2020-2021学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合要求).
1．（5分）　　
A． B． C． D．
2．（5分）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于　　
A． B． C． D．4
3．（5分）已知复数满足为虚数单位），则　　
A．5 B． C．3 D．
4．（5分）设每个工作日甲、乙两人需使用某种设备的概率分别为0.4，0.5，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率为　　
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
5．（5分）设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是　　
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
6．（5分）在等边中，，向量在向量上的投影向量为　　
A． B． C． D．
7．（5分）已知，，则　　
A．1 B． C．7 D．
8．（5分）已知中，，其外接圆半径为2，若，则角的最大值为　　
A． B． C． D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（5分）居民消费支出是指居民用于满足家庭日常生活消费需要的全部支出．消费支出包括食品烟酒、衣着、居住、生活用品及服务、交通通信、教育文化娱乐、医疗保健和其他用品及服务八大类．国家统计局采用分层、多阶段、与人口规模大小成比例的概率抽样方法，在全国31个省（区、市）的1800个县（市、区）随机抽选16万个居民家庭作为调查户．国家统计局公布的我国2019年和2020年全国居民人均消费支出及构成，如图1和图2所示，则下列说法中正确的有　　

A．2020年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐这一类的支出高于2019年
B．2020年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重低于2019年
C．2019年和2020年全国居民人均居住消费在八大类中所占比重最大
D．2020年全国居民人均消费支出低于2019年全国居民人均消费支出
10．（5分）已知实数，，和虚数单位，定义：复数为单位复数，复数为伴随复数，复数为目标复数，目标复数的实部和虚部分别为实部函数和虚部函数，则正确的说法有　　
A．
B．
C．若，则，
D．若，且，则锐角的正弦值
11．（5分）设，，，是两两不同的四个点，若，，且，则下列说法正确的有　　
A．点可能是线段的中点
B．点可能是线段的中点
C．点，不可能同时在线段上
D．点，可能同时在线段的延长线上
12．（5分）已知长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法正确的有　　
A．当与重合时，三棱锥的外接球的表面积为
B．三棱锥的体积不变
C．直线与平面所成角不变
D．的最小值为3
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）数据9，8，7，6，5，4，3，2，1的40百分位数是 　　．
14．（5分）已知平行四边形中，，，，、分别为、的中点，则　　．
15．（5分）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高　　．

16．（5分）甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96分；乙班的平均成绩为85分，方差为60分．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 　　分，方差是 　　分．
四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知的内角，，的对边分别为，，，，．
（1）求；
（2）在①，②这两个条件中任选一个作为条件，然后求的面积．
18．（12分）正方体中，为棱中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．

19．（12分）已知是关于的实系数方程的一个复数根．
（1）求实数，的值；
（2）设方程的另一根为，复数，对应的向量分别是．若向量与垂直，求实数的值．
20．（12分）某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查．经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间，内，按，，，，，，，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求该频率分布直方图中的值，并求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）；
（2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间，和，内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机选择2人作为“幸运客户”，求幸运客户中恰有1人来自区间，的概率．

21．（12分）如图，直角梯形中，，，，，点在上，且．沿将翻折到处，使得平面平面．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正切值．

22．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求的最大值；
（2）若为钝角，求：
①的取值范围；
②的取值范围．
（参考公式：

2020-2021学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合要求).
1．（5分）　　
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的诱导公式，可得，，再结合正弦函数的两角和公式，即可求解．
【解答】解：，，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角函数的诱导公式，以及正弦函数的两角和公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2．（5分）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于　　
A． B． C． D．4
【分析】由已知求出正四棱锥的高，再由棱锥体积公式求解．
【解答】解：如图，

