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浙江省台州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（6套）-03解答题（提升题）
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这是一份浙江省台州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（6套）-03解答题（提升题），共34页。试卷主要包含了2+k，，且tan∠HAE＝2，始终垂直于水平线l等内容，欢迎下载使用。
浙江省台州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（6套）-03解答题（提升题）
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2023•椒江区一模）我们知道，正比例函数y＝2x的图象是一条经过第三象限、原点、第一象限的直线，从左向右上升，即y随着x的增大而增大．
上述结论是通过观察函数图象得到的，我们能不能从代数角度去证明该结论呢？
（1）补全证明过程
证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝2x的图象上，且x1＜x2，
∴y1＝2x1，y2＝ ，
∴y1﹣y2＝2x1﹣2x2＝2（x1﹣x2），
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2 0，
∴2（x1﹣x2） 0，即y1＜y2，
∴y＝2x随着x的增大而增大．
（2）仿照题（1）的证明过程，试从代数角度证明：当x＞0时，反比例函数随着x的增大而增大．
二．二次函数的应用（共2小题）
2．（2023•温岭市一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．图记录了小明的速度v1（m/s）以及球的速度v2（m/s）随时间t（s）的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离s＝•t）
（1）当0＜t≤4时，求v2关于t的函数关系式；
（2）求图中a的值；
（3）小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有 次，并简要说明理由．
3．（2023•黄岩区一模）为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面10m的点A和15m的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计）．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为16m，水流的最高点到高楼的水平距离为4m，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与到高楼的水平距离x（m）之间的函数关系式为：y＝a（x﹣h）2+k．
（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
（2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；
（3）若消防员站在到高楼的水平距离为11m～12m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状发生变化，水流的最高点到高楼的水平距离始终是4m，当时，求水流到达墙面高度的取值范围．
三．二次函数综合题（共1小题）
4．（2023•椒江区一模）几何画板具有绘图功能，可以方便地绘制一个动态函数y＝ax2+bx+c的图象，并可通过改变系数a，b，c的值来探索函数图象的相关性质．步骤如下：
步骤一：在平面直角坐标系中，点A，B，C为x轴上的三个动点，横坐标分别记为a，b，c，且0≤a＜b＜c；
步骤二：绘制函数y＝ax2+bx+c的图象；
例：如图，当点A，B，C分别移动到（1，0），（2，0），（4，0）的位置时，相应的a＝1，b＝2，c＝4，此时函数解析式为y＝x2+2x+4．
步骤三：任意移动A，B，C三点的位置，函数图象的形状、大小、位置会随之改变．
（1）当点A，B，C分别移动到（0，0），（2，0），（4，0）的位置，则函数解析式为 ，函数图象与x轴的交点坐标为 ；
（2）若点A，C分别移动到（0，0），（4，0）的位置，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为D（m，0），求m的取值范围；
（3）在点A，B，C的移动过程中，
①若点C移动到（4，0）的位置，且满足AB＝BC，此时函数y＝ax2+bx+c的最小值为，求点B的坐标；
②若满足OB＝k•OC，OA＝k•OB（k为常数），试判断函数y＝ax2+bx+c的值能否达到？请说明理由．
四．三角形综合题（共1小题）
5．（2023•仙居县一模）如图，C为线段AB上一点，AC＝4，BC＝2，射线CD⊥AB于点C，P为射线CD上一点，连接PA，PB．
（1）【发现、提出问题】①当PC＝3时，求PA2﹣PB2的值；
②小亮发现PC取不同值时，PA2﹣PB2的值存在一定规律，请猜想该规律 ．
（2）【分析、解决问题】请证明你的猜想．
（3）【运用】当PA﹣PB＝1时，△PAB的周长为 ．
五．四边形综合题（共1小题）
6．（2023•温岭市一模）正方形ABCD的边长为8，点E是其边上的一点，以AE为对角线作矩形AHEG（点A、H、E、G按顺时针排列），且tan∠HAE＝2．
（1）如图1，若AB与HE交于点M，当△AHM≌△EBM时，求证：EA平分∠BEG；
（2）当点G落在正方形的边上时，求AE的长；
（3）当点E在BC上运动时，连接BG，求BG•CE的最大值．
六．圆的综合题（共2小题）
7．（2023•仙居县一模）如图，正方形ABCD的边长为12m，点E在AB上，AE＝8m．正方形内存在匀强磁场，某种带电粒子以速度v（单位：m/s）沿着EF方向（EF⊥AB）从点E射入匀强磁场，在磁场中沿逆时针方向作匀速圆周运动，该圆与EF相切，半径r（单位：m）与v满足关系r＝kv（k为常数）．如图1，当v＝8时，粒子恰好从点A处射出磁场．
（1）①求常数k的值；
②若v＝8或6，粒子在磁场中的运动时间分别为t1，t2，请比较t1，t2的大小．
（2）如图2，若粒子从AD边上一点G射出磁场，请用无刻度的直尺和圆规画出粒子运动的弧形路径的圆心O（保留作图痕迹）．
（3）该种粒子能否从边CD上射出磁场？若能，请求出v的取值范围；若不能，请写出理由．
8．（2023•温岭市一模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线l．
（1）∠NOP＝ °；
（2）若⊙O的半径为10，小圆的半径都为1；
①当圆心H到l的距离等于OA时，求OH的长；
②求证：在旋转过程中，MQ的长为定值．
七．作图—应用与设计作图（共1小题）
9．（2023•温岭市一模）如图，由边长为1的正方形构成的9×5网格，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上．
（1）BC＝ ；
（2）仅用无刻度的直尺在AC上找一点E，使BE平分∠ABC；
（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示）
（3）求tan∠CBE的值．
八．作图-轴对称变换（共1小题）
10．（2023•黄岩区一模）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△DEF向左平移3个单位长度得到△D1E1F1，画出△D1E1F1．
九．几何变换综合题（共1小题）
11．（2023•路桥区一模）在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，D是AB边上的中点，E是直线AC右侧的一点，且∠AEC＝90°，连接DE，过点D作DE的垂线交射线CE于点F．
（1）点C到AB的距离为 ．
（2）如图1，当点E在△ABC的外部时．
①求证：DE＝DF；
②如图2，连接BE，当BE＝AC时，试探究AE与CE之间的数量关系；
（3）若，请直接写出AE的长．
一十．相似形综合题（共1小题）
12．（2023•椒江区一模）正方形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，连接BE，在线段BE上取一点P，连接CP．
（1）如图1，当CP⊥BE时，求证：△ABE∽△PCB；
（2）如图2，当AE＝1且∠BPC＝60°时，求PC的值；
（3）如图3，当∠BPC＝2∠ABE且AE＝CP时，求证：BE＝PC2．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
13．（2023•椒江区一模）如图是汽车尾门向上开启时的截面图，已知车高AB＝1.8m，尾门AC＝1.2m，当尾门开启时，∠BAC＝110°，求点C离地面MN的高度．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.93，tan20°≈0.36，结果精确到0.1m）
