2020-2021学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷

一、单选题

1．下列函数中，在上单调递增的是　　

A． B． C． D．

2．在中，“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．某学校参加抗疫志愿服务社团的学生中，高一年级有40人，高二年级有30人，高三年级有30人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了3人，则从高一年级的学生中应抽取的人数为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

4．已知复数，则　　

A．6 B． C．12 D．

5．为进一步推进乡村振兴，某市扶贫办在乡镇的2个脱贫村与乡镇的2个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为　　

A． B． C． D．

6．为了得到函数的图象，可以将函数的图象　　

A．向左平移个单位长度得到 

B．向右平移个单位长度得到 

C．向左平移个单位长度得到 

D．向右平移个单位长度得到

7．已知向量，，，，若，则实数的值为　　

A．0 B．2 C．8 D．

8．在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、多选题

9．若不等式与，为实数）同时成立，则下列不等关系可能成立的是　　

A． B． C． D．

10．若复数满足，复数的共轭复数为，则　　

A． 

B． 

C． 

D．复数在复平面内对应的点在第一象限

11．下列说法中正确的为　　

A．若，，则 

B．向量，能作为平面内所有向量的一组基底 

C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 

D．非零向量和满足，则与的夹角为

12．如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，则在翻折的过程中，下列说法正确的　　

A．存在某个位置，使得 

B．存在某个位置，使得 

C．存在某个位置，使得，，，四点落在半径为的球面上 

D．存在某个位置，使得点到平面的距离为

三、填空题

13．已知一组数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为 　　．

14．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，现有等高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为4的扇形，由此推算三棱锥的体积为 　　．

15．在中，角，，的对边分别是，，，若，则　　．

16．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线，于点，，且，，若的最小值为3，则正数的值为 　　．

三、解答题

17．已知．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，，，，．

（1）求频率分布图中的值；

（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

（3）从评分在，的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在，的概率．

19．已知函数．

（1）求的最小正周期；

（2）若在区间上，的值域为，求的取值范围．

20．已知复数，若存在实数使得成立．

（1）求证：为定值；

（2）求，求的取值范围．

21．如图，在底面棱长为2侧棱长为的正三棱柱中，点为的中点．

（1）求平面与底面所成角的正弦值；

（2）若在四面体内放一球，求此球的最大半径．

22．已知函数．

（1）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）记，存在，，使得等式成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题

1．下列函数中，在上单调递增的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，是正弦函数，在上不是增函数，不符合题意；

对于，，是幂函数，在上单调递增，符合题意；

对于，，在区间上为减函数，不符合题意；

对于，，是指数函数，在上为减函数，不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查函数单调性的判断，涉及常见函数的单调性，属于基础题．

2．在中，“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合正弦定理进行判断即可．

【解答】解：在中，若，则，

由正弦定理得，即充分性成立，

若，则由正弦定理得，即，即必要性成立，

故，“”是“”的充要条件，

故选：．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合正弦定理是解决本题的关键．

3．某学校参加抗疫志愿服务社团的学生中，高一年级有40人，高二年级有30人，高三年级有30人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了3人，则从高一年级的学生中应抽取的人数为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】先算出三个年级学生人数比例，然后根据高二年级抽取的学生数可求得高一年级中应抽取的学生数．

【解答】解：由题意可知：，高一年级、高二年级、高三年级的学生人数比例为：，

从高二年级的学生中抽取了3人，从高一年级的学生中应抽取4人．

故选：．

【点评】本题考查分层抽样，考查数学运算能力，属于基础题．

4．已知复数，则　　

A．6 B． C．12 D．

【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．

【解答】解：，

．

故选：．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

5．为进一步推进乡村振兴，某市扶贫办在乡镇的2个脱贫村与乡镇的2个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为　　

A． B． C． D．

【分析】基本事件总数，抽取的两个脱贫村为同一乡镇包含的基本事件个数，由此能求出抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率．

【解答】解：某市扶贫办在乡镇的2个脱贫村与乡镇的2个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，

基本事件总数，

抽取的两个脱贫村为同一乡镇包含的基本事件个数，

则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为．

故选：．

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

6．为了得到函数的图象，可以将函数的图象　　

A．向左平移个单位长度得到 

B．向右平移个单位长度得到 

C．向左平移个单位长度得到 

D．向右平移个单位长度得到

【分析】先利用辅助角公式将函数函数变形，然后利用图象的平移变换分析求解即可．

【解答】解：函数，

将函数的图象向左平移个单位可得的图象．

故选：．

【点评】本题考查了三角函数图象的变换，解题的关键是利用辅助角公式将函数变形，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．