连接、，设与相交于，连接，则为正四棱锥的高，
由正四棱锥的底面边长为2，得，
又侧棱长，高，
该正四棱锥的体积等于，
故选：．
【点评】本题考查棱锥体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）已知复数满足为虚数单位），则　　
A．5 B． C．3 D．
【分析】根据已知条件，运用复数的乘法运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
4．（5分）设每个工作日甲、乙两人需使用某种设备的概率分别为0.4，0.5，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率为　　
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
【分析】根据题意，设甲使用设备为事件，乙使用设备为事件，由此求出甲乙都没有使用设备的概率，由对立事件的概率性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设甲使用设备为事件，乙使用设备为事件，
则（A），（B），则有，，
甲乙都没有使用设备的概率，
则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率；
故选：．
【点评】本题考查相互独立事件和对立事件概率的计算，涉及互斥事件、对立事件的区别，属于基础题．
5．（5分）设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是　　
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【分析】由两平行平面中两直线的位置关系判定；由垂直于同一平面的两平面的位置关系判定；由平行于同一平面的两直线的位置关系判定；由直线与平面垂直的性质判断．
【解答】解：若，，，则或与异面，故错误；
若，，则或与相交，故错误；
若，，则或与相交或与异面，故错误；
若，，则，又，则，故正确．
故选：．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
6．（5分）在等边中，，向量在向量上的投影向量为　　
A． B． C． D．
【分析】由已知可得，，然后结合向量的基本定理及向量的数量积的性质即可求解．
【解答】解：因为，所以，则，
设该等边三角形的边长为，
所以，，
则向量在向量上的投影为，
故向量在向量上的投影向量为，
故选：．
【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题
7．（5分）已知，，则　　
A．1 B． C．7 D．
【分析】根据已知条件，先运用二倍角公式，可得，再结合正切函数的两角差公式，即可求解．
【解答】解：，，
，
又，
，
，
，
，解得．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角函数的二倍角公式，以及正切函数的两角差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
8．（5分）已知中，，其外接圆半径为2，若，则角的最大值为　　
A． B． C． D．
【分析】由条件可得为正三角形，点与点在同侧，则有，由正弦定理得，即有，设，整理，进而可得的取值范围．
【解答】解：如图，设的外接圆圆心为，
因为的边，其外接圆半径为2，
所以为正三角形，
又因为，所以点与点在同侧，则有，
根据正弦定理，即，
则，
设，
则


，
即，
因为，所以，
则，
所以，
则的最大值为．
故选：．

【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及正弦定理的应用，圆的相关性质，转化思想等，属于中档偏难题．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（5分）居民消费支出是指居民用于满足家庭日常生活消费需要的全部支出．消费支出包括食品烟酒、衣着、居住、生活用品及服务、交通通信、教育文化娱乐、医疗保健和其他用品及服务八大类．国家统计局采用分层、多阶段、与人口规模大小成比例的概率抽样方法，在全国31个省（区、市）的1800个县（市、区）随机抽选16万个居民家庭作为调查户．国家统计局公布的我国2019年和2020年全国居民人均消费支出及构成，如图1和图2所示，则下列说法中正确的有　　