一十二．扇形统计图（共1小题）
14．（2023•椒江区一模）某快递公司为了解用户的使用体验，提升服务质量，随机抽取了1000名用户进行问卷调查，调查问卷（问题部分）及相关统计结果如下：
1．您对本公司快递服务的整体评价为 （单选）
A．满意
B．一般
C．不满意
如果您对本公司快递服务的整体评价为一般或者不满意，请继续回答第2个问题
2．您认为本公司快递服务最需要改进的方面为 （单选）
A．配送速度
B．服务态度
C．快递价格
D．包装情况
（1）用户认为最需要改进的方面的统计图中，“包装情况”所占的百分比为 ，“快递价格”所对应的圆心角度数为 ；
（2）如果将整体评价中的“满意”、“一般”、“不满意”分别赋分为5分、3分、1分，求该公司此次调查中关于整体评价的中位数和平均数；
（3）小明想，如果该快递公司有20000名用户，那么认为“配送速度”方面的服务需要改进的用户有20000×25%＝5000名．你觉得小明的想法正确吗？请说明理由．
一十三．列表法与树状图法（共1小题）
15．（2023•温岭市一模）2023年台州市体育考试成绩总分为40分，其中平时成绩10分，现场考试成绩30分，小华同学分别选取了1000米跑、引体向上、1分钟跳绳、排球垫球作为现场考试备选项目（每一个项目满分10分），如表是他最近5次模拟考试成绩：
次序成绩（分）
项目
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
1000米跑
5
5
6
6
5
引体向上
8
7
8
8
8
1分钟跳绳
7
10
6
7
9
排球垫球
10
10
10
10
10
（1）计算小华每一个项目5次考试的平均成绩；
（2）依据小华第一次考试成绩，从四个项目中随机选取两个，得分之和高于16分的概率为 ；
（3）游泳作为替代类考试项目，可替代上述四个项目中任意一项，已知小华游泳能得满分，请你帮助小华确定另外两个中考体育项目，并说明你的理由．
浙江省台州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（6套）-03解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2023•椒江区一模）我们知道，正比例函数y＝2x的图象是一条经过第三象限、原点、第一象限的直线，从左向右上升，即y随着x的增大而增大．
上述结论是通过观察函数图象得到的，我们能不能从代数角度去证明该结论呢？
（1）补全证明过程
证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝2x的图象上，且x1＜x2，
∴y1＝2x1，y2＝ 2x2 ，
∴y1﹣y2＝2x1﹣2x2＝2（x1﹣x2），
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2 ＜ 0，
∴2（x1﹣x2） ＜ 0，即y1＜y2，
∴y＝2x随着x的增大而增大．
（2）仿照题（1）的证明过程，试从代数角度证明：当x＞0时，反比例函数随着x的增大而增大．
【答案】（1）2x2，＜，＜；
（2）见解析．
【解答】证明：（1）设点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝2x的图象上，且x1＜x2，
∴y1＝2x1，y2＝2x2，
∴y1﹣y2＝2x1﹣2x2＝2（x1﹣x2），
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
∴2（x1﹣x2）＜0，即y1＜y2，
∴y＝2x随着x的增大而增大；
故答案为：2x2，＜，＜；
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且0＜x1＜x2，
∴，，
∴，
∵0＜x1＜x2，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，
∴，即y1＜y2，
∴当x＞0时，反比例函数随着x的增大而增大．
二．二次函数的应用（共2小题）
2．（2023•温岭市一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．图记录了小明的速度v1（m/s）以及球的速度v2（m/s）随时间t（s）的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离s＝•t）
（1）当0＜t≤4时，求v2关于t的函数关系式；
（2）求图中a的值；
（3）小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有 7 次，并简要说明理由．
【答案】（1）v2＝﹣t+6；
（2）；
（3）7，理由见解析．
【解答】解：（1）设v2关于t的函数关系式为v2＝kt+b，把点（0，6），（4，2）代入，
得，，
解得，
∴v2关于t的函数关系式为v2＝﹣t+6；
（2）对于球来说，，
小明前a秒的平均速度为，a秒后速度为6m/s，
由小明在4s时第一次追上球可得，3a+6（4﹣a）＝4×4，
解得，
即图中a的值为；
（3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑200﹣16＝184米，由（1）知，v2＝﹣t+6，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为v2′＝﹣t+8，v初＝8m/s，v末＝﹣t+8，则，，
第二次踢后，则，（舍去），，此时又经过了6×4＝24米，v末＝﹣4+8＝4m/s，
第三次踢后，变化规律为v2′＝﹣t+10，v初＝10m/s，v末＝﹣t+10，
则，，
第三次追上，则，t1＝0（舍去），t2＝8，
此时又经过了6×8＝48米，v末＝﹣8+10＝2m/s，
又开始下一个循环，
故第四次踢球所需时间为4s，经过24米，
故第五次踢球所需时间为8s，经过48米，
故第六次踢球所需时间为4s，经过24米，
故第七次踢球所需时间为8s，经过48米，
∵16+24+48+24+48+24＝184＜200，16+24+48+24+48+24+48＝232＞200，
∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次，
故答案为：7．
3．（2023•黄岩区一模）为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面10m的点A和15m的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计）．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为16m，水流的最高点到高楼的水平距离为4m，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与到高楼的水平距离x（m）之间的函数关系式为：y＝a（x﹣h）2+k．
（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
（2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；
（3）若消防员站在到高楼的水平距离为11m～12m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状发生变化，水流的最高点到高楼的水平距离始终是4m，当时，求水流到达墙面高度的取值范围．
【答案】（1）；
（2）不能，理由见解析；
（3）11≤d≤24．
【解答】解：（1）依题意顶点坐标为（4，16），设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+16，
将点A（0，10）代入得，10＝a（0﹣4）2+16，
解得：，
∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为；
（2）不能，理由如下，
依题意，抛物线向左平移2个单位得到，
令x＝0，解得：≠15，
∴水流不能到达点B（0，15）处，
（3）依题意，设水流到达墙面高度为d，
设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+k，
当x＝11时，时，，
解得：，则抛物线解析式为，
当x＝0时，y＝16.5，
当x＝11，时，，
解得：，则抛物线解析式为，
当x＝0时，y＝11，
当x＝12时，时，，
解得：k＝32，
∴抛物线解析式为，
当x＝0时，y＝24，
当x＝12，时，，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当x＝0时，y＝16，
∴11≤d≤24，
综上所述，11≤d≤24．
三．二次函数综合题（共1小题）
4．（2023•椒江区一模）几何画板具有绘图功能，可以方便地绘制一个动态函数y＝ax2+bx+c的图象，并可通过改变系数a，b，c的值来探索函数图象的相关性质．步骤如下：
