乙的图象经过点（0，60），
∴设乙的函数表达式为y＝nx+60，
把（4，15）代入y＝nx+60，
得15＝4x+60，
解得．
∴乙比原计划早到时间为（小时）．
答：乙比原计划早到小时．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
3．（2023•镇海区一模）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线 与直线y2＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B，S△ABO＝．
（1）求k的值；
（2）求A、C两点的坐标；
（3）根据图象直接写出y1＞y2时x的取值范围．

【答案】（1）双曲线的解析式为：y＝﹣；直线的解析式为y＝﹣x+2；
（2）A（﹣1，3），C（3，﹣1）；
（3）﹣1＜x＜0或x＞3．
【解答】解：（1）∵反比例函数 的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∵S△ABO＝|k|＝，
∴k＝﹣3，
∴双曲线的解析式为：y＝﹣；
直线的解析式为：y＝﹣x﹣（﹣3+1），即y＝﹣x+2；

（2）由，解得或，
∴A（﹣1，3），C（3，﹣1）；

（3）由图象可知，y1＞y2时x的取值范围﹣1＜x＜0或x＞3．
四．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
4．（2023•北仑区一模）抛物线y＝（x+1）（x﹣t）（t为常数）经过点A（4，5），B（m，n）．
（1）求t的值；
（2）若n＜5，求m的取值范围．
【答案】（1）t＝3；
（2）﹣2＜m＜4．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+1）（x﹣t）（t为常数）经过点A（4，5），
∴5＝（4+1）（4﹣t），
∴t＝3；
（2）∵t＝3，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴该抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴由对称性得m的取值范围为﹣2＜m＜4．
五．二次函数图象与几何变换（共1小题）
5．（2023•宁波一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点（﹣1，﹣7），点（3，1）．
（1）求二次函数的表达式和顶点坐标．
（2）点P（m，n）在该二次函数图象上，当m＝4时，求n的值．
（3）已知A（0，3），B（4，3），若将该二次函数的图象向上平移k（k＞0）个单位后与线段AB有交点，请结合图象，直接写出k的取值范围．

【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣2；（2，2）；
（2）﹣2；
（3）1≤k≤5．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点（﹣1，﹣7），点（3，1），
∴把点（﹣1，﹣7），点（3，1）分别代入y＝ax2+bx﹣2得，
解得，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2，
又y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣x2+4x﹣4+2＝﹣（x﹣2）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为：（2，2）；
（2）∵点P（m，n）在该二次函数图象上，
∴当m＝4时，n＝﹣（4﹣2）2+2＝﹣2；
（3）∵A（0，3），B（4，3），
∴线段AB∥x轴，其中点坐标为（2，3），
①若原抛物线向上平移k个单位，与线段AB只有一个公共点时，如图，

此时，k＝3﹣2＝1；
②若原抛物线向上平移k个单位，与线段AB只有一个公共点时，且恰好为A、B两点，如图，

设此时抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+c，
把A（0，3）或B（4，3）代入，求得c＝7，
∴k＝7﹣2＝5，
综上所述，将该二次函数的图象向上平移k（k＞0）个单位后与线段AB有交点，k的取值范围为1≤k≤5．
六．二次函数与不等式（组）（共1小题）
6．（2023•余姚市一模）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
（2）若一次函数y2＝kx+3的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当y1＞y2时x的取值范围．