A．2020年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐这一类的支出高于2019年
B．2020年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重低于2019年
C．2019年和2020年全国居民人均居住消费在八大类中所占比重最大
D．2020年全国居民人均消费支出低于2019年全国居民人均消费支出
【分析】观察我国2019年和2020年全国居民人均消费支出及构成可判断、、，由支出与比重可求出2020、2019年全国居民人均消费支出，从而判断．
【解答】解：对于选项，2020年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐的支出为2032元，
2019年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐的支出为2513元，故错，
对于选项，2020年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重为，
2019年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重为，故对，
对于选项，2019年和2020年全国居民人均食品烟酒消费在八大类中所占比重最大，故错，
对于选项，2020年全国居民人均消费支出约为，
2019年全国居民人均消费支出约为，故正确，
故选：．
【点评】本题考查了数据分析能力，关键在于从图中正确提取信息，属于基础题．
10．（5分）已知实数，，和虚数单位，定义：复数为单位复数，复数为伴随复数，复数为目标复数，目标复数的实部和虚部分别为实部函数和虚部函数，则正确的说法有　　
A．
B．
C．若，则，
D．若，且，则锐角的正弦值
【分析】利用题中给出的信息，即可得到和，从而可判断选项，，利用两角和差公式化简，从而得到和的值，即可判断选项，利用辅助角公式化简的解析式，利用角的变换以及三角恒等变换，求解，即可判断选项．
【解答】解：因为，
所以，，
故选项正确，选项错误；
因为，
所以，，
故选项错误；
因为，
所以，
又因为为锐角，则，
所以，
故，
故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了新定义问题，涉及了复数的定义、两角和差公式、辅助角公式以及同角三角函数关系式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
11．（5分）设，，，是两两不同的四个点，若，，且，则下列说法正确的有　　
A．点可能是线段的中点
B．点可能是线段的中点
C．点，不可能同时在线段上
D．点，可能同时在线段的延长线上
【分析】每个选项结合进行分析，通过，是否有解，可解决此题．
【解答】解：若点可能是线段的中点，则，代入得，无解，错；
若点是线段的中点，，代入得，解得，有解，对．
当时满足，此时，都与重合，与已知矛盾，对；
若点，同时在线段延长线上，则，，则，这与矛盾，错．
故选：．
【点评】本题考查平面向量基本定理，考查数学抽象能力及推理能力，属于中档题．
12．（5分）已知长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法正确的有　　
A．当与重合时，三棱锥的外接球的表面积为
B．三棱锥的体积不变
C．直线与平面所成角不变
D．的最小值为3
【分析】利用三棱锥与长方体有相同的外接球，由长方体的体对角线求出直径，由球的表面积公式求解即可判断选项，由平面，结合等体积法，即可判断选项，由平面，结合的长度是变化的，即可判断选项，把矩形和△放置在同一平面内，当点，，三点共线时，最小，求解即可判断选项．
【解答】解：对于，当点与重合时，三棱锥即为三棱锥，
又因为三棱锥与长方体有相同的外接球，
所以外接球的直径，
故外接球的表面积为，
故选项正确；
因为，又平面，平面，
所以平面，
由等体积法可得，，
所以三棱锥的体积不变，
故选项正确；
对于，因为平面，
所以点到平面的距离不变，
但的长度由的长增加到的长度，
即的长度是变化的，
所以直线与平面所成的角是变化的，
故选项错误；
对于，把矩形和△放置在同一平面内，如图所示，
其中，，，则，
连接交于点，
当点，，三点共线时，最小，
则，
故，所以，
由余弦定理可得，，
所以，即的最小值为3，
故选项正确．
故选：．

【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）数据9，8，7，6，5，4，3，2，1的40百分位数是 　4　．
【分析】根据百分位数计算方法计算即可．
【解答】解：，可知3.6的比邻整数是4，
数据9，8，7，6，5，4，3，2，1从小到大排列为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，
可知其40百分位数是4．
故答案为：4．
【点评】本题考查百分位数计算方法，考查数学运算能力，属于基础题．
14．（5分）已知平行四边形中，，，，、分别为、的中点，则　41　．
【分析】可画出图形，根据条件即可得出，，表示出，然后根据，，，进行数量积的运算即可．
【解答】解：如图，
四边形是平行四边形，，分别是，的中点，
，，
则




故答案为：41．

【点评】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，相等向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
15．（5分）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高　　．

【分析】由题意，通过解可先求出的值，解由正弦定理可求的值，在中，由，，从而可求得的值．
【解答】解：在中，，，所以．
在中，，，从而，
由正弦定理得，，因此．
在中，，，得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，考查了解三角形的实际应用，属于中档题．
16．（5分）甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96分；乙班的平均成绩为85分，方差为60分．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 　80　分，方差是 　　分．
【分析】由已知数据代入总体平均数及总体方差公式计算即可．
【解答】解：甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是（分；
甲、乙两班全部90名学生的方差是（分．
【点评】本题考查数据的平均分及方差算法，考查数学运算能力，属于基础题．
四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知的内角，，的对边分别为，，，，．
（1）求；
（2）在①，②这两个条件中任选一个作为条件，然后求的面积．
【分析】（1）根据已知条件，运用三角函数的两角公式，可得，再结合角的范围，即可求解．
（2）选①，运用正弦定理，可得，即可得，再结合正弦定理和正弦函数的两角和公式，即可求解，选②，根据已知条件，运用正弦定理，可得，再结合正弦定理和正弦函数的两角和公式，即可求解．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
．
（2）选①，
，
由正弦定理，可得，
，
，即，
又，
，
，，，
由正弦定理，
，
，
，
，
选②，
，
由余弦定理可得，，
，
，
，，，
由正弦定理，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．
18．（12分）正方体中，为棱中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．