步骤一：在平面直角坐标系中，点A，B，C为x轴上的三个动点，横坐标分别记为a，b，c，且0≤a＜b＜c；
步骤二：绘制函数y＝ax2+bx+c的图象；
例：如图，当点A，B，C分别移动到（1，0），（2，0），（4，0）的位置时，相应的a＝1，b＝2，c＝4，此时函数解析式为y＝x2+2x+4．
步骤三：任意移动A，B，C三点的位置，函数图象的形状、大小、位置会随之改变．
（1）当点A，B，C分别移动到（0，0），（2，0），（4，0）的位置，则函数解析式为 y＝2x+4 ，函数图象与x轴的交点坐标为 （﹣2，0） ；
（2）若点A，C分别移动到（0，0），（4，0）的位置，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为D（m，0），求m的取值范围；
（3）在点A，B，C的移动过程中，
①若点C移动到（4，0）的位置，且满足AB＝BC，此时函数y＝ax2+bx+c的最小值为，求点B的坐标；
②若满足OB＝k•OC，OA＝k•OB（k为常数），试判断函数y＝ax2+bx+c的值能否达到？请说明理由．
【答案】（1）y＝2x+4；（﹣2，0）；
（2）m＜﹣1；
（3）①B（3，0）；②能，详见解析．
【解答】解：（1）根据题意，点A，B，C分别移动到（0，0），（2，0），（4，0）的位置，
函数解析式为y＝2x+4，
当y＝0时，x＝﹣2，
∴函数图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），
故答案为：y＝2x+4；（﹣2，0）；
（2）∵A（0，0），C（4，0），0≤a＜b＜c，
∴，
∴y＝bx+4，
∵y＝bx+4的图象与x轴的交点为D（m，0），
∴，
∵0＜b＜4，
∴m＜﹣1；
（3）①∵AB＝BC，
∴a＝2b﹣4，即y＝（2b﹣4）x2+bx+4，
∴，
解得b＝3或6（舍去），
∴B（3，0）；
②能，理由如下：
∵OB＝k•＝k•OB，
∴，即a＝k2c，
∵0≤a＜b＜c，
∴，
∴，即函数y＝ax2+bx+c的值能达到．
四．三角形综合题（共1小题）
5．（2023•仙居县一模）如图，C为线段AB上一点，AC＝4，BC＝2，射线CD⊥AB于点C，P为射线CD上一点，连接PA，PB．
（1）【发现、提出问题】①当PC＝3时，求PA2﹣PB2的值；
②小亮发现PC取不同值时，PA2﹣PB2的值存在一定规律，请猜想该规律 PA2﹣PB2＝12 ．
（2）【分析、解决问题】请证明你的猜想．
（3）【运用】当PA﹣PB＝1时，△PAB的周长为 18 ．
【答案】（1）①12；
②PA2﹣PB2＝12；
（2）证明见解答过程；
（3）18．
【解答】解：（1）①∵AC＝4，BC＝2，PC＝3，CD⊥AB，
∴PA＝5，，
∴PA2﹣PB2＝25﹣13＝12．
②当PC取不同值时，PA2﹣PB2为定值12，
故答案为：PA2﹣PB2＝12；
（2）设PC＝x，
则有PA2＝42+x2＝16+x2，PB2＝22+x2＝4+x2，
∴PA2﹣PB2＝（16+x2）﹣（4+x2）＝12．
∵CD⊥AB，
∴PA2＝AC2+PC2，PB2＝BC2+PC2，
∴PA2﹣PB2＝（AC2+PC2）﹣（BC2+PC2），
∴PA2﹣PB2＝AC2﹣BC2＝12；
（3）由（1）得，PA2﹣PB2＝12，
即（PA+PB）（PA﹣PB）＝12，
∵PA﹣PB＝1，
∴PA+PB＝12，
∵AC＝4，BC＝2，
∴AB＝AC+BC＝6，
∴△PAB的周长为PA+PB+AB＝12+6＝18．
故答案为：18．
五．四边形综合题（共1小题）
6．（2023•温岭市一模）正方形ABCD的边长为8，点E是其边上的一点，以AE为对角线作矩形AHEG（点A、H、E、G按顺时针排列），且tan∠HAE＝2．
（1）如图1，若AB与HE交于点M，当△AHM≌△EBM时，求证：EA平分∠BEG；
（2）当点G落在正方形的边上时，求AE的长；
（3）当点E在BC上运动时，连接BG，求BG•CE的最大值．
【答案】（1）见解析；
（2）AE＝10或；
（3）BG•CE的最大值为．
【解答】（1）证明：∵△AHM≌△EBM，
∴BM＝HM，AM＝EM，AH＝BE，
∴AM+BM＝MH+ME，
即AB＝HE，
∵AE＝AE，AH＝BE，AB＝HE，
∴△AHE≌△EBA（SSS），
∴∠EAH＝∠AEB，
∵四边形AHEG为矩形，
∴AH∥EG，
∴∠EAH＝∠AEG，
∴∠AEB＝∠AEG，
∴EA平分∠BEG；
（2）解：当点E在BC上，G在CD上时，如图所示：
∵四边形AGEH为矩形，
∴∠AGE＝90°，AH∥EG，
∴∠AEG＝∠EAH，
∴tan∠AEG＝tan∠EAH＝2，
∴，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DAG+∠AGD＝∠AGD+∠CGE＝90°，
∴∠DAG＝∠CGE，
∴△ADG∽△GCE，
∴，
即，
∴CG＝4，
∴DG＝DC﹣CG＝8﹣4＝4，
∴，
∴CE＝2，
∴BE＝BC﹣BE＝6，
∴；
当点E在CD上，点G与点D重合时，如图所示：
∵四边形AGEH为矩形，
∴∠AHE＝90°，EH＝AG＝AD＝8，
∴，
∴，
∴AH＝4，
∴；
综上分析可知，AE＝10或；
（3）解：过点G作GM⊥AD于M，延长MG交BC于点N，如图所示：
则∠AMN＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAB＝∠ABN＝90°，
∴∠MAB＝∠ABN＝∠AMN＝90°，
∴四边形AMNB为矩形，
∴AM＝BN，MN＝AB＝8，∠MNB＝90°，
设BE＝x（0≤x≤8），AM＝BN＝y，则CE＝8﹣x，
∵四边形AGEH为矩形，
∴∠AGE＝90°，AH∥GE，
∴∠AEG＝∠EAH，
∴tan∠AEG＝tan∠EAH＝2，
∴，
∴∠MAG+∠AGM＝∠AGM+∠NGE＝90°，
∴∠MAG＝∠NGE，
∴△AMG∽△GNE，
∴，
即，
∴，，
∵NE＝BN﹣BE＝y﹣x，
∴，
∴，
在Rt△BGN中，根据勾股定理得：，
∴，
∴＝＝，
∵，
∴当x＝2时，BG•CE取最大值，且最大值为．
六．圆的综合题（共2小题）
7．（2023•仙居县一模）如图，正方形ABCD的边长为12m，点E在AB上，AE＝8m．正方形内存在匀强磁场，某种带电粒子以速度v（单位：m/s）沿着EF方向（EF⊥AB）从点E射入匀强磁场，在磁场中沿逆时针方向作匀速圆周运动，该圆与EF相切，半径r（单位：m）与v满足关系r＝kv（k为常数）．如图1，当v＝8时，粒子恰好从点A处射出磁场．
（1）①求常数k的值；
②若v＝8或6，粒子在磁场中的运动时间分别为t1，t2，请比较t1，t2的大小．
（2）如图2，若粒子从AD边上一点G射出磁场，请用无刻度的直尺和圆规画出粒子运动的弧形路径的圆心O（保留作图痕迹）．
（3）该种粒子能否从边CD上射出磁场？若能，请求出v的取值范围；若不能，请写出理由．
【答案】（1）①；②t1＝t2；
（2）详见解析；
（3）v≥26．
【解答】解：（1）①半径．
∵v＝8，
∴．
②，，
∴t1＝t2；
（2）
（3）假设粒子从点D射出磁场时，弧形路径的半径为r，
则有r2＝（r﹣8）2+122，
解得r＝13．
此时，v＝13×2＝26．
∴若粒子从边CD上射出磁场，应满足v≥26．
8．（2023•温岭市一模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线l．
（1）∠NOP＝ 60 °；
（2）若⊙O的半径为10，小圆的半径都为1；
①当圆心H到l的距离等于OA时，求OH的长；
②求证：在旋转过程中，MQ的长为定值．
【答案】（1）60；
（2）①；
②证明见解答过程．
【解答】（1）解：，
故答案为：60；
（2）①解：如图，设⊙H的挂点为K，过点H作HT⊥l于点T，
∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，
∴K，H，T在同一直线上，
∵圆心H到l的距离等于OA，
∴HT＝OA，
∵HT⊥l，OA⊥l，
∴HT∥OA，
∴四边形HTAO是平行四边形，
又∵∠OAT＝90°，
∴四边形HTAO是矩形，
∴∠OHT＝90°，
∴∠OHK＝90°，
∴；
②证明：如图所示，连接NP，MQ、NM，
由（1）知∠NOP＝60°，
又∵ON＝OP＝10，
∴△NOP是等边三角形，
∴NP＝ON＝OP＝10，
∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，
∴MN＝PQ＝1，MN∥PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∴MQ＝NP＝10，
∴MQ的长为定值．
七．作图—应用与设计作图（共1小题）
9．（2023•温岭市一模）如图，由边长为1的正方形构成的9×5网格，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上．
（1）BC＝ 5 ；
（2）仅用无刻度的直尺在AC上找一点E，使BE平分∠ABC；
（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示）
（3）求tan∠CBE的值．
【答案】（1）5；
（2）见解析；
（3）2．