7．已知向量，，，，若，则实数的值为　　

A．0 B．2 C．8 D．

【分析】根据，，由，能求出实数．

【解答】解：向量，，，，

，，

，，

解得．

故选：．

【点评】本题考查向量垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题．

8．在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】建系，设点坐标，求平面的法向量，结合向量的夹角表示出，再求出的范围，进而得到的取值范围．

【解答】解：如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，不妨设，

则，0，，，2，，，2，，，2，，，2，，

设，，，，，

在正方体中，因为平面，所以，

又，所以平面，即是平面 的法向量，

，则

，

因为，所以．

故选：．

【点评】本题考查线面角的范围问题，考查空间向量在立体几何中的应用，考查直观想象的核心素养，属于中档题．

二、多选题

9．若不等式与，为实数）同时成立，则下列不等关系可能成立的是　　

A． B． C． D．

【分析】由已知两个不等式，作差检验即可．

【解答】解：由，可得，

又，，

，即，同号，

或，

故选：．

【点评】本题考查不等式的性质，属于基础题．

10．若复数满足，复数的共轭复数为，则　　

A． 

B． 

C． 

D．复数在复平面内对应的点在第一象限

【分析】先利用复数的除法运算，求出的代数形式，然后对四个选择逐一判断即可．

【解答】解：因为，所以，

所以，故选项错误；

，故选项正确；

，故选项正确；

复数在复平面内对应的点为，在虚轴上，故选项错误．

故选：．

【点评】本题考查了复数的运算，复数模的求解，共轭复数的定义以及复数的几何意义，属于基础题．

11．下列说法中正确的为　　

A．若，，则 

B．向量，能作为平面内所有向量的一组基底 

C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 

D．非零向量和满足，则与的夹角为

【分析】直接利用向量的共线，向量的基底的定义，向量的夹角公式，向量的数量积的应用判断、、、的结论．

【解答】解：对于：若，，，则，故错误；

对于：向量，，所以不共线，所以可以作为平面内的所有向量的一组基底，故正确；

对于：已知，，则，

所以：，且不共线．

即，

解得，故错误；

对于：非零向量和满足，则以为边长的三角形为等边三角形，所以与的夹角为，故正确．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：向量的共线，向量的基底的定义，向量的夹角公式，向量的数量积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

12．如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，则在翻折的过程中，下列说法正确的　　

A．存在某个位置，使得 

B．存在某个位置，使得 

C．存在某个位置，使得，，，四点落在半径为的球面上 

D．存在某个位置，使得点到平面的距离为

【分析】，判断菱形的对角线的长度，即可判断选项的正误；

，当点在平面内的投影为的重心点时，可得平面，即可判断；

，求出底面三角形的外接圆的半径，然后判断外接球的半径与外接球的半径的关系，即可判断的正误；

，若到平面的距离为，则有平面，即，与是等边三角形矛盾．

【解答】解：对于，因为平面四边形的对角线，所以将沿对角线翻折到位置，则在翻折的过程中，一定垂直一个位置，使得，所以正确；

对于，当点在平面内的投影为的重心点时，有平面，，，

又，、平面，平面，

平面，，即选项正确；

对于，由对称性可知四面体的外接球的球心，在底面三角形的中心的中垂线上，底面三角形的外接圆半径为：，因为，所以一定存在四面体的外接球，取得半径为：．

对于，点到的距离为，点到的距离为，

若到平面的距离为，则平面平面．平面平面，

则有平面，即，与是等边三角形矛盾．

故选：．

【点评】本题考查空间几何体的线面关系，外接球的判断，考查空间想象能力，转化思想，以及逻辑推理能力，是中档题．

三、填空题

13．已知一组数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为 　8　．

【分析】利用方差的结论直接写出答案即可．

【解答】解：数据，，，的方差为2，

数据，，，的方差为，

故答案为：8．

【点评】本题考查了方差的重要结论的应用，属于基础题．

14．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，现有等高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为4的扇形，由此推算三棱锥的体积为 　　．

【分析】设圆锥底面半径为，母线长为，根据题意可得，，进而求得圆锥的高，进一步求得圆锥的体积，再根据祖暅原理得解．

【解答】解：设圆锥底面半径为，母线长为，

又侧面展开图是圆心角为，半径为4的扇形，

，，

，

圆锥的高为，

圆锥的体积为，

三棱锥的体积也为．

故答案为：．

【点评】本题考查圆锥的展开图及其体积的求法，考查祖暅原理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．