【分析】（1）设与相交于点，连接，易知，再由线面平行的判定定理，得证；
（2）由，，知平面，再由面面垂直的判定定理，得证．
【解答】（1）证明：设与相交于点，连接，则为的中点，
为的中点，，
又平面，平面，
平面．

（2）证明：正方形，，
由正方体的性质知，平面，
，
又，、平面，
平面，
平面，
平面平面．
【点评】本题考查空间中线与面的位置关系，熟练掌握线面平行的判定定理，线面、面面垂直的判定定理或性质定理是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力，属于基础题．
19．（12分）已知是关于的实系数方程的一个复数根．
（1）求实数，的值；
（2）设方程的另一根为，复数，对应的向量分别是．若向量与垂直，求实数的值．
【分析】（1）由实系数一元二次方程虚根成对原理及根与系数的关系求解与的值；
（2）求出的坐标，进一步求得与的坐标，再由向量垂直与数量积的关系列式求得实数的值．
【解答】解：（1）是关于的实系数方程的一个复数根，
是关于的实系数方程的另一个复数根，
由根与系数的关系可得，即；
．
，；
（2）由（1）知，，，
则，，
由与垂直，可得，
解得．
【点评】本题考查复数的运算，考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查向量垂直的坐标运算，是基础题．
20．（12分）某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查．经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间，内，按，，，，，，，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求该频率分布直方图中的值，并求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）；
（2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间，和，内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机选择2人作为“幸运客户”，求幸运客户中恰有1人来自区间，的概率．

【分析】（1）由频率分布直方图面积之和为1求解，再由加权平均数公式求平均数即可，
（2）先由分层抽样的方法确定消费金额在区间，和，内的客户的人数，再由古典概率模型求解即可．
【解答】解：（1），，
，
这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元，
（2）采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，则从消费金额在区间，和，内的客户中分别抽取2人，3人；
记区间，内的客户为，，区间，内的客户为1，2，3，
则样本空间，，，，，，，12，13，，，共10种情况，
记 “幸运客户中恰有1人来自区间，”，则共6种情况，
故（A），
即幸运客户中恰有1人来自区间，的概率为0.6．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，同时考查了古典概率模型与分层抽样的应用，属于基础题．
21．（12分）如图，直角梯形中，，，，，点在上，且．沿将翻折到处，使得平面平面．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正切值．

【分析】（1）先证明为矩形，从而得到，则，再利用面面垂直的性质定理，可证平面；
（2）过作，垂足为，连结，利用线面垂直的判定定理和性质定理证明，，由二面角的平面角的定义可知，即为二面角的平面角，在三角形中，利用边角关系求解即可．
【解答】（1）证明：因为，，所以，，
又因为，所以为平行四边形，
又，所以为矩形，
则，故，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面；
（2）解：在平面内，过作，垂足为，连结，
由（1）可知，平面，
又平面，所以，
因为，且，平面，，
则平面，
又平面，所以，
又因为，
则即为二面角的平面角，
由（1）可知，，，，
又，
所以，
则，
又在中，，，
所以，
故二面角的正切值为．

【点评】本题考查了线面垂直的判定以及二面角的求解，解题的关键是掌握线面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
22．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求的最大值；
（2）若为钝角，求：
①的取值范围；
②的取值范围．
（参考公式：
【分析】（1）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
（2）由已知条件，可推得，成立，再结合均值不等式，即可求解．
（3）根据已知条件，运用正弦定理，可得，结合三角函数的恒等变换，可得，再根据的取值范围，即可求解．
【解答】解：（1）当时，，
由余弦定理定理可得，，
，
的最大值为．
（2）由三角形的性质，可得，
又，
，
是钝角，
存在，，使得，
，
，成立，
，
，
，
（3），
由正弦定理，可得，
，
，
，
，
由三角函数的二倍角可得，，
，
，
，
，
的取值范围为．
【点评】本题主要考查了正余弦定理，以及三角函数的恒等变换，需要学生较强的综合能力，且本题计算量大，属于难题．
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日期：2021/8/23 17:46:48；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394