【解答】解：（1）由勾股定理可得，
故答案为：5；
（2）如图所示，BE即为所求，
∵，BD＝CF＝5，
∴BD＝CF＝DF＝BC＝5，
∴四边形BDFC是菱形，
∴BE平分∠ABC，
即BE即为所求；
（3）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABF，
在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，AB＝2，AF＝4，
∴，
即tan∠CBE的值为2．
八．作图-轴对称变换（共1小题）
10．（2023•黄岩区一模）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△DEF向左平移3个单位长度得到△D1E1F1，画出△D1E1F1．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△D1E1F1即为所求．
九．几何变换综合题（共1小题）
11．（2023•路桥区一模）在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，D是AB边上的中点，E是直线AC右侧的一点，且∠AEC＝90°，连接DE，过点D作DE的垂线交射线CE于点F．
（1）点C到AB的距离为 3 ．
（2）如图1，当点E在△ABC的外部时．
①求证：DE＝DF；
②如图2，连接BE，当BE＝AC时，试探究AE与CE之间的数量关系；
（3）若，请直接写出AE的长．
【答案】（1）3；
（2）①证明见解析部分；
②结论：EC＝2AE．理由见解析部分；
（3）4﹣或4+．
【解答】（1）解：连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝CB＝6，
∴AB＝＝＝6，
∵AD＝DB，
∴CD⊥AB，CD＝AB＝3；
（2）①证明：如图2中，连接CD，设AD交CE于点O．
∵DE⊥DF，CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠EDF＝90°，
∴∠CDF＝∠ADE，
∵∠AEC＝∠ADC＝90°，∠AOE＝∠COD，
∴∠DCF＝∠EAD，
∵DC＝DA，
∴△CDF≌△ADE（ASA），
∴DF＝DE；
②结论：EC＝2AE．
理由：∵AC＝BC，AC＝BE，
∴BC＝BE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴∠BCD+∠DCF＝∠DEF+∠BED，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴∠DEF＝∠BCD＝45°，
∴∠BED＝∠DCF＝∠DAE，
∵∠DBF＝∠ABE，
∴△DBE∽△EBA，
∴DE：EA＝BD：EB＝1：，
∴AE＝DE，
∵△CDF≌△ADE，
∴CD＝AE＝DE，
∵EF＝DE，
∴CF＝EF，
∴EC＝2AE；
（3）如图3﹣1中，当CE在CD的上方时，连接CD，过点D作DH⊥CE于点H．
∵sin∠DCE＝＝，CD＝3，
∴DH＝，
∵DE＝DF，DH⊥EF，
∴FH＝EH，
∴DH＝FH＝EH＝，
∵CH＝＝＝4，
∴AE＝CF＝CH﹣FH＝4﹣．
如图3﹣2中，当CE在CD第三下方时，同法可得CF＝AE＝4+．
综上所述，满足条件的AE的长为4﹣或4+．
一十．相似形综合题（共1小题）
12．（2023•椒江区一模）正方形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，连接BE，在线段BE上取一点P，连接CP．
（1）如图1，当CP⊥BE时，求证：△ABE∽△PCB；
（2）如图2，当AE＝1且∠BPC＝60°时，求PC的值；
（3）如图3，当∠BPC＝2∠ABE且AE＝CP时，求证：BE＝PC2．
【答案】（1）详见解析；
（2）；
（3）详见解析．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠PBC＝90°﹣∠ABE＝∠AEB，
又CP⊥BE，
∴∠BPC＝∠A＝90°，
∴△ABE∽△PCB．
（2）解：过点C作CF⊥BE于点F，
∵AE＝1，AB＝2，
∴tan∠AEB＝2，
又CF⊥BE，
∴同理（1）得△ABE∽△FCB，
∴CF＝2BF，
∵CF⊥BE，
∴CF2+BF2＝BC2，
∴，
∴，
∵∠CPB＝60°，
∴，
∴．
（3）证明：过点P作PG⊥BC于点G，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠ABC＝90°＝∠PGC，
∴PG∥AB，
∴∠GPB＝∠ABE，
∵∠BPC＝2∠ABE，
∴∠GPB＝∠GPC，
∵∠PGC＝∠A＝90°，
∴△ABE∽△GPC，
∴，则BE＝，
∵∠GPB＝∠GPC，PG⊥BC，
∴∠PGC＝∠PGB，
∴PC＝PB，
∴CG＝BG＝1，
∵AE＝CP，
∴BE＝＝PC²，
∴BE＝PC2．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
13．（2023•椒江区一模）如图是汽车尾门向上开启时的截面图，已知车高AB＝1.8m，尾门AC＝1.2m，当尾门开启时，∠BAC＝110°，求点C离地面MN的高度．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.93，tan20°≈0.36，结果精确到0.1m）
【答案】点C离地面MN的高度约为2.2米．
【解答】解：过点C作CD⊥BA交延长线于点D，
∵∠BAC＝110°，
∴∠CAD＝70°，
∵CD⊥BA，
∴∠ACD＝20°，
∴AD＝AC⋅sin∠ACD≈1.2×0.34＝0.408（米），
∴BD＝AB+AD≈1.8+0.408＝2.208≈2.2（米），
答：点C离地面MN的高度约为2.2米．
一十二．扇形统计图（共1小题）
14．（2023•椒江区一模）某快递公司为了解用户的使用体验，提升服务质量，随机抽取了1000名用户进行问卷调查，调查问卷（问题部分）及相关统计结果如下：
1．您对本公司快递服务的整体评价为 A （单选）
A．满意
B．一般
C．不满意
如果您对本公司快递服务的整体评价为一般或者不满意，请继续回答第2个问题
2．您认为本公司快递服务最需要改进的方面为 D （单选）
A．配送速度
B．服务态度
C．快递价格
D．包装情况
（1）用户认为最需要改进的方面的统计图中，“包装情况”所占的百分比为 15% ，“快递价格”所对应的圆心角度数为 72° ；
（2）如果将整体评价中的“满意”、“一般”、“不满意”分别赋分为5分、3分、1分，求该公司此次调查中关于整体评价的中位数和平均数；
（3）小明想，如果该快递公司有20000名用户，那么认为“配送速度”方面的服务需要改进的用户有20000×25%＝5000名．你觉得小明的想法正确吗？请说明理由．
【答案】（1）15%，72°；
（2）中位数（5分）；平均数：4分；
（3）不正确，详见解析．
【解答】解：（1）“包装情况”所占的百分比：1﹣25%﹣20%﹣40%＝15%，
“快递价格”所对应的圆心角度数：360°×25%＝72°，
故答案为：15%，72°；
（2）根据题意可得：中位数：（分），
平均数：（5×600+3×300+1×100）÷1000＝4（分）；
（3）不正确．25%是指调查结果“一般”或“不满意”用户对快递配送速度不满意的百分比，而非样本容量的25%，
故小明的想法不正确．
一十三．列表法与树状图法（共1小题）
15．（2023•温岭市一模）2023年台州市体育考试成绩总分为40分，其中平时成绩10分，现场考试成绩30分，小华同学分别选取了1000米跑、引体向上、1分钟跳绳、排球垫球作为现场考试备选项目（每一个项目满分10分），如表是他最近5次模拟考试成绩：
次序成绩（分）
项目
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
1000米跑
5
5
6
6
5
引体向上
8
7
8
8
8
1分钟跳绳
7
10
6
7
9
排球垫球
10
10
10
10
10
（1）计算小华每一个项目5次考试的平均成绩；
（2）依据小华第一次考试成绩，从四个项目中随机选取两个，得分之和高于16分的概率为 ；
（3）游泳作为替代类考试项目，可替代上述四个项目中任意一项，已知小华游泳能得满分，请你帮助小华确定另外两个中考体育项目，并说明你的理由．
【答案】（1）1000米跑5.4分，引体向上7.8分，1分钟跳绳7.8分，排球垫球10分；
（2）；
（3）排球和引体向上，理由见解析．
【解答】解：（1）1000米跑的平均成绩：（5+5+6+6+5）÷5＝5.4（分），
引体向上的平均成绩：（8+7+8+8+8）÷5＝7.8（分），
1分钟跳绳的平均成绩：（7+10+6+7+9）÷5＝7.8（分），
排球垫球的平均成绩：（10+10+10+10+10）÷5＝10（分）；
因此1000米跑5.4分，引体向上7.8分，1分钟跳绳7.8分，排球垫球10分；
（2）由题意画树状图：
设1000米跑5分为A，引体向上8分为B，1分钟跳绳7分为C，排球垫球10分为D；
由图可知，共有12种等可能的情况，其中得分之和高于16分的情况有4种，