【答案】（1）所求二次函数表达式为，顶点为（﹣2，﹣1）；
（2）x的取值范围为x＜﹣2或x＞0．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），
∴函数表达式可设为y1＝a（x+1）（x+3），
即．
又∵，
∴a＝1，b＝4，
∴所求二次函数表达式为．
∵，
∴其图象的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
（2）直线y2与抛物线y1相交于（﹣2．﹣1）和（0，3），
根据图象可知：x的取值范围为x＜﹣2或x＞0．
七．二次函数的应用（共1小题）
7．（2023•镇海区一模）某景区有两个景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下：
方式1：只购买景点A，30元/人；
方式2：只购买景点B，50元/人；
方式3：景点A和B联票，70元/人．
预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有2万、1万和1万．为增加收入，对门票价格进行调整，发现当方式1和2的门票价格不变时，方式3的联票价格每下降1元，将有原计划只购买A门票的400人和原计划只购买B门票的600人改为购买联票．
（1）若联票价格下降5元，则购买方式1门票的人数有 　1.8　万人，购买方式2门票的人数有 　0.7　万人，购买方式3门票的人数有 　2.5　万人；并计算门票总收入有多少万元？
（2）当联票价格下降x（元）时，请求出四月份的门票总收入w（万元）与x（元）之间的函数关系式，并求出联票价格为多少元时，四月份的门票总收入最大？最大值是多少万元？
【答案】（1）1.8，0.7，1.5；门票总收入有186.5万元；
（2）w＝﹣0.1x2+1.8x+180，联票价格为61元时，四月份的门票总收入最大，最大值是188.1万元．
【解答】解：（1）当联票价格下降5元，购买方式1门票的人数有2﹣0.04×5＝1.8（万人），
购买方式2门票的人数有1﹣0.06×5＝0.7（万人），
购买方式3门票的人数有1+0.04×5+0.06×5＝1.5（万人），
∵1.8×30+0.7×50+（70﹣5）×1.5＝186.5（万元）；
∴门票总收入有186.5万元；
故答案为：1.8，0.7，1.5；
（2）根据题意得：w＝30（2﹣0.04x）+50（1﹣0.06x）+（70﹣x）（1+0.04x+0.06x）＝﹣0.1x2+1.8x+180＝﹣0.1（x﹣9）2+188.1，
∵﹣0.1＜0，
∴当x＝9时，w取最大值，最大值为188.1，
此时70﹣9＝61（元），
∴w＝﹣0.1x2+1.8x+180，联票价格为61元时，四月份的门票总收入最大，最大值是188.1万元．
八．二次函数综合题（共1小题）
8．（2023•慈溪市一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣ax经过点（5，5），顶点为A，连结OA．
（1）求a的值；
（2）求A的坐标；
（3）P为x轴上的动点，当tan∠OPA＝时，请直接写出OP的长．

【答案】（1）a的值为4；
（2）顶点A的坐标为（2，﹣4）；
（3）OP的长为6或10．
【解答】解：（1）将点（5，5）代入y＝x2﹣ax得，
25﹣5a＝5，解得a＝4，
∴a的值为4；
（2）∵a＝4，
∴抛物线为y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点A的坐标为（2，﹣4）；
（3）过点A作AB⊥x轴于点B，

∵A的坐标为（2，﹣4），
∴AB＝4，OB＝2，
∵tan∠OPA＝＝，
∴BP＝2AB＝8，
①当P在x轴负半轴上时，
OP＝BP﹣OB＝8﹣2＝6；
②当P在x轴正半轴上时，
OP＝BP+OB＝8+2＝10；
综上，OP的长为6或10．
九．四边形综合题（共1小题）
9．（2023•鄞州区一模）【基础巩固】：
（1）如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB＝AD．
求证：∠ACB＝∠ACD；
【迁移运用】：
（2）如图2，在（1）的条件下，取AB的中点E，连结DE交AC于点F，若∠AFE＝∠ACD，，求DF的长；

【解决问题】：
（3）如图3，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，在BC上取点E，使得DE＝DC，恰有BE＝AB．若AD＝3，CE＝6，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）4；
（3）81．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC．
又∵AB＝AD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠ACB＝∠ACD；
（2）解：∵△ABC≌△ADC，
∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD．
∵∠AFE＝∠ACD，
∴∠AFE＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴．
∵E是AB的中点，
∴．
∵∠DFC＝∠AFE＝∠ACB＝∠ACD，
∴；
（3）解：如图，连结BD，AC，

