2021-2022学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷

一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）

1．（5分）设集合是正四棱柱，是长方体，是正方体，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）工厂生产，，种不同型号的产品，产量之比为．现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的产品有12件，则样本容量　　

A．72 B．48 C．24 D．60

3．（5分）已知复数满足，则在复平面内对应的点在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．（5分）“”的一个充分条件是　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知函数有两个零点，，则可设，由，所以，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理，设多项式函数，根据代数基本定理可知方程有个根，，，，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）在中，，，点满足，，则的最小值为　　

A． B． C．2 D．1

7．（5分）已知函数，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知函数，若方程在，上恰有四个不同的解，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）

9．（5分）记（A），（B）分别为事件，发生的概率，则下列结论中可能成立的有　　

A．（A）（B） B．（A）（B） 

C．（A）（B） D．（A）（B）

10．（5分）下列关于函数的说法正确的有　　

A．最小正周期为 

B．在上单调递增 

C．值域为 

D．若为的一条对称轴，则

11．（5分）已知定义在上的奇函数，当，时，，若函数是偶函数，则下列结论正确的有　　

A．的图象关于对称 

B． 

C． 

D．有100个零点

12．（5分）已知正方体的棱长为2，点是棱上的动点（不含端点），下列说法正确的有　　

A．可能垂直于 

B．三棱锥的体积为定值 

C．过点截正方体的截面可能是等腰梯形 

D．若，过点且垂直于的截面的周长为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

13．（5分）若，，，的标准差为1，则，，，的标准差是 　　．

14．（5分）设平面向量，，，则在上的投影向量的坐标为 　　．

15．（5分）对，函数都有，则　　．（答案不唯一，写出一个即可）

16．（5分）在四棱锥中，已知底面是菱形，，，，若点为菱形的内切圆上一点，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围是 　　．

四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

17．（10分）为了有效抗击疫情，保卫师生健康，某校鼓励学生在食堂就餐，为了更好地服务学生，提升食堂的服务水平，学校采用了问卷调查的形式调研了学生对食堂服务的满意程度，满分是100分，将问卷回收并整理评分数据后，把得分分成了5组：，，，，，，，，，，并绘制成如图所示的频率直方图．

（1）计算的值和样本的平均分；

（2）为了更全面地了解师生对食堂服务水平的评价，求该样本的50百分位数（精确到．

18．（12分）设．

（1）若函数的最大值是最小值的3倍，求的值；

（2）当时，函数的正零点由小到大依次为，，，，若，求的值．

19．（12分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若与平面所成的角为，求与平面所成的角的正弦值．

20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．

（1）若，求的值；

（2）若，求证：．

（参考数据：

21．（12分）如图，在四棱锥中，，，在以为直径的圆上，平面平面．

（1）设点是的中点，求证：平面；

（2）若二面角的平面角的正切值为2，求三棱锥的体积．

22．（12分）若定义域为的函数满足，则称为“型”弱对称函数．

（1）若函数为“1型”弱对称函数，求的值；

（2）已知函数为“2型”弱对称函数，且函数恰有101个零点，2，，，若恒成立，求的最大值．

2021-2022学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）

1．（5分）设集合是正四棱柱，是长方体，是正方体，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：当正四棱柱的高与底面边长相等时，该正四棱柱为正方体．当长方体底面为正方形时，该长方体为正四棱柱．

故．

故选：．

2．（5分）工厂生产，，种不同型号的产品，产量之比为．现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的产品有12件，则样本容量　　

A．72 B．48 C．24 D．60

【解答】解：由题意可得，，解得．

故选：．

3．（5分）已知复数满足，则在复平面内对应的点在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：，

，

在复平面内对应的点在第四象限．

故选：．

4．（5分）“”的一个充分条件是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，当，时，满足，但，错误，

，当，时，满足，但，错误，

，，，，正确，

，当，时，满足，但，错误，

故选：．

5．（5分）已知函数有两个零点，，则可设，由，所以，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理，设多项式函数，根据代数基本定理可知方程有个根，，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意知：，

，

，．

故选：．

6．（5分）在中，，，点满足，，则的最小值为　　

A． B． C．2 D．1

【解答】解：，，

，

，

，

当时，取得最小值为，

的最小值为，

故选：．

7．（5分）已知函数，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，故在上单调递增，

构造，易知在上单调递减，故，

构造，易知在上单调递增，故，

构造，易知在单调递增，且，，

，所以，

故，

又因为在上递增，

故，

故选：．

8．（5分）已知函数，若方程在，上恰有四个不同的解，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题设在，上恰有四个不同的解，