得分之和高于16分的概率为：，
故答案为：；
（3）排球和引体向上．理由如下：
排球的平均分最高，且均为满分，成绩稳定；
引体向上和1分钟跳绳的平均分相等，
引体向上5次考试成绩的方差为：，
1分钟跳绳5次考试成绩的方差为：，
由s1＜s2可得引体向上的成绩比1分钟跳绳的成绩更稳定，
因此选择排球和引体向上．
浙江省台州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（6套）-03解答题（提升题）
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2023•椒江区一模）我们知道，正比例函数y＝2x的图象是一条经过第三象限、原点、第一象限的直线，从左向右上升，即y随着x的增大而增大．
上述结论是通过观察函数图象得到的，我们能不能从代数角度去证明该结论呢？
（1）补全证明过程
证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝2x的图象上，且x1＜x2，
∴y1＝2x1，y2＝ ，
∴y1﹣y2＝2x1﹣2x2＝2（x1﹣x2），
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2 0，
∴2（x1﹣x2） 0，即y1＜y2，
∴y＝2x随着x的增大而增大．
（2）仿照题（1）的证明过程，试从代数角度证明：当x＞0时，反比例函数随着x的增大而增大．
二．二次函数的应用（共2小题）
2．（2023•温岭市一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．图记录了小明的速度v1（m/s）以及球的速度v2（m/s）随时间t（s）的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离s＝•t）
（1）当0＜t≤4时，求v2关于t的函数关系式；
（2）求图中a的值；
（3）小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有 次，并简要说明理由．
3．（2023•黄岩区一模）为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面10m的点A和15m的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计）．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为16m，水流的最高点到高楼的水平距离为4m，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与到高楼的水平距离x（m）之间的函数关系式为：y＝a（x﹣h）2+k．
（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
（2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；
（3）若消防员站在到高楼的水平距离为11m～12m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状发生变化，水流的最高点到高楼的水平距离始终是4m，当时，求水流到达墙面高度的取值范围．
三．二次函数综合题（共1小题）
4．（2023•椒江区一模）几何画板具有绘图功能，可以方便地绘制一个动态函数y＝ax2+bx+c的图象，并可通过改变系数a，b，c的值来探索函数图象的相关性质．步骤如下：
步骤一：在平面直角坐标系中，点A，B，C为x轴上的三个动点，横坐标分别记为a，b，c，且0≤a＜b＜c；
步骤二：绘制函数y＝ax2+bx+c的图象；
例：如图，当点A，B，C分别移动到（1，0），（2，0），（4，0）的位置时，相应的a＝1，b＝2，c＝4，此时函数解析式为y＝x2+2x+4．
步骤三：任意移动A，B，C三点的位置，函数图象的形状、大小、位置会随之改变．
（1）当点A，B，C分别移动到（0，0），（2，0），（4，0）的位置，则函数解析式为 ，函数图象与x轴的交点坐标为 ；
（2）若点A，C分别移动到（0，0），（4，0）的位置，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为D（m，0），求m的取值范围；
（3）在点A，B，C的移动过程中，
①若点C移动到（4，0）的位置，且满足AB＝BC，此时函数y＝ax2+bx+c的最小值为，求点B的坐标；
②若满足OB＝k•OC，OA＝k•OB（k为常数），试判断函数y＝ax2+bx+c的值能否达到？请说明理由．
四．三角形综合题（共1小题）
5．（2023•仙居县一模）如图，C为线段AB上一点，AC＝4，BC＝2，射线CD⊥AB于点C，P为射线CD上一点，连接PA，PB．
（1）【发现、提出问题】①当PC＝3时，求PA2﹣PB2的值；
②小亮发现PC取不同值时，PA2﹣PB2的值存在一定规律，请猜想该规律 ．
（2）【分析、解决问题】请证明你的猜想．
（3）【运用】当PA﹣PB＝1时，△PAB的周长为 ．
五．四边形综合题（共1小题）
6．（2023•温岭市一模）正方形ABCD的边长为8，点E是其边上的一点，以AE为对角线作矩形AHEG（点A、H、E、G按顺时针排列），且tan∠HAE＝2．
（1）如图1，若AB与HE交于点M，当△AHM≌△EBM时，求证：EA平分∠BEG；
（2）当点G落在正方形的边上时，求AE的长；
（3）当点E在BC上运动时，连接BG，求BG•CE的最大值．
六．圆的综合题（共2小题）
7．（2023•仙居县一模）如图，正方形ABCD的边长为12m，点E在AB上，AE＝8m．正方形内存在匀强磁场，某种带电粒子以速度v（单位：m/s）沿着EF方向（EF⊥AB）从点E射入匀强磁场，在磁场中沿逆时针方向作匀速圆周运动，该圆与EF相切，半径r（单位：m）与v满足关系r＝kv（k为常数）．如图1，当v＝8时，粒子恰好从点A处射出磁场．
（1）①求常数k的值；
②若v＝8或6，粒子在磁场中的运动时间分别为t1，t2，请比较t1，t2的大小．
（2）如图2，若粒子从AD边上一点G射出磁场，请用无刻度的直尺和圆规画出粒子运动的弧形路径的圆心O（保留作图痕迹）．
（3）该种粒子能否从边CD上射出磁场？若能，请求出v的取值范围；若不能，请写出理由．
8．（2023•温岭市一模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线l．
（1）∠NOP＝ °；
（2）若⊙O的半径为10，小圆的半径都为1；
①当圆心H到l的距离等于OA时，求OH的长；
②求证：在旋转过程中，MQ的长为定值．
七．作图—应用与设计作图（共1小题）
9．（2023•温岭市一模）如图，由边长为1的正方形构成的9×5网格，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上．
（1）BC＝ ；
（2）仅用无刻度的直尺在AC上找一点E，使BE平分∠ABC；
（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示）
（3）求tan∠CBE的值．
八．作图-轴对称变换（共1小题）
10．（2023•黄岩区一模）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△DEF向左平移3个单位长度得到△D1E1F1，画出△D1E1F1．
九．几何变换综合题（共1小题）
11．（2023•路桥区一模）在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，D是AB边上的中点，E是直线AC右侧的一点，且∠AEC＝90°，连接DE，过点D作DE的垂线交射线CE于点F．
（1）点C到AB的距离为 ．
（2）如图1，当点E在△ABC的外部时．
①求证：DE＝DF；
②如图2，连接BE，当BE＝AC时，试探究AE与CE之间的数量关系；
（3）若，请直接写出AE的长．
一十．相似形综合题（共1小题）
12．（2023•椒江区一模）正方形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，连接BE，在线段BE上取一点P，连接CP．
（1）如图1，当CP⊥BE时，求证：△ABE∽△PCB；
（2）如图2，当AE＝1且∠BPC＝60°时，求PC的值；
（3）如图3，当∠BPC＝2∠ABE且AE＝CP时，求证：BE＝PC2．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
13．（2023•椒江区一模）如图是汽车尾门向上开启时的截面图，已知车高AB＝1.8m，尾门AC＝1.2m，当尾门开启时，∠BAC＝110°，求点C离地面MN的高度．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.93，tan20°≈0.36，结果精确到0.1m）
一十二．扇形统计图（共1小题）
14．（2023•椒江区一模）某快递公司为了解用户的使用体验，提升服务质量，随机抽取了1000名用户进行问卷调查，调查问卷（问题部分）及相关统计结果如下：