∵AB＝EB，BD＝BD，DA＝DC＝DE，
∴△ABD≌△EBD（SSS），
∴∠BAD＝∠BED，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C，
∵∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠DAB+∠BCD＝180°．
∵∠ADC＝90°，
∴∠ABC＝90°．
设AB＝EB＝x，由勾股定理得，
即，
解得x＝6（负值舍去），
∴AB＝EB＝6，
∴四边形ABCD的面积＝．
一十．作图—复杂作图（共1小题）
10．（2023•海曙区一模）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，请按要求完成下列各题：
（1）在图①中找一格点D，连结BD，使∠ABD与∠BAC互补；
（2）在图②中找一格点E，连结BE，使∠ABE与∠BAC互余；
（3）在图③中找一格点F，连结BF，使∠ABF＝45°．

【答案】图见解析．
【解答】解：（1）如图①所示：

（2）如图②所示：
（3）如图③所示：
一十一．作图—应用与设计作图（共1小题）
11．（2023•北仑区一模）如图，在5×5的方格纸中，点A，B是方格中的两个格点，记顶点都在格点的四边形为格点四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中画出线段AB的中点O；
（2）在图2中画出一个平行四边形AMBN，使AM＝AB，且平行四边形AMBN为格点四边形．

【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】解：（1）如图1中，点O即为所求；

（2）如图2中，平行四边形AMBN即为所求．



一十二．利用旋转设计图案（共1小题）
12．（2023•余姚市一模）图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影．请在余下的空白小正三角形中，分别按下列要求选取1个涂上阴影：

（1）使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形．
（2）使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解答】解：（1）轴对称图形如图所示（答案不唯一）；

（2）中心对称图形如图所示（答案不唯一）．

一十三．相似三角形的应用（共1小题）
13．（2023•慈溪市一模）如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧形成线段CE，O的对应点为D，测得MC＝4m，CE＝16m，此时太阳的与地面的夹角为30°（即∠ODM＝30°）．
（1）求旋转中心到地面的距离OM的值；
（2）风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于2.5米，请判断此风车是否符合要求．

【答案】（1）4m，（2）风车符合要求．
【解答】解：（1）由题意知：AC∥OD∥BE，AO＝OB，
∴∠ODM＝∠ACM＝30°，CD＝DE＝8m．
∴MD＝MC+CD＝12m．
在Rt△OMD中，
∵tan∠ODM＝，
∴OM＝tan∠ODM•MD
＝tan30°×12
＝×12
＝4（m）．
（2）∵太阳光线恰好垂直照射叶片OA，
∴∠OAC＝90°．
∵∠AFO＝∠MOC，
∴∠AOM＝∠ACM＝30°．
在Rt△FMC中，
∵tan∠ACM＝，
∴FM＝tan∠ACM•MC＝tan30°×4＝（m）．
∴OF＝OM﹣FM＝4﹣＝（m）．
在Rt△FOA中，
∵cos∠AOM＝，
∴OA＝cos∠AOM•OF＝cos30°×＝4（m）．
∴叶片外端离地面的最低高度为：OM﹣OA＝（4﹣4）m．
∵4﹣4≈6.92﹣4＝2.92＞2.5，
∴此风车符合要求．

一十四．解直角三角形的应用（共2小题）
14．（2023•鄞州区一模）如图1，是一个自动伸缩晾衣架的实物图，图2是它的支架左侧平面示意图，当C，D在上滑槽MN上左右滑动时，A，B同时在与MN平行的下滑槽EF上滑动，带动整个支架改变菱形内角度数，从而调节支架的高度，图2中PA＝PB＝OC＝OD＝15cm，中间7个菱形的边长均为15cm．