令，，则与有两个交点，而（1），

注意：时，则对应在，上有一个解；

（1）或时，在，只有一个对应值，则对应在，上有两个解；

（1）时，或，对应在，上有三个解；

（1）时，在，只有两个对应值，此时对应在，上有四个解；

综上，．

故选：．

二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）

9．（5分）记（A），（B）分别为事件，发生的概率，则下列结论中可能成立的有　　

A．（A）（B） B．（A）（B） 

C．（A）（B） D．（A）（B）

【解答】解：当事件，相互独立时，（A）（B），故正确，

当事件，互斥时，（A）（B），故正确，

当事件，不互斥时，（A）（B），故正确，

（A）（B），由于非负，故错误．

故选：．

10．（5分）下列关于函数的说法正确的有　　

A．最小正周期为 

B．在上单调递增 

C．值域为 

D．若为的一条对称轴，则

【解答】解：；对于，的最小正周期，错误；

对于，当，时，，，在上单调递增，正确；

对于，，，，，即的值域为，，正确；

对于，若为的一条对称轴，则或，错误．

故选：．

11．（5分）已知定义在上的奇函数，当，时，，若函数是偶函数，则下列结论正确的有　　

A．的图象关于对称 

B． 

C． 

D．有100个零点

【解答】解：由题设，，即，关于对称，正确．

又，则，即是周期为4的奇函数，由，即．

（2），正确．

，（1），故，错误．

综上，与的函数部分图象如下：

当，过点，故时与无交点．

由图知：上与有1个交点．

上的每个周期内与有两个交点，共个交点．

而且，即时无交点．

当，过点，故时与无交点．

由图知：上与有3个交点．

上的每个周期内与有两个交点，共有个交点．

而且，即时无交点．

综上，共有个零点，正确．

故选：．

12．（5分）已知正方体的棱长为2，点是棱上的动点（不含端点），下列说法正确的有　　

A．可能垂直于 

B．三棱锥的体积为定值 

C．过点截正方体的截面可能是等腰梯形 

D．若，过点且垂直于的截面的周长为

【解答】解：对于，因为平面，而面交棱于点，与不为端点矛盾，故错，

对于，点在棱上移动时，△的面积为定值，又点到平面的距离为定值2，

所以棱锥的体积为定值，故正确，

对于，，选为中点，中点为，中点为，此时面为等腰梯形，且同时满足面，此时梯形周长为：，故同时正确，

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

13．（5分）若，，，的标准差为1，则，，，的标准差是 　2　．

【解答】解：由题干可知：．

定义新数据为：．

则．

则新数据的标准差为．

故答案为：2．

14．（5分）设平面向量，，，则在上的投影向量的坐标为 　　．

【解答】解：由平面向量，，，

则，，

则在上的投影向量为，

故答案为：．

15．（5分）对，函数都有，则　　．（答案不唯一，写出一个即可）

【解答】解：对，函数都有，

函数的对称中心为，

则满足条件的一个函数，

故答案为：．

16．（5分）在四棱锥中，已知底面是菱形，，，，若点为菱形的内切圆上一点，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围是 　，　．

【解答】解：设，连接，

四边形为菱形，为，中点，

，，，，

又，，平面，平面，又，

则以为坐标原点，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

四边形为菱形，，为四边形各内角的平分线，

即为四边形的内切圆圆心，四边形内切圆的半径，

，，

，0，，，1，，，0，，

设，，

，（其中，

，，，

即异面直线与所成角的余弦值的取值范围为．

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

17．（10分）为了有效抗击疫情，保卫师生健康，某校鼓励学生在食堂就餐，为了更好地服务学生，提升食堂的服务水平，学校采用了问卷调查的形式调研了学生对食堂服务的满意程度，满分是100分，将问卷回收并整理评分数据后，把得分分成了5组：，，，，，，，，，，并绘制成如图所示的频率直方图．

（1）计算的值和样本的平均分；

（2）为了更全面地了解师生对食堂服务水平的评价，求该样本的50百分位数（精确到．

【解答】解：（1）由直方图知：，可得，

样本平均分为分；

（2）由，

所以50百分位数在，区间内，

令50百分位数为则，可得分．

18．（12分）设．

（1）若函数的最大值是最小值的3倍，求的值；

（2）当时，函数的正零点由小到大依次为，，，，若，求的值．

【解答】解：（1）因为，

故最大值为，最小值为，则，

解得．

（2）令得，

根据题意得，，，

则，结合，

解得．

19．（12分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若与平面所成的角为，求与平面所成的角的正弦值．

【解答】（1）证明：由题意，，又，

在中，，故，

所以，

又平面，面，则，

而，，面，则面，

由面，故面面．

（2）解：由（1）知：面，则与平面所成角的平面角为，

而，易知：，

又平面，面，则面面，

而面，面面，则在面上的射影在上，

又为等腰直角三角形，故在上射影为中点，

所以到面的距离为，

故与平面所成的角的正弦值为．

20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．

（1）若，求的值；

（2）若，求证：．

（参考数据：

【解答】（1）解：由，，故，

又，可得，则，，

则．

（2）证明：由知：，

所以，即，

又，则，即，

所以，而，则，

综上，．

21．（12分）如图，在四棱锥中，，，在以为直径的圆上，平面平面．

（1）设点是的中点，求证：平面；

（2）若二面角的平面角的正切值为2，求三棱锥的体积．

【解答】（1）证明：若为中点，连接，，

又是的中点，即且，

又，故且，

所以为平行四边形，故，

由面，面，则面．

（2）解：面面，面面，面，

则在面上射影在上，即面，面，

所以，

又，故，

过作交于，

则，

由在以为直径的圆上，即，

所以，

又，，面，故面，而面，

所以，

由面，面，面面，

所以二面角对应平面角为，即，

故，则，

所以．

22．（12分）若定义域为的函数满足，则称为“型”弱对称函数．

（1）若函数为“1型”弱对称函数，求的值；

（2）已知函数为“2型”弱对称函数，且函数恰有101个零点，2，，，若恒成立，求的最大值．

【解答】解：（1）由题设，且定义域为，

所以，

故．

（2）由题设，且，

对于零点，2，，，有，则，

若且，可得，故必为的一个零点，

若且，则，，，，，

所以，

而（由，即等号取不到），

故，

又恒成立，即，

所以的最大值为．

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