1．您对本公司快递服务的整体评价为 （单选）
A．满意
B．一般
C．不满意
如果您对本公司快递服务的整体评价为一般或者不满意，请继续回答第2个问题
2．您认为本公司快递服务最需要改进的方面为 （单选）
A．配送速度
B．服务态度
C．快递价格
D．包装情况
（1）用户认为最需要改进的方面的统计图中，“包装情况”所占的百分比为 ，“快递价格”所对应的圆心角度数为 ；
（2）如果将整体评价中的“满意”、“一般”、“不满意”分别赋分为5分、3分、1分，求该公司此次调查中关于整体评价的中位数和平均数；
（3）小明想，如果该快递公司有20000名用户，那么认为“配送速度”方面的服务需要改进的用户有20000×25%＝5000名．你觉得小明的想法正确吗？请说明理由．
一十三．列表法与树状图法（共1小题）
15．（2023•温岭市一模）2023年台州市体育考试成绩总分为40分，其中平时成绩10分，现场考试成绩30分，小华同学分别选取了1000米跑、引体向上、1分钟跳绳、排球垫球作为现场考试备选项目（每一个项目满分10分），如表是他最近5次模拟考试成绩：
次序成绩（分）
项目
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
1000米跑
5
5
6
6
5
引体向上
8
7
8
8
8
1分钟跳绳
7
10
6
7
9
排球垫球
10
10
10
10
10
（1）计算小华每一个项目5次考试的平均成绩；
（2）依据小华第一次考试成绩，从四个项目中随机选取两个，得分之和高于16分的概率为 ；
（3）游泳作为替代类考试项目，可替代上述四个项目中任意一项，已知小华游泳能得满分，请你帮助小华确定另外两个中考体育项目，并说明你的理由．
浙江省台州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（6套）-03解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2023•椒江区一模）我们知道，正比例函数y＝2x的图象是一条经过第三象限、原点、第一象限的直线，从左向右上升，即y随着x的增大而增大．
上述结论是通过观察函数图象得到的，我们能不能从代数角度去证明该结论呢？
（1）补全证明过程
证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝2x的图象上，且x1＜x2，
∴y1＝2x1，y2＝ 2x2 ，
∴y1﹣y2＝2x1﹣2x2＝2（x1﹣x2），
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2 ＜ 0，
∴2（x1﹣x2） ＜ 0，即y1＜y2，
∴y＝2x随着x的增大而增大．
（2）仿照题（1）的证明过程，试从代数角度证明：当x＞0时，反比例函数随着x的增大而增大．
【答案】（1）2x2，＜，＜；
（2）见解析．
【解答】证明：（1）设点A（x1，y1），B（x2，y2）在正比例函数y＝2x的图象上，且x1＜x2，
∴y1＝2x1，y2＝2x2，
∴y1﹣y2＝2x1﹣2x2＝2（x1﹣x2），
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
∴2（x1﹣x2）＜0，即y1＜y2，
∴y＝2x随着x的增大而增大；
故答案为：2x2，＜，＜；
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且0＜x1＜x2，
∴，，
∴，
∵0＜x1＜x2，
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，
∴，即y1＜y2，
∴当x＞0时，反比例函数随着x的增大而增大．
二．二次函数的应用（共2小题）
2．（2023•温岭市一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．图记录了小明的速度v1（m/s）以及球的速度v2（m/s）随时间t（s）的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离s＝•t）
（1）当0＜t≤4时，求v2关于t的函数关系式；
（2）求图中a的值；
（3）小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有 7 次，并简要说明理由．
【答案】（1）v2＝﹣t+6；
（2）；
（3）7，理由见解析．
【解答】解：（1）设v2关于t的函数关系式为v2＝kt+b，把点（0，6），（4，2）代入，
得，，
解得，
∴v2关于t的函数关系式为v2＝﹣t+6；
（2）对于球来说，，
小明前a秒的平均速度为，a秒后速度为6m/s，
由小明在4s时第一次追上球可得，3a+6（4﹣a）＝4×4，
解得，
即图中a的值为；
（3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑200﹣16＝184米，由（1）知，v2＝﹣t+6，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为v2′＝﹣t+8，v初＝8m/s，v末＝﹣t+8，则，，
第二次踢后，则，（舍去），，此时又经过了6×4＝24米，v末＝﹣4+8＝4m/s，
第三次踢后，变化规律为v2′＝﹣t+10，v初＝10m/s，v末＝﹣t+10，
则，，
第三次追上，则，t1＝0（舍去），t2＝8，
此时又经过了6×8＝48米，v末＝﹣8+10＝2m/s，
又开始下一个循环，
故第四次踢球所需时间为4s，经过24米，
故第五次踢球所需时间为8s，经过48米，
故第六次踢球所需时间为4s，经过24米，
故第七次踢球所需时间为8s，经过48米，
∵16+24+48+24+48+24＝184＜200，16+24+48+24+48+24+48＝232＞200，
∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次，
故答案为：7．
3．（2023•黄岩区一模）为了有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面10m的点A和15m的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计）．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为16m，水流的最高点到高楼的水平距离为4m，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与到高楼的水平距离x（m）之间的函数关系式为：y＝a（x﹣h）2+k．
（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
（2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；
（3）若消防员站在到高楼的水平距离为11m～12m的地方，调整水枪，使喷出的水流形状发生变化，水流的最高点到高楼的水平距离始终是4m，当时，求水流到达墙面高度的取值范围．
【答案】（1）；
（2）不能，理由见解析；
（3）11≤d≤24．
【解答】解：（1）依题意顶点坐标为（4，16），设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+16，
将点A（0，10）代入得，10＝a（0﹣4）2+16，
解得：，
∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为；
（2）不能，理由如下，
依题意，抛物线向左平移2个单位得到，
令x＝0，解得：≠15，
∴水流不能到达点B（0，15）处，
（3）依题意，设水流到达墙面高度为d，
设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+k，
当x＝11时，时，，
解得：，则抛物线解析式为，
当x＝0时，y＝16.5，
当x＝11，时，，
解得：，则抛物线解析式为，
当x＝0时，y＝11，
当x＝12时，时，，
解得：k＝32，
∴抛物线解析式为，
当x＝0时，y＝24，
当x＝12，时，，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当x＝0时，y＝16，
∴11≤d≤24，
综上所述，11≤d≤24．
三．二次函数综合题（共1小题）
4．（2023•椒江区一模）几何画板具有绘图功能，可以方便地绘制一个动态函数y＝ax2+bx+c的图象，并可通过改变系数a，b，c的值来探索函数图象的相关性质．步骤如下：
步骤一：在平面直角坐标系中，点A，B，C为x轴上的三个动点，横坐标分别记为a，b，c，且0≤a＜b＜c；
步骤二：绘制函数y＝ax2+bx+c的图象；
例：如图，当点A，B，C分别移动到（1，0），（2，0），（4，0）的位置时，相应的a＝1，b＝2，c＝4，此时函数解析式为y＝x2+2x+4．
步骤三：任意移动A，B，C三点的位置，函数图象的形状、大小、位置会随之改变．
（1）当点A，B，C分别移动到（0，0），（2，0），（4，0）的位置，则函数解析式为 y＝2x+4 ，函数图象与x轴的交点坐标为 （﹣2，0） ；