（1）当∠APB调节至120°时，求两滑槽间的距离（即MN与EF之间的距离）；
（2）根据生活经验，当一个身高160cm的人，头顶与下滑槽EF的距离不超过30cm时，晒衣服比较方便，若上滑槽MN距离地面270cm，那么∠ABP至少调整到多少度？
（参考数据：sin19.5°＝0.33，cos70.5°＝0.33，tan70.5°＝2.82）
【答案】（1）两滑槽间的距离为120cm；
（2）∠ABP至少调整到19.5°．
【解答】解：（1）如图2，连接并延长PO交CD于点G，延长OP交EF于点Q，
由题意可知，直线OP为中间7个菱形的公共对称轴，且GQ⊥MN，GQ⊥MN，
∴∠PQA＝90°，
∵AP＝BP＝15cm，∠APB＝120°，
∴∠QPA＝∠QPB＝∠APB＝60°，
∴PQ＝AP•cos∠QPA＝AP•cos60°＝15×＝（cm），
同理可得OG＝PQ＝cm，
∴GQ＝8×2PQ＝16PQ＝16×＝120（cm），
答：两滑槽间的距离为120cm．
（2）由（1）得PQ＝AP•cos∠QPA（cm），
∴GQ＝16PQ＝16×15cos∠QPA＝240cos∠QPA（cm），
根据题意得270﹣160﹣GQ≤30，
∴GQ≥80，
∴240cos∠QPA≥80，
∴cos∠QPA≥，
∴∠QPA≤70.5°，
∵∠BAP＝∠ABP，
∵∠QPA＝90°﹣∠BAP＝90°﹣∠ABP，
∴90°﹣∠ABP≤70.5°，
∴∠ABP≥19.5°，
答：∠ABP至少调整到19.5°．

15．（2023•镇海区一模）如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）．经测量，∠ADC可在20°和160°之间发生变化（包含20°和160°），AD＝40cm．
​（1）当∠ADC＝120°时，求此时BD的长；
（2）当∠ADC从20°变为160°时，这个千斤顶升高了多少cm？（sin80°＝0.98，cos80°＝0.17，tan80°＝5.67 ）

【答案】（1）40；
（2）64.8cm．
【解答】解：（1）如图，连接AC，与BD相交于点O．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，∠ADB＝∠CDB，BD＝2OD．
当∠ADC＝120°时，∠ADO＝60°．
∴OD＝AD•cos∠ADO
＝40×
＝20．
∴BD＝40；
（2）∵四边形ABCD为菱形．
∴AC⊥BD，∠ADB＝∠CDB，AC＝2AO
当∠ADC＝20°时，∠ADO＝10°，
则∠DAO＝80°．
∴AO＝AD•cos∠ADO
≈40×0.17
＝6.8（cm）．
∴AC＝13.6cm．
当∠ADC＝160°时，∠ADO＝80°．
∴AC＝2AO
＝2AD•sin∠ADO
≈2×40×0.98
＝78.4（cm）．
∴增加的高度为：78.4﹣13.6＝64.8（cm），
答：这个千斤顶升高约64.8cm．

一十五．频数（率）分布直方图（共1小题）
16．（2023•海曙区一模）为了让学生更好地掌握疫情防控知识，增强疫情防控意识，某市中学生举行了一次“疫情防控知识竞赛”，共有16000名中学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如表并绘制如图所示不完整的统计图．
分组
分数段
频数
频率
A
50≤x＜60
40
0.08
B
60≤x＜70
80
0.16
C
70≤x＜80
100
0.2
D
80≤x＜90
a
0.32
E
90≤x≤100
120
b
根据上面提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝　160　，b＝　0.24　；补全频数分布直方图；
（2）被抽取学生的成绩的中位数落在分数段 　D　上；
（3）若竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生为优秀．请估计该市参加“疫情防控知识竞赛”成绩为优秀的学生人数．

【答案】（1）160，0.24；
（2）D；
（3）8960人．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为40÷0.08＝500（人），
∴b＝120÷500＝0.24，a＝500×0.32＝160，
补全图形如下：

故答案为：160，0.24；
（2）被抽取学生的成绩的中位数是第250、251个数据的平均数，而这两个数据均落在D组，
所以被抽取学生的成绩的中位数落在D组，
故答案为：D；
（3）估计该市参加“疫情防控知识竞赛”成绩为合格的学生人数为16000×（0.32+0.24）＝8960（人）．
答：估计该市参加“疫情防控知识竞赛”成绩为优秀的学生人数为8960人．