15．在中，角，，的对边分别是，，，若，则　9　．

【分析】将已知条件切化弦，然后结合两角和与差的正弦公式、正余弦定理，将等量关系转化为，，间的关系，则问题可解．

【解答】解：可化为：

，

故原式化为，

由正余弦定理得：，化简得．

故答案为：9．

【点评】本题考查两角和与差的正弦公式、切化弦公式，以及正余弦定理等，属于中档题．

16．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线，于点，，且，，若的最小值为3，则正数的值为 　　．

【分析】由平面向量基本定理可得，进而又由点，，三点共线，则，根据“1”的作用由基本不等式的性质，可解得的值．

【解答】解：在中，点是的三等分点，，

，

，，，

，，三点共线，，

，

当且仅当，即 时取等号，的最小值为，

即，，．

故答案为：．

【点评】本题考查了平面向量的基本定理，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．

三、解答题

17．已知．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【分析】（1）把已知等式两边平方，整理即可求得的值；

（2）由已知结合角的范围求得的值，通分后即可求得的值．

【解答】（1）解：由，

两边平方得，

则；

（2），

由，得，

，，，

则，

即：．

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查运算求解能力，是基础题．

18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，，，，．

（1）求频率分布图中的值；

（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

（3）从评分在，的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在，的概率．

【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到；

（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；

（3）求出评分在，的受访职工和评分都在，的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．

【解答】解：（1）因为，解得；

（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在，的有：（人，记为，，；

受访职工评分在，的有：（人，记为，．

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，

分别是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

又因为所抽取2人的评分都在，的结果有1种，即，，

故所求的概率为．

【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．

19．已知函数．

（1）求的最小正周期；

（2）若在区间上，的值域为，求的取值范围．

【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期．

（2）通过的范围求解相位的范围，结合函数的值域，求解的范围即可．

【解答】解：（1），

则，

所以的最小正周期为．

（2）因为，，

所以：要使得值域为，则只需要，的取值范围为．

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值的求法，是中档题．

20．已知复数，若存在实数使得成立．

（1）求证：为定值；

（2）求，求的取值范围．

【分析】（1）根据已知条件，运用复数的加法原则，即可证明．

（2）由于，，再结合，可得且，或，再结合向量模的公式，即可求解．

【解答】解：（1）证明：，，，，

，，

，即为定值，即得证．

（2），，

，且，或，

，

．

【点评】本题考查了复数代数形式的加法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

21．如图，在底面棱长为2侧棱长为的正三棱柱中，点为的中点．

（1）求平面与底面所成角的正弦值；

（2）若在四面体内放一球，求此球的最大半径．

【分析】（1）如图，作辅助线，可知为二面角的平面角，然后根据题意求得的值，进而可得答案；

（2）最大半径的球即为四面体的内切球，再根据由球心分出的四个棱锥的体积之和为四面体的总体积，由此建立关于半径的方程，解出即可．

【解答】解：（1）在正三棱柱中，侧棱底面，侧面，

故侧面底面，过点在侧面内作，垂足为，

则底面，在底面上过作，垂足为，连接，

由，，，且，都在平面内，

故平面，即即为二面角的平面角，

由为中点可知，，，故，

所以所求正弦值为：．

（2）最大半径的球即为四面体的内切球，由（1）知，

又在三棱锥中，，

由球心分出的四个棱锥的体积之和为四面体的总体积，

故，即．

【点评】本题考查二面角的求法，考查等体积法的运用，考查空间想象能力及运算求解能力，属于中档题．

22．已知函数．

（1）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）记，存在，，使得等式成立，求实数的取值范围．

【分析】（1）依题意，恒成立，再结合基本不等式即可得解；

（2）先化简，然后分类讨论即可得出结论．

【解答】解：（1）对于任意的正实数，不等式恒成立，

即恒成立，又由基本不等式，当且仅当时取等号，得，

的取值范围是，．

（2）由已知，化简可得，

若，则恒成立，故与条件矛盾；

若，则，

故存在，，使得，则有，

解得：，

的取值范围是．

【点评】本题考查不等式的恒成立问题，涉及了基本不等式的运用以及三角函数的图象及性质，考查分类讨论思想，转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．

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日期：2021/8/23 17:46:18；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394