（2）若点A，C分别移动到（0，0），（4，0）的位置，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为D（m，0），求m的取值范围；
（3）在点A，B，C的移动过程中，
①若点C移动到（4，0）的位置，且满足AB＝BC，此时函数y＝ax2+bx+c的最小值为，求点B的坐标；
②若满足OB＝k•OC，OA＝k•OB（k为常数），试判断函数y＝ax2+bx+c的值能否达到？请说明理由．
【答案】（1）y＝2x+4；（﹣2，0）；
（2）m＜﹣1；
（3）①B（3，0）；②能，详见解析．
【解答】解：（1）根据题意，点A，B，C分别移动到（0，0），（2，0），（4，0）的位置，
函数解析式为y＝2x+4，
当y＝0时，x＝﹣2，
∴函数图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），
故答案为：y＝2x+4；（﹣2，0）；
（2）∵A（0，0），C（4，0），0≤a＜b＜c，
∴，
∴y＝bx+4，
∵y＝bx+4的图象与x轴的交点为D（m，0），
∴，
∵0＜b＜4，
∴m＜﹣1；
（3）①∵AB＝BC，
∴a＝2b﹣4，即y＝（2b﹣4）x2+bx+4，
∴，
解得b＝3或6（舍去），
∴B（3，0）；
②能，理由如下：
∵OB＝k•＝k•OB，
∴，即a＝k2c，
∵0≤a＜b＜c，
∴，
∴，即函数y＝ax2+bx+c的值能达到．
四．三角形综合题（共1小题）
5．（2023•仙居县一模）如图，C为线段AB上一点，AC＝4，BC＝2，射线CD⊥AB于点C，P为射线CD上一点，连接PA，PB．
（1）【发现、提出问题】①当PC＝3时，求PA2﹣PB2的值；
②小亮发现PC取不同值时，PA2﹣PB2的值存在一定规律，请猜想该规律 PA2﹣PB2＝12 ．
（2）【分析、解决问题】请证明你的猜想．
（3）【运用】当PA﹣PB＝1时，△PAB的周长为 18 ．
【答案】（1）①12；
②PA2﹣PB2＝12；
（2）证明见解答过程；
（3）18．
【解答】解：（1）①∵AC＝4，BC＝2，PC＝3，CD⊥AB，
∴PA＝5，，
∴PA2﹣PB2＝25﹣13＝12．
②当PC取不同值时，PA2﹣PB2为定值12，
故答案为：PA2﹣PB2＝12；
（2）设PC＝x，
则有PA2＝42+x2＝16+x2，PB2＝22+x2＝4+x2，
∴PA2﹣PB2＝（16+x2）﹣（4+x2）＝12．
∵CD⊥AB，
∴PA2＝AC2+PC2，PB2＝BC2+PC2，
∴PA2﹣PB2＝（AC2+PC2）﹣（BC2+PC2），
∴PA2﹣PB2＝AC2﹣BC2＝12；
（3）由（1）得，PA2﹣PB2＝12，
即（PA+PB）（PA﹣PB）＝12，
∵PA﹣PB＝1，
∴PA+PB＝12，
∵AC＝4，BC＝2，
∴AB＝AC+BC＝6，
∴△PAB的周长为PA+PB+AB＝12+6＝18．
故答案为：18．
五．四边形综合题（共1小题）
6．（2023•温岭市一模）正方形ABCD的边长为8，点E是其边上的一点，以AE为对角线作矩形AHEG（点A、H、E、G按顺时针排列），且tan∠HAE＝2．
（1）如图1，若AB与HE交于点M，当△AHM≌△EBM时，求证：EA平分∠BEG；
（2）当点G落在正方形的边上时，求AE的长；
（3）当点E在BC上运动时，连接BG，求BG•CE的最大值．
【答案】（1）见解析；
（2）AE＝10或；
（3）BG•CE的最大值为．
【解答】（1）证明：∵△AHM≌△EBM，
∴BM＝HM，AM＝EM，AH＝BE，
∴AM+BM＝MH+ME，
即AB＝HE，
∵AE＝AE，AH＝BE，AB＝HE，
∴△AHE≌△EBA（SSS），
∴∠EAH＝∠AEB，
∵四边形AHEG为矩形，
∴AH∥EG，
∴∠EAH＝∠AEG，
∴∠AEB＝∠AEG，
∴EA平分∠BEG；
（2）解：当点E在BC上，G在CD上时，如图所示：
∵四边形AGEH为矩形，
∴∠AGE＝90°，AH∥EG，
∴∠AEG＝∠EAH，
∴tan∠AEG＝tan∠EAH＝2，
∴，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DAG+∠AGD＝∠AGD+∠CGE＝90°，
∴∠DAG＝∠CGE，
∴△ADG∽△GCE，
∴，
即，
∴CG＝4，
∴DG＝DC﹣CG＝8﹣4＝4，
∴，
∴CE＝2，
∴BE＝BC﹣BE＝6，
∴；
当点E在CD上，点G与点D重合时，如图所示：
∵四边形AGEH为矩形，
∴∠AHE＝90°，EH＝AG＝AD＝8，
∴，
∴，
∴AH＝4，
∴；
综上分析可知，AE＝10或；
（3）解：过点G作GM⊥AD于M，延长MG交BC于点N，如图所示：
则∠AMN＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAB＝∠ABN＝90°，
∴∠MAB＝∠ABN＝∠AMN＝90°，
∴四边形AMNB为矩形，
∴AM＝BN，MN＝AB＝8，∠MNB＝90°，
设BE＝x（0≤x≤8），AM＝BN＝y，则CE＝8﹣x，
∵四边形AGEH为矩形，
∴∠AGE＝90°，AH∥GE，
∴∠AEG＝∠EAH，
∴tan∠AEG＝tan∠EAH＝2，
∴，
∴∠MAG+∠AGM＝∠AGM+∠NGE＝90°，
∴∠MAG＝∠NGE，
∴△AMG∽△GNE，
∴，
即，
∴，，
∵NE＝BN﹣BE＝y﹣x，
∴，
∴，
在Rt△BGN中，根据勾股定理得：，
∴，
∴＝＝，
∵，
∴当x＝2时，BG•CE取最大值，且最大值为．
六．圆的综合题（共2小题）
7．（2023•仙居县一模）如图，正方形ABCD的边长为12m，点E在AB上，AE＝8m．正方形内存在匀强磁场，某种带电粒子以速度v（单位：m/s）沿着EF方向（EF⊥AB）从点E射入匀强磁场，在磁场中沿逆时针方向作匀速圆周运动，该圆与EF相切，半径r（单位：m）与v满足关系r＝kv（k为常数）．如图1，当v＝8时，粒子恰好从点A处射出磁场．
（1）①求常数k的值；
②若v＝8或6，粒子在磁场中的运动时间分别为t1，t2，请比较t1，t2的大小．
（2）如图2，若粒子从AD边上一点G射出磁场，请用无刻度的直尺和圆规画出粒子运动的弧形路径的圆心O（保留作图痕迹）．
（3）该种粒子能否从边CD上射出磁场？若能，请求出v的取值范围；若不能，请写出理由．
【答案】（1）①；②t1＝t2；
（2）详见解析；
（3）v≥26．
【解答】解：（1）①半径．
∵v＝8，
∴．
②，，
∴t1＝t2；
（2）
（3）假设粒子从点D射出磁场时，弧形路径的半径为r，
则有r2＝（r﹣8）2+122，
解得r＝13．
此时，v＝13×2＝26．
∴若粒子从边CD上射出磁场，应满足v≥26．
8．（2023•温岭市一模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线l．
（1）∠NOP＝ 60 °；
（2）若⊙O的半径为10，小圆的半径都为1；
①当圆心H到l的距离等于OA时，求OH的长；
②求证：在旋转过程中，MQ的长为定值．
【答案】（1）60；
（2）①；
②证明见解答过程．
【解答】（1）解：，
故答案为：60；
（2）①解：如图，设⊙H的挂点为K，过点H作HT⊥l于点T，
∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，
∴K，H，T在同一直线上，
∵圆心H到l的距离等于OA，
∴HT＝OA，
∵HT⊥l，OA⊥l，
∴HT∥OA，
∴四边形HTAO是平行四边形，
又∵∠OAT＝90°，
∴四边形HTAO是矩形，
∴∠OHT＝90°，
∴∠OHK＝90°，
∴；
②证明：如图所示，连接NP，MQ、NM，
由（1）知∠NOP＝60°，
又∵ON＝OP＝10，
∴△NOP是等边三角形，
∴NP＝ON＝OP＝10，
∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，
∴MN＝PQ＝1，MN∥PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∴MQ＝NP＝10，
∴MQ的长为定值．
七．作图—应用与设计作图（共1小题）
9．（2023•温岭市一模）如图，由边长为1的正方形构成的9×5网格，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上．
（1）BC＝ 5 ；
（2）仅用无刻度的直尺在AC上找一点E，使BE平分∠ABC；
（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示）
（3）求tan∠CBE的值．
【答案】（1）5；
（2）见解析；
（3）2．
【解答】解：（1）由勾股定理可得，
故答案为：5；
（2）如图所示，BE即为所求，
∵，BD＝CF＝5，
∴BD＝CF＝DF＝BC＝5，
∴四边形BDFC是菱形，
∴BE平分∠ABC，
即BE即为所求；
（3）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABF，
在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，AB＝2，AF＝4，
∴，
即tan∠CBE的值为2．
八．作图-轴对称变换（共1小题）
10．（2023•黄岩区一模）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△DEF向左平移3个单位长度得到△D1E1F1，画出△D1E1F1．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△D1E1F1即为所求．
九．几何变换综合题（共1小题）
11．（2023•路桥区一模）在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，D是AB边上的中点，E是直线AC右侧的一点，且∠AEC＝90°，连接DE，过点D作DE的垂线交射线CE于点F．
（1）点C到AB的距离为 3 ．
（2）如图1，当点E在△ABC的外部时．
①求证：DE＝DF；
②如图2，连接BE，当BE＝AC时，试探究AE与CE之间的数量关系；
（3）若，请直接写出AE的长．
【答案】（1）3；
（2）①证明见解析部分；
②结论：EC＝2AE．理由见解析部分；
（3）4﹣或4+．
【解答】（1）解：连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝CB＝6，
∴AB＝＝＝6，
∵AD＝DB，
∴CD⊥AB，CD＝AB＝3；
（2）①证明：如图2中，连接CD，设AD交CE于点O．
∵DE⊥DF，CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠EDF＝90°，
∴∠CDF＝∠ADE，
∵∠AEC＝∠ADC＝90°，∠AOE＝∠COD，
∴∠DCF＝∠EAD，
∵DC＝DA，
∴△CDF≌△ADE（ASA），
∴DF＝DE；
②结论：EC＝2AE．
理由：∵AC＝BC，AC＝BE，
∴BC＝BE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴∠BCD+∠DCF＝∠DEF+∠BED，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴∠DEF＝∠BCD＝45°，
∴∠BED＝∠DCF＝∠DAE，
∵∠DBF＝∠ABE，
∴△DBE∽△EBA，
∴DE：EA＝BD：EB＝1：，
∴AE＝DE，
∵△CDF≌△ADE，
∴CD＝AE＝DE，
∵EF＝DE，
∴CF＝EF，
∴EC＝2AE；
（3）如图3﹣1中，当CE在CD的上方时，连接CD，过点D作DH⊥CE于点H．
∵sin∠DCE＝＝，CD＝3，
∴DH＝，
∵DE＝DF，DH⊥EF，
∴FH＝EH，
∴DH＝FH＝EH＝，
∵CH＝＝＝4，
∴AE＝CF＝CH﹣FH＝4﹣．
如图3﹣2中，当CE在CD第三下方时，同法可得CF＝AE＝4+．
综上所述，满足条件的AE的长为4﹣或4+．
一十．相似形综合题（共1小题）
12．（2023•椒江区一模）正方形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，连接BE，在线段BE上取一点P，连接CP．
（1）如图1，当CP⊥BE时，求证：△ABE∽△PCB；
（2）如图2，当AE＝1且∠BPC＝60°时，求PC的值；
（3）如图3，当∠BPC＝2∠ABE且AE＝CP时，求证：BE＝PC2．
【答案】（1）详见解析；
（2）；
（3）详见解析．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠PBC＝90°﹣∠ABE＝∠AEB，
又CP⊥BE，
∴∠BPC＝∠A＝90°，
∴△ABE∽△PCB．
（2）解：过点C作CF⊥BE于点F，
∵AE＝1，AB＝2，
∴tan∠AEB＝2，
又CF⊥BE，
∴同理（1）得△ABE∽△FCB，
∴CF＝2BF，
∵CF⊥BE，
∴CF2+BF2＝BC2，
∴，
∴，
∵∠CPB＝60°，
∴，
∴．
（3）证明：过点P作PG⊥BC于点G，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠ABC＝90°＝∠PGC，
∴PG∥AB，
∴∠GPB＝∠ABE，
∵∠BPC＝2∠ABE，
∴∠GPB＝∠GPC，
∵∠PGC＝∠A＝90°，
∴△ABE∽△GPC，
∴，则BE＝，
∵∠GPB＝∠GPC，PG⊥BC，
∴∠PGC＝∠PGB，
∴PC＝PB，
∴CG＝BG＝1，
∵AE＝CP，
∴BE＝＝PC²，
∴BE＝PC2．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
13．（2023•椒江区一模）如图是汽车尾门向上开启时的截面图，已知车高AB＝1.8m，尾门AC＝1.2m，当尾门开启时，∠BAC＝110°，求点C离地面MN的高度．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.93，tan20°≈0.36，结果精确到0.1m）
【答案】点C离地面MN的高度约为2.2米．
【解答】解：过点C作CD⊥BA交延长线于点D，
∵∠BAC＝110°，
∴∠CAD＝70°，
∵CD⊥BA，
∴∠ACD＝20°，
∴AD＝AC⋅sin∠ACD≈1.2×0.34＝0.408（米），
∴BD＝AB+AD≈1.8+0.408＝2.208≈2.2（米），
答：点C离地面MN的高度约为2.2米．
一十二．扇形统计图（共1小题）
14．（2023•椒江区一模）某快递公司为了解用户的使用体验，提升服务质量，随机抽取了1000名用户进行问卷调查，调查问卷（问题部分）及相关统计结果如下：
1．您对本公司快递服务的整体评价为 A （单选）
A．满意
B．一般
C．不满意
如果您对本公司快递服务的整体评价为一般或者不满意，请继续回答第2个问题
2．您认为本公司快递服务最需要改进的方面为 D （单选）
A．配送速度
B．服务态度
C．快递价格
D．包装情况
（1）用户认为最需要改进的方面的统计图中，“包装情况”所占的百分比为 15% ，“快递价格”所对应的圆心角度数为 72° ；
（2）如果将整体评价中的“满意”、“一般”、“不满意”分别赋分为5分、3分、1分，求该公司此次调查中关于整体评价的中位数和平均数；
（3）小明想，如果该快递公司有20000名用户，那么认为“配送速度”方面的服务需要改进的用户有20000×25%＝5000名．你觉得小明的想法正确吗？请说明理由．
【答案】（1）15%，72°；
（2）中位数（5分）；平均数：4分；
（3）不正确，详见解析．
【解答】解：（1）“包装情况”所占的百分比：1﹣25%﹣20%﹣40%＝15%，
“快递价格”所对应的圆心角度数：360°×25%＝72°，
故答案为：15%，72°；
（2）根据题意可得：中位数：（分），
平均数：（5×600+3×300+1×100）÷1000＝4（分）；
（3）不正确．25%是指调查结果“一般”或“不满意”用户对快递配送速度不满意的百分比，而非样本容量的25%，
故小明的想法不正确．
一十三．列表法与树状图法（共1小题）
15．（2023•温岭市一模）2023年台州市体育考试成绩总分为40分，其中平时成绩10分，现场考试成绩30分，小华同学分别选取了1000米跑、引体向上、1分钟跳绳、排球垫球作为现场考试备选项目（每一个项目满分10分），如表是他最近5次模拟考试成绩：
次序成绩（分）
项目
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
1000米跑
5
5
6
6
5
引体向上
8
7
8
8
8
1分钟跳绳
7
10
6
7
9
排球垫球
10
10
10
10
10
（1）计算小华每一个项目5次考试的平均成绩；
（2）依据小华第一次考试成绩，从四个项目中随机选取两个，得分之和高于16分的概率为 ；
（3）游泳作为替代类考试项目，可替代上述四个项目中任意一项，已知小华游泳能得满分，请你帮助小华确定另外两个中考体育项目，并说明你的理由．
【答案】（1）1000米跑5.4分，引体向上7.8分，1分钟跳绳7.8分，排球垫球10分；
（2）；
（3）排球和引体向上，理由见解析．
【解答】解：（1）1000米跑的平均成绩：（5+5+6+6+5）÷5＝5.4（分），
引体向上的平均成绩：（8+7+8+8+8）÷5＝7.8（分），
1分钟跳绳的平均成绩：（7+10+6+7+9）÷5＝7.8（分），
排球垫球的平均成绩：（10+10+10+10+10）÷5＝10（分）；
因此1000米跑5.4分，引体向上7.8分，1分钟跳绳7.8分，排球垫球10分；
（2）由题意画树状图：
设1000米跑5分为A，引体向上8分为B，1分钟跳绳7分为C，排球垫球10分为D；
由图可知，共有12种等可能的情况，其中得分之和高于16分的情况有4种，
得分之和高于16分的概率为：，
故答案为：；
（3）排球和引体向上．理由如下：
排球的平均分最高，且均为满分，成绩稳定；
引体向上和1分钟跳绳的平均分相等，
引体向上5次考试成绩的方差为：，
1分钟跳绳5次考试成绩的方差为：，
由s1＜s2可得引体向上的成绩比1分钟跳绳的成绩更稳定，
因此选择排球和引体向